第四章 解线性代数方程组的直接方法
在自然科学和工程技术问题中，涉及到的许多数值计算问题，最终都要归结为解线性代数方程组AX =b ．其中A ∈R ，b ∈R ，A 是可逆的．本章和下一章分别讨论解方程组的直接方法和迭代方法．所谓直接法就是通过有限次的精确运算能得到真解的一类数值方法．从本质上讲，直接方法的原理是找到一个可逆矩阵M ，使得MA 是一个上角阵，这个过程称为“消元”过程．消元之后再进行“回代”，即求解MAX =Mb ．实际计算过程中，不必明显地计算出矩阵M ，而只须把MA 和Mb 计算出来．这类直接方法中最基本和最简单的就是Gauss 消元法，本章首先讨论Gauss 消元法和矩阵分解法，以及Gauss 消元法在各种情况下的变形，并分析其误差． n ⨯n n
§1 Gauss 消元法
1.1 Gauss 消元法的基本思想
考虑n 阶解线性方程组：
⎧a 11x 1+a 12x 2+a 1n x n =b 1⎪a x +a x +a x =b ⎪2112222n n 2 ⎨ ⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+a nn x n =
b n
用矩阵和向量的记号表示，则有 (1.1)
AX =b (1.2)
其中A =(a ij ) n ⨯n 为可逆矩阵，X =(x 1, x 2, , x n ) T ，b =(b 1, b 2, , b n ) T ．
消元法分消元和迭代两个过程，消元过程是将(1.1)化成如下形式的上三角方程组：
（1）（1）（1）(1)⎧a a 11x 1+a 12x 2+1n x n =b 1⎪（2）（2）(2)a a ⎪22x 2+2n x n =b 2 (1.3) ⎨ ⎪
（n）(n ) ⎪a nn x n =
b n ⎩
(n ) (n ) 迭代过程是从(1.3)的最后一个方程直接解出x n ，x n =b n ，然后依公式/a nn
x k =(b (k )
k -
j =k +1∑a n (k ) kj (k ) k =n -1, x j ) a kk ,3,2,1 (1.4)
依次求出x n -1，x n -2，, , x 2，x 1，称为回代求解．消元过程的实质是对增广矩阵(A , b )
(n ) 作一系列初等变换，最后把A 化为上三角矩阵A ，得(A , b ) ，因为对(A , b ) 每做一次
(n ) (n ) (n ) () n 初等变换，相当于对方程组(1.1)进行一次同解变换，所以与(A , b
程组(1.3)是(1.1)的同解方程组． ) 相对应的上三角方
(1)(1)设方程组(1.1)的增广矩阵(A , b ) =(A , b ) ，不妨设a 11≠0，并令
1) (i =2, 3, n ，第一步消元是用, m i 1乘第一行然后加到第i (i =2,3, m i 1=a i (1/a 1(1
行上去，从而把第一列对角元以下的元素全化为0，得
（1）（1）（1）⎛a a a b 1(1)⎫11121n （2）（2）(2)⎪a a b 222n 2⎪ (1.5) (A (2), b (2)) = ⎪ ⎪（2）（2）(2)⎪ a 2n a nn b n ⎭⎝, n )
相关文章
- 高等数学在概率论中的作用
高等数学在概率论中的作用 [摘要]以下是凯程考研辅导名师特为大家整理总结的高等数学在概率论中的作用,供大家参考!祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利,考研成功! 高等数学是数学的基础,而概率论是数学中很重要的一部分,往往使用高等数学中的微积分的基本方法去解决一些概率问题,甚至可以说这种方法基本上是贯穿 ...
- 七年级数学集体备课教学设计
七年级数学集体备课教学设计 第一章<有理数> 一．本章的主要内容: 对正.负数的认识:有理数的概念及分类:相反数与绝对值的概念及求法:数轴的概念.画法及其与相反数与绝对值的关系:比较两个有理数大小的方法:有理数加.减.乘.除.乘方运算法则及相关运算律:科学计数法.近似数.有效数字的概念及 ...
- 应用回归分析第四版课后习题答案_全_何晓群_刘文卿
实用回归分析第四版 第一章 回归分析概述 1.3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么? 答:ε为随机误差项,正是由于随机误差项的引入,才将变量间的关系描述为一个随机方程,使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2-..xp的关系,由于客观经济现象是错综复杂的,一种经济现象很难用有限个因素来准确说 ...
- 4+运筹学与控制论(硕)
运筹学与控制论 Operating Research and Control Theory (070105) ● 培养方案 (一)培养目标和要求 1.努力学习马列主义.毛泽东思想和邓小平理论,坚持党的基本路线,热爱祖国,遵纪守法,品德良好,学风严谨,具有较强的事业心和献身精神,积极为社会主义现代化建 ...
- 20**年-04-23 有限元方法(Fluids)
流固耦合计算力学 有限元方法(有限元方法(计算流体)计算流体) 刘谋斌 [email protected] 北京大学工学院 第一部分:第一部分:数学基础回顾 第二部分:第二部分: 第三部分:第三部分: 第四部分:第四部分: : 第六部分:第六部分:一维问题FEM 分析二维问题FEM 分析非定常问题FE ...
- 谈谈高中数学课堂中教学目标的设定
谈谈高中数学课堂中教学目标的设定 --以<双曲线及其标准方程>一课为例 内容摘要:<双曲线及其标准方程>是普通高中课程标准实验教科书,数学选修2-1(人教A 版)第二章第三节的主要内容.这一节是在学习了椭圆的基础上学习的,所以大部分的教学建议都是类比椭圆及其标准方程来完成教学 ...
- 河北省专接本数学一考点分布
数学一考点分析 第一章 函数.极限.连续 分析:第一章除了2011和2012年考了大题占比重较大以外,其余年份均是占比在6%~9%之间,主要考察的知识点为求定义域.复合函数求值或表达式:数列极限在幂级数求收敛域时会涉及到:两个重要极限以及函数在一点连续,无穷小的比较直接考的较少,只有一道题目,实际上 ...
- 西南交大电路分析必做课后题
第一章 电路的基本概念及基本定律 1-1 实际电路与电路模型(基础知识,掌握) 1-2 基本物理量与参考方向(基础知识,掌握:重点理解关联参考方向与非关联参考方向,理解吸收功率与发出功率的含义) 1-3 电阻.电感和电容元件(基础知识,掌握) 1-4 独立电源(基础知识,掌握) 1-5 受控电源(题 ...
- 浙教版七年级(上)第三章实数教材分析
浙教版七年级(上) 第三章<实数>教材分析 桐庐县毕浦中学 陈小林 本章的主要内容是有理数的开方.平方根.立方根,无理数和实数及其运算. 本章教材主要从以下七个方面进行分析: 1.新"课标"下的本章教学目标 根据<数学课程标准>中的陈述,我们得到本章的教学 ...
