量子力学 第三章 表象理论

第三章表象理论

本章提要:本章讨论态矢和算符的具体表示形式。首先,重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系,指出了函数依赖于表象。之后,引入投影算符,讨论了不同表象下的态矢展开,尤其是位置和动量表象,并顺带解决了观测值问题。接着,用投影算符统一了态矢内积与函数内积。最后,简单介绍了一些矩阵力学的内容。

1. 表象:完备基的选择不唯一。因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。除了态矢量,算符在不同表象下的具体表示也不同。因此,我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象:我们还知道每个力学量对应的(厄米)算符的本征矢都构成一组完备基。若选用算符G 的(已经标准正交化(离散谱)或规格正交化(连续谱))的本征矢作为态空间的基,就称为使用G 表象的描述

②波函数:把态矢展开式中各项的系数(“坐标”)定义为G 表象下的波函数

ˆψ(G )=Q ψ(G ) ˆψ=λψ又可写作Q ③本征函数与本征矢的关系:设本征方程Q

ˆψ=G Q ψ=Q G ψ=Q ψ(G )=Q ˆψ(G )=Q ˆψ 则两边乘G 有G Q

ˆ下的“坐标”ˆ的本征态ψ在表象G 因此:本征函数ψ(G )=G ψ就是Q (波函数) ˆ的G 方向上的“坐标” ˆ的本征态ψ在表象G 如果离散谱:ψ(G i )=i ψ就是Q i

④结论:算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象,具体形式依赖于表象选择

但本征函数和波函数相当于“坐标”,依赖于态矢(向量)和表象(基)

*注意:第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象(也称坐标表象)

2. 投影算符:我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号

ˆ=(1)投影算符:令P

∑i i (离散谱)=⎰G

i

G (连续谱),称为投影算符

(2)算符约定:求和或积分遍历算符G 的标准(或规格)完备正交基矢量

ˆψ=ψ=I ˆψ,表明投影算符就是单位算符 (3)本征方程:P

ˆ=(4)单位算符代换公式:I ∑i i (离散谱)=⎰G G (连续谱)

i

3. 不同表象下的态矢量展开和波函数:

①离散谱:=

∑F

i

i

ˆ表象下的波函数 F i ,ψi =F i 为F

{ψi }可表示为一列矩阵,第i 行元素就是ψi =

ˆ

表象展开=观测值恰为Q i 的概率:用Q

i

F i ψ

2

2

∑Q i Q i ,Pr ob =i =i

概率归一等价于波函数归一

∑i ==1

i

2

ˆ=ˆ

的观测平均值:Q 算符Q

ˆ

ψ=②连续谱:=I

2

ˆψ

Q ∑i i =Q i

⎰G

2

ˆ表象下的波函数 G dG ,ψ=称为G

ˆ

表象展开=观测值落在Q ~Q +dQ 范围内的概率:用Q

Pr ob =dQ =2

⎰Q

Q ψdQ ,

dQ ,满足概率归一⎰dQ =1

2

ˆ=Q (Q )2dQ =ψ, Q ˆψ ˆ的观测平均值:Q 算符Q

()

③本征函数和态矢量的内积统一:设f =f ,g =Q g ,有

ˆg =f Q g dQ =Q f f g =f I ⎰⎰

*

g dQ =⎰f *gdQ =(f , g )

结论:量子态f g 在同一表象Q 下投影得波函数f ,

g ,则f g =(f , g )

ˆϕ=Q ˆψ, ϕ=算符对本征函数作用:ψ, Q

ˆp ˆϕ=I ˆϕ=示例:p

()()

ˆϕ=Q ˆϕ=Q ˆ Q

**

ˆˆˆϕdx =(ψ, p ˆϕ)x x p ϕdx =ψp x ϕdx =ψ⎰⎰⎰p

④位置表象与动量表象:

4. 力学量的测量值问题:

ˆψ=Q ψ,对系统中所有粒子的测量结果都是①当待测系统处于算符本征态:此时Q

ˆ=Q 。这相当于对非本本征态ψ对应的本征值Q i ,显然Q i 的统计平均值还是Q i ,Q i

征态做了第二次测量的情况(已经坍缩了!)

ˆ的本征值,但对任一粒子都无法②当待测系统处于非算符本征态:此时测量结果一定是Q

确定得到哪一个本征值,只能计算出测到某个本征值的概率。这时,使用统计力学观点考察

ˆ=系综平均值,就是Q

2

ˆ=Q (Q )2dQ =ψ, Q ˆψˆψ或Q Q =Q ∑i i ⎰i

(

)

(思路解说:对每个本征值Q i 找到对应的本征矢Q i ,计算波函数Q i 测值恰为Q i ”的概率i ,再乘上本征值求和)

2

的模方得到“观

ˆ=③两个不等价的定义式:根据动量算符推导过程我们自然地定义Q

-∞

ˆψdx 。但这ψ*Q

个定义与上面提出的系综平均公式并不总是等价的,其适用范围甚至比后者要小!

ˆ=ψ(p )(p )ψdp ,所以与x ˆ形式相(1)再考察平均值:实际上,在动量表象中有p

*

ˆ=ψ, Q ˆψ 匹配的真正的平均值定义式应该是Q

(2)异类波函数:并非所有波函数都能归一化,譬如自由粒子波函数就像动量本征函数那样无法归一化,换而言之平方不可积,此时

5. 算符和态矢在Q 表象下的矩阵形式(离散谱): ①算符作用于态矢:

()

-∞

ˆψdx 失效,但系综公式仍可用 ψ*Q

ˆα=β⇒∑Q M ˆQ Q α=Q β⇒∑M α=β⇒M α=β M i j j i ij j i ij j i

j

j

ˆ=β⇒∑Q Q M ˆQ =βQ ⇒∑α*M =β*⇒α*M =β* M j j i i j ji i j ji i

j

j

ˆ为算符M ˆ在Q 表象下的矩阵元 (1)矩阵元:M ij =Q i M j

(2

)右矢:αj =Q j α为右矢

α在Q 表象下的(第j 行)列矩阵元

*

(3)左矢:αj =Q j 为共轭左矢

在Q 表象下的(第j 列)行矩阵元

ˆ=ψM ˆψ=②算符的期望值:M

i , j

ˆQ Q ψ=∑α*M α ψQ i Q i M j j i ij j

i , j

ˆ③算符的本征方程:M

α=λα⇒

∑M α

ij j

j

=λ∑δij αj

j k

k

④表象变换:若αk =k

,βj =R j ψ,则βj =∑R j Q k k =∑S jk αk

H H

把矩阵S jk =R j Q k 称为表象Q 到R 的变换矩阵,有性质SS =S S =I ,数学上称它

为幺正矩阵(或酉矩阵),特征是向量的范数在变换前后保持不变

ˆ=6. 附录1:Q

2

ˆψ的推导 Q ∑i i =Q i

投影

本征方程

ˆ=已知i =

ψi ,Q

因此

算符

ˆQ =∑Q i i

i

∑Q Q

i i

i

Q i ψ=∑Q i (Q i i )

i

2*ˆψ=()()Q Q Q Q =ψQ ψ=Q ∑i i i ∑i i i ∑i i

i

i

i

ˆ附录二:本征方程M

α=λα矩阵形式的推导

ˆQ ∑M

i j j

j

ˆα=等式左边乘Q i = i M

等式右边乘Q i = i

前三章总论

Q j α=∑M ij αj

j j

j

λα=λ∑Q i Q j Q j α=λ∑δij αj =∑M ij αj

①态矢量与狄拉克符号描述的优势:从以上两公式的推导中显然易见括号表示的优势——尖端的左右朝向内含了左右矢共轭关系、括号按从左到右顺序来结合,写态矢不需要给出表象,写内积不需要写长积分式,能简单地区分本征矢(带括号)和本征值(不带括号)等。但这套符号被沿用至今的最重要的一点还是在于表述简洁,毕竟简单就是美。

②量子力学选择希尔伯特空间的理由

(1)物理要求上,玻恩指出波函数的模方应该能代表概率密度。

(2)从双缝实验得到的启示是状态应该具有可加性,所以态用矢量描述最合适。 (3)态是矢量,概率是数,描述由矢量到数的映射,可以选择的最合适的数学工具就是内积,但内积有正负,所以取内积模方为几率。定义这样的内积就得到内积空间。

(4)状态有无穷多个,所以内积空间维数无穷大。有限维下不会有向量跑出空间,但无限维下就要谨慎考虑这个问题。为了不让任何一个物理态跑出空间,数学上来说就要求空间要完备。没有完备性这个保证,无法保证任何态都能表示成一些本征态的叠加,也无法保证左右矢是一一对应的。

(5)综上,要找的是完备的内积空间,这就是希尔伯特空间。


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