2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数学理科试卷及参考答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：
·如果事件A、B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B) ∙柱体的体积公式V=Sh. 其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(2+i）=5,则z= 1.设复数z满足(z+2i）
A.3-2i B.3+2i C.2-3i D. 2+3i
⎧x+y-1≤0
⎪
2.已知实数x,y满足约束条件⎨x-y-1≤0,则z=x+2y的最大值为
⎪x≥0⎩
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是
5
, 则输入的N的值 6
可以等于 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形． 则该四棱锥的体积等于
A.
．
．
．
x2y22
5.已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y=2px(p>0)的焦点的距
ab
离
为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-1,-2)，则双曲线的焦距为
A
．
6.数列{an}满足
a=1N* A7.已知以下4个命题:
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
②若p：∀x∈R,x2-3x-2b是（a-1a>(b-1)b成立的充分不必要条件
④若关于实数x的不等式-2x++3x
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2，当x∈(0.2]时，
⎧x2-xx∈(0,1)
7t⎪2
≤f(x)≤3-t恒成立，则实数 ，若x∈(0,4]时，t-f(x)=⎨1
2x∈[1,2]⎪
⎩x
t的取值范围是
⎡5⎤⎡5⎤
A.[1,2] B.⎢2,⎥ C.⎢1,⎥ D.[2,+∞)
⎣2⎦⎣2⎦
2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数 学(理)
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线
11. 已知∆ABC中,AB=1，sinA+sinB=C，
S∆ABC=
3
sinC，则cosC=_____. 16
12. 如图,∆ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，
PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60， 且PD=2，BD=6，则AC＝______.
13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线M
的极坐标方程为
cos(θ+
π
4
)=1, 曲线N的参数方程为
{
x=4t2y=4t
（t为参数）. 若曲线M与N相交于A,B两点，则线段AB的长等于 .
14. 已知O为∆ABC的外心，AB=2a,AC=,∠BAC=120,若AO=xAB+yAC，
则3x+6y的最小值为 ．
9．100 ； 10．-10； 11．
2a
1
； 12．6； 13．
8； 14．6+3
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数f(x)=2cosxx+cosx)+2 (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间； (Ⅱ) 求函数f(x)在区间[0,
π
2
]上的最大值和最小值．
15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f(x)=2x+2cos2x+2 ……1分
=2x+cos2x+3 …………2分
π
=2sin(2x+)+3 …………4分
62π
=π ……………5分 ∴f(x)的最小正周期T=2
ππ3ππ2π
,k∈Z得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z 由2kπ+≤2x+≤2kπ+
26263
∴f(x)的单调递减区间为[kπ+（Ⅱ）由x∈[0,
故-
π
6
,kπ+
2π
],k∈Z ……………7分 3
π
2
]得
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
………9分
6
1π⎫⎛
≤sin 2x+⎪≤1………11分26⎭ ⎝ 所以2≤f(x)≤5 ………12分 因此,f(x)的最大为5, 最小值是2 ……13分
πππ
解法二: f(x)在区间[0,]上单调递增; 在区间[,]上单调递减………11分
662ππ
又f(0)=4,f()=5,f()=2
62
所以f(x)的最大为5, 最小值是2 ………13分
16．（本小题满分13分）
某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为为
2
；丙通过B组测试的概率3
1
；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者2
就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题. （Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.
（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 16.解：（Ⅰ）设参加C组测试的每个人竞聘成功为A事件，则
431
C4+C4C21+83
== …………3分 P(A)=4
155C6
339
故丁、戊都竞聘成功的概率等于⨯= …………5分
5525
（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3， …………6分
1221
P(ξ=0)=(1-)⨯(1-)=，
2318211215
P(ξ=1)=(2⨯⨯)⨯(1-)+(1-)2⨯=，
[1**********]18
P(ξ=2)=(2⨯⨯)⨯+()2⨯(1-)=，
3323218214
P(ξ=3)=()2⨯=， （每个结果各1分） …………10分
3218
故ξ的分布列为：
…………11分
所以E(ξ)=0⨯
158433
+1⨯+2⨯+3⨯=
1818181818
17．（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC-A1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC,BC=AC=2AA1=3，D为AC的中点. （Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1-BD-C的余弦值； （Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得 CP⊥面BDC1？请证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
解法一: （Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系C1-xyz，………1分 则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2）， C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ………2分 设n=(x1,y1,z1)是面BDC1的一个法向量，则
⎧⎪nC1B=0,⎧3y1+2z1=0,11⎨即⎨，取n=(1,-,). …………4分
⎪⎩nC1D=0⎩x1+3y1=032
又AB1=(-2,-3,2),所以AB1⋅m=-2+1+1=0,即AB1⊥m ∵AB1⊄面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………6分 （Ⅱ）易知C1C=(0,3,0)是面ABC的一个法向量. …………7分
cosn,C1C=
nC1Cn⨯C1C
=-
2
7. …………8分 2. …………9分 7
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 CP=(2,y-3,0)， …………10分
⎧⎪CPC1B=0,⎧3(y-3)=0,
⎨ 则，即⎨. …………11分 CPCD=02+3(y-3)=0⎪⎩1⎩
⎧y=3,⎪
7⎨
解之⎪y=∴方程组无解. …………12分
3⎩
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………13分
解法二: （Ⅰ）证明：连接B1C,与BC1相交于O，连接OD．
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点． …………1分 又D是AC的中点，∴OD//AB1． …………2分 ∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………4分 （Ⅱ）解C1B=(0,3,2)，C1D=(1,3,0)，
………5分
设n=(x1,y1,z1)是面BDC1的一个法向量，则
⎧⎪nC1B=0,⎧3y1+2z1=0,11⎨即⎨，取n=(1,-,). …………6分
⎪⎩nC1D=0⎩x1+3y1=032
易知C1C=(0,3,0)是面ABC的一个法向量. …………7分 cosn,C1C=
2
=-. …………8分
7n⨯C1C
2. …………9分 7
nC1C
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 CP=(2,y-3,0)， …………10分
⎧⎪CPC1B=0,⎧3(y-3)=0,
则⎨，即⎨. …………11分
CPCD=0⎪⎩1⎩2+3(y-3)=0⎧y=3,⎪
7⎨
解之⎪y=∴方程组无解. …………12分
3⎩
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………13分
x2y2
18．（本小题满分13分）已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B，
ab
右焦点为F
(c,0)，直线l是椭圆C在点B处的切线. 设点P是椭圆C上异于A，B的
动点，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=时，∆AFD是等腰三角形. （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）设椭圆C的长轴长等于
4，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的
位置关系，并加以证明． 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题可知A(-a,0)、Da,， ………1
分
()
由|AF|=|FD|，得，
a+c=化简得a=2c∴e=
………2分
c1
=， ………3分 a21
故椭圆C的离心率是 ………4分
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆C的长轴长等于4得，
x2y2
+=1，且A(-2,0),B(2,0), 椭圆C的方程为43
在点B处的切线方程为x=2. 以BD为直径的圆与直线PF相切． ……5分 证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0). 则点D坐标为(2, 4k)，BD中点E的坐标为(2, 2k)．
⎧y=k(x+2),由⎪2得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0．…………………7分 2
⎨xy
+=1⎪
3⎩4
16k2-12设点P的坐标为(x0,y0)，则-2x0=．
3+4k2
12k6-8k2
y=k(x+2)=所以x0=，． …………………9分 00
3+4k23+4k2
因为点F坐标为(1, 0)，
13
（1）当k=±时，点P的坐标为(1, ±)，直线PF的方程 为x=1，
22
点D的坐标为(2, ±2).此时以BD为直径的圆(x-2)2+(y1)2=1与直线PF相
切…10分
（2）当k≠±
1y04k时，直线PF的斜率kPF=. =22x0-11-4k
4k1-4k2
(x-1),即x-y-1=0． 所以直线PF的方程为y=2
1-4k4k
1-4k21+4k2
|2-⨯2k-1|
==|2k|………12分 故点E到直线PF
的距离d=
4k4k
x-y-=0, (算法二: 或直线PF的方程为
1-4k21-4k2
2k+8k3
1-4k2
故点E到直线PF
的距离d===2|k|…12分) 21+4k|1-4k2|
又因为=2R=4k ，故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．……13分
解法二: 由（Ⅰ）及椭圆C的长轴长等于4得，
x2y2
椭圆C的方程为+=1，且A(-2,0),B(2,0),
43
在点B处的切线方程为x=2. 以BD为直径的圆与直线PF相切． ……5分
x2y2
+=1(y≠0) 证明如下: 设点P(x,y),则43
3
(1)当x=1时,点点P的坐标为(1, ±)，直线PF的方程为x=1， ……6分
2
点D的坐标为(2, ±2).此时以BD为直径的圆(x-2)2+(y1)2=1与直线PF相
切…7分
y
(x+2), …8分 x+2
4y2y2y
点的坐标为(2,),BD中点E的坐标为(2,),故|BE|=||…9分
x+2x+2x+2
y
直线PF的斜率为kPF=,
x-1yx-1
故直线PF的方程为y=(x-1),即x-y-1=0,………10分
yx-1
x-12y|2-⨯-1|
2y
所以点E
到直线PF的距离d==||=|BE|………12分
x+2故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．………13分
(2)当x≠1时直线AP的方程为y=
19．（本小题满分14分）设数列{bn}，{cn}，已知b1=3，c1=5，bn+1=
cn+4
，2
bn+4*
（n∈N）． （Ⅰ）设an=cn-bn,求数列{an}的通项公式； 2
*
（Ⅱ）求证：对任意n∈N，bn+cn为定值； cn+1=
（Ⅲ）设Sn为数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N，都有p⋅(Sn-4n)∈[1,3]，求实数p的取值范围．
19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）所以bn+1=
*
4+cncnb
=+2，cn+1=n+2， 222
111
(bn-cn)=-(cn-bn),即an+1=-an， ……………………2分 222
1
又a1=c1-b1=2≠0, 故数列{an}是首项为2，公比为-的等比数列，
2cn+1-bn+1=
⎛1⎫
所以an=2⋅ -⎪
⎝2⎭
n-1
． …………………………………………………4分
1
(bn+cn)+4， 2b+cn1
-4=(bn+cn-8)，………………………………6分 所以bn+1+cn+1-8=n
22
*
而b1+c1-8=0，所以由上述递推关系可得，当n∈N时，bn+cn-8=0恒成立，
（Ⅱ）解：bn+1+cn+1=
即an+bn恒为定值8． ……………………8分
⎧bn+cn=8,n-1
1⎪⎛⎫n-1
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知⎨⎛1⎫，所以cn=4+ -⎪，…9分
⎝2⎭⎪cn-bn=2⋅ -⎪
⎝2⎭⎩
⎛1⎫
1- -⎪n
2⎡⎛1⎫⎤2⎭⎝所以Sn=4n+=4n+⎢1- -⎪⎥， ……………10分
13⎣⎛⎫⎢⎝2⎭⎦⎥1- -⎪⎝2⎭
n
2p⎡⎛1⎫⎤
⋅⎢1- -⎪⎥， 所以p⋅(Sn-4n)=
3⎢⎣⎝2⎭⎥⎦
n
2p⎡⎛1⎫⎤
⋅⎢1- -⎪⎥≤3， 由p⋅(Sn-4n)∈[1,3]得1≤
3⎣⎢⎝2⎭⎦⎥
n
⎛1⎫
因为1- -⎪>0，所以
⎝2⎭
n
1
n
⎛1⎫⎛1⎫1- -⎪1- -⎪⎝2⎭⎝2⎭
111
当n为奇数时，随的增大而增大，且=0
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1- -⎪1+ ⎪1- -⎪⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭111
当n为偶数时，随的增大而减小，且=>1， nnnn
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1- -⎪1- ⎪1- -⎪⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
413
所以，的最大值为，的最小值为2．……………13分 nn
3⎛1⎫⎛1⎫
1- -⎪1- -⎪⎝2⎭⎝2⎭
≤
2p
≤3
3
n
， ………………11分
由
1⎛1⎫1- -⎪⎝2⎭
n
≤
2p≤3
3⎛1⎫1- -⎪⎝2⎭
n
，得
42p≤≤2，解得2≤p≤3． 33
所以，所求实数p的取值范围是[2,3]．……………………………………14分
20．（本小题满分14分）已知函数f(x)=x2-ax(a≠0)，g(x)=lnx，f(x)图象与x轴异于原点的交点M处的切线与直线x-y+1=0平行. (Ⅰ)求函数T(x)=xf(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数y=f[xg(x)+t],x∈[1,e]的最小值；
(Ⅲ）令F(x)=g(x)+g'(x)，给定x1,x2∈(1,+∞),x1
α,β，存在实数m满足：α=mx1+(1-m)x2，β=(1-m)x1+mx2，并且使得不等式|F(α)-F(β)|
20. （本小题满分14分）
(Ⅰ)解:点M(a,0)，f'(x)=2x-a ，由题意可得f'(a)=1，故a=1，……1分
32
∴f(x)=x2-x, T(x)=x-x，T'(x)=3x-2x=3x(x-) ……………2分
2
23
令T'(x)>0，得T(x)的增区间是(-∞,0),(,+∞)； ………………3分 令T'(x)
23
23
(Ⅱ)解法一：令u=h(x)=xg(x)+t，（x∈[1,e]），
则h'(x)=(xlnx+t)'=lnx+1>0， …………………………5分
∴h(x)在[1,e]单调递增，故当x∈[1,e]时，t≤u≤e+t ……………6分 因为f(x)=x(x-1)在(-∞,0.5)上单调递减，在(0.5,+∞)上单调递增， 故可分以下种情形讨论
（1）当e+t≤0.5即t≤0.5-e时f(u)在[t,e+t]上单减，
所以f(u)的最小值是f(e+t)=(e+t)2-(e+t) ………………7分
（2）当t
（3）当t≥0.5时f(u)在[t,e+t]上单增，
所以f(u)的最小值是f(t)=t2-t ………9分
解法二：y=f[xg(x)+t]=[xlnx+t]2-(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t-1)(xlnx)+t2-t…5分 令u=xlnx，在 x∈[1,e]时，u'=lnx+1>0，
∴u=xlnx在[1,e]单调递增，0≤u≤e, ……………6分 y=u2+(2t-1)u+t2-t图象的对称轴u=
①当u=1-2t，抛物线开口向上 21-2t1≤0即t≥时，ymin=y|u=0=t2-t ……………7分 22
1-2t1-2e≥e即t≤②当u=时，ymin=y|u=e=e2+(2t-1)e+t2-t ………8分 22
1-2t1-2e1
1-2t21-2t21ymin=y|1-2t=()+(2t-1)+t-t=- ……………9分 u=2242
（Ⅲ）F(x)=g(x)+g'(x)=lnx+1,F'(x)=1-1=x-1≥0得x≥1
xx2x2x
所以F(x)在区间(1,+∞)上单调递增 ……………………10分
≥F（1）>0,注意到1
①当m∈(0,1)时，有α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1，
α=mx1+(1-m)x2
得α∈(x1,x2)，同理β∈(x1,x2)， …………………11分
∴ 由f(x)的单调性知 0
从而有|F(α)-F(β)|
β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=x1，
由f(x)的单调性知 0
∴|F(α)-F(β)|≥|F(x1)-F(x2)|，与题设不符 ………………13分
③当m≥1时，同理可得α≤x1,β≥x2，
得|F(α)-F(β)|≥|F(x1)-F(x2)|，与题设不符.
∴综合①、②、③得m∈(0,1) ………………14分 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.