第十二章 数项级数 1、级数的收敛性
定义1 给定一个数列{un}，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅ （1）
称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中un称为数项级数（1）的通项.
数项级数（1）也常写作:
∑u
n=1
∞
n
或简单写作
∑u
n
.
数项级数（1）的前n项之和，记为
Sn=∑uk=u1+u2+⋅⋅⋅+un， （2）
k=1
n
称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和.
定义2 若数项级数（1）的部分和数列{Sn}收敛于S（即数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作
limS
n→∞
n
=S），则称数项级
S=u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅或S=∑un.
若{Sn}是发散数列，则称数项级数（1）发散.
定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N，使得当m>N以及对任意的正整数，都有
um+1+um+2+⋅⋅⋅+um+p
定理12.2 若级数敛，且
∑u
n
与
∑υ
n
都收敛，则对任意常数c,d,级数
∑(cu
n
+dυn)亦收
∑(cu
n
+dυn)=c∑un+d∑υn.
定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。 正向级数
定理12.5 正项级数
∑u
n
收敛的充要条件：部分和数列{Sn}有界，即存在某个正数M，
对一切正整数n有Sn
定理12.6（比较原则） 设一切n>N都有，un≤υn，则
（i）若级数
∑u
n
与
∑υ
n
是两个正项级数，如果存在某个正数N，对
∑υ
n
收敛，则级数
∑u
n
也收敛； 也发散.
（ii）若级数推论 设
∑υ
n
发散，则级数
∑υ
n
u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅,(3)
υ1+υ2+⋅⋅⋅+υn+⋅⋅⋅(4)
是两个正项级数，若
limυ
n→∞
un
n
=l,
则
（i）当0
（i）若对一切n>N0,成立不等式
∑u
n
为正项级数，且存在某正整
un+1
≤q,un
则级数
∑u
n
收敛.
（ii）若对一切n>N0,成立不等式
un+1
≥1,un
则级数
∑u
n
发散.
推论1（比式判别法的极限形式） 若
∑u
n
为正项级数，且
lim
则
un+1
=q,
n→∞un
（i）当q
∑u
n
收敛；
（ii）当q>1或q=+∞时，级数推论2 设
∑u
n
发散.
∑u
n
为正项级数.
（i）若
lim
n→∞
______
un+1
=q
un+1
=q>1，则级数发散. un
（ii）若
lim
n→∞
______
定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法） 设常数l，
（i）若对一切n>N0,成立不等式
∑u
n
为正项级数，且存在某正数N0及
n≤l
则级数
∑u
n
收敛；
（ii）若对一切n>N0,成立不等式
n≥1,
n
则级数
∑u
发散.
推论1（根式判别法的极限形式） 设
∑u
n
为正项级数，且
lim
n∞
n=l,
则
（i）当l
∑u
n
收敛； 发散.
（ii）当l>1时，级数
∑u
n
推论2 设
______
∑u
n
为正项级数，且
lim
n→∞
n=l,
则当
（i）l1时级数发散.
定理12.9 设f为[1,+∞)上的非负减函数，那么正项级数同时收敛或同时发散.
定理12.10（拉贝判别法） 设（i）若对一切n>
∑f(n)与反常积分⎰f(x)dx
1
+∞
∑u
n
为正项级数，且存在某正整数
N
及常数
r ，
N
，成立不等式
⎛un+1⎫n 1-u⎪⎪≥r>1,
n⎭⎝
则级数
∑u
n
收敛；
（ii）若对一切n>
N
，成立不等式
⎛un+1⎫
n 1-u⎪⎪≤1,
n⎭⎝
则级数
∑u
n
发散；
推论（拉贝判别法的极限形式） 设
∑u
n
为正项级数，且极限
lim
n→∞
⎛un+1⎫n 1-u⎪⎪=r
n⎭⎝
存在，则
（i）当r>1时，级数
∑u
n
收敛； 发散.
（ii）当r
∑u
n
2、一般项数级数
定理12.11（莱布尼茨判别法） 若交错级数
u1-u2+u3-u4+⋅⋅⋅+(-1)un+⋅⋅⋅(un>0,n=1,2,⋅⋅⋅),（1）满足下述两个条件：
n+1
（i）数列{un}单调递减； （ii）
limu
n→∞
n
=0,
则级数（1）收敛.
推论 若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为Rn≤un+1. 定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛.
定理12.13 设级数u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅绝对收敛，且其和等于S，则任意重排列后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数. 级数的乘积 设有收敛级数
∑u∑v
n
=u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅=A,(2)=v1+v2+⋅⋅⋅+vn+⋅⋅⋅=B,
n
(3)
把级数（2）与（3）中的每一项所有可能的乘积列成下表：
这些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数.
定理12.4（柯西定理） 若级数（2）（3）都绝对收敛，则对（4）中的所有乘积uivj按任意顺序排列所得的级数
（4）
∑w
n
也绝对收敛，且其和等于AB.
引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换） 设εi,vi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)为两组实数，若令
σk=v1+v2+⋅⋅⋅+vk(k=1,2,⋅⋅⋅,n),则有如下分部求和公式成立：
∑εv=(ε
iii=1
n
1
-ε2)σ1+(ε2-ε3)σ2+⋅⋅⋅+(εn-11-εn)σn-1+εnσn.
推论（阿贝耳引理） 若
（i）ε1,ε2,⋅⋅⋅,εn是单调数组；
（ii）对任一正整数k(1≤k≤n)有σk≤A(这里σk=v1+⋅⋅⋅+vk)，则记
ε=maxεk时，有∑εkvk≤3εA.
k
k=1
n
定理12.5（阿贝耳判别法） 若{an}为单调有界数列，且级数则级数
∑b
n
收敛，
∑ab
nn
=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn+⋅⋅⋅（5）收敛.
定理12.6（狄利克雷判别法） 若数列{an}单调递减，且和数列有界，则级数（5）收敛.
第十三章 函数列与函数项级数 1、
第十四章 幂级数 第十五章 傅里叶级数
第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学 第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分
第二十三章 流形体上微积分初阶段
lima
n→∞
n
=0,又级数∑bn的部分