§2.1分离变量法求解偏微分方程

第二章 线性偏微分方程和特殊函数的推导

第一章我们推导了如下三个常见的偏微分方程:

波动方程

热传导方程 2⎧Laplace方程⎪∇u=0

⎨2

⎪泊松方程⎩∇u=−ρ(x,y,z)

上述偏微分方程中的物理量不仅是空间的函数,还有对时间的函数,直接求解比较困难。在求解偏微分方程的所有方法中,分离变量法是一种非常重要的方法,其基本思路:

§2.1 分离变量法求解偏微分方程

一、拉普拉斯(Laplace)方程:∇u=0

1、球坐标系(r,θ,ϕ)下拉普拉斯方程的分离变量解法

2

∂2u∂2u∂2u

+=0

直角坐标系下拉普拉斯方程:2+

∂x∂y2∂z2

⎧x=rsinθcosϕ⎪

直角坐标系与球坐标系的关系:⎨y=rsinθsinϕ

⎪z=rcosϕ⎩

利用微分计算,可以得到球坐标系下拉普拉斯方程

方程(1)为偏微分方程,u具有多个自变量,无法直接进行求解,我们利用分离变量法

将球坐标系下拉普拉斯偏微分方程分解成为多个常微分方程,然后进行求解。 设u(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ),代入(1)式

Yd⎛2dR⎞RR∂⎛∂Y⎞∂2Y

=0 ⎜r⎟+⎜sinθ⎟+

∂θ⎠r2sin2θ∂ϕ2r2dr⎝dr⎠r2sinθ∂θ⎝r2

方程两边同乘以

YR1d⎛2

⎜rRdr⎝1d⎛2⇒⎜rRdr⎝

dR⎞11∂⎛∂Y⎞∂2Y

=0⎟+⎜sinθ⎟+

dr⎠Ysinθ∂θ⎝∂θ⎠Ysin2θ∂ϕ2

2

11dR⎞∂⎛∂Y⎞∂Y

=l(l+1)l为常数⎟=−⎜sinθ⎟−22

dr⎠Ysinθ∂θ⎝∂θ⎠Ysinθ∂ϕ

由此,偏微分方程(1)可得到分离为如下两个方程:

⎧d⎛2dR⎞

⎪dr⎜rdr⎟−l(l+1)R=0

⎠⎪⎝

⎨2

∂∂∂YY11⎛⎞⎪+l(l+1)Y=0⎜sinθ⎟+22⎪∂θ⎠sinθ∂ϕ⎩sinθ∂θ⎝

(2)

(3)

其中,(2)为欧拉方程,(3)球谐函数方程

方程(2)为常微分方程,可以直接求解,但方程(3)仍然是偏微分方程,需要进一步分离变量。

令Y(θ,ϕ)=Θ(θ)Φ(ϕ),代入方程(3)中

Θd2ΦΦd⎛dΘ⎞

+l(l+1)ΘΦ=0 ⎜sinθ⎟+22

sinθdθ⎝dθ⎠sinθdϕsin2θ方程两边同乘以

ΘΦ

sinθd⎛

⎜sinθΘdθ⎝sinθd⎛⇒⎜sinθ

Θdθ⎝

dΘ⎞1d2Φ2

()θ=0+ll+1sin⎟+2

dθ⎠Φdϕ

dΘ⎞1dΦ22

=m,⎟+l(l+1)sinθ=−2

dθ⎠Φdϕ

2

m为常数

由此偏微分方程(3)又可以分离为如下两个常微分方程:

⎧d2Φ2

⎪2+mΦ=0⎪dϕ⎨

dΘ⎞⎪sinθd⎛sin+l(l+1)sin2θ−m2Θ=0θ⎜⎟⎪dθ⎝dθ⎠⎩

(4)

[]

(5)

其中,方程(4)、(5)均为常微分方程,可以直接求解。

综上,球坐标系下拉普拉斯偏微分方程通过分离变量法,分离成三个常微分方程,即

一旦得到三个常微分方程(6)、(7)、(8)的解R(r)、Θ(θ)、Φ(ϕ),球坐标系下拉普拉斯偏微分方程的解即可得到:u(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ) 下面,我们将分别求解上述三个常微分方程。 1、欧拉方程(6)的求解 ○将方程

d⎛2dR⎞

⎜r⎟−l(l+1)R=0展开 dr⎝dr⎠

d2RdRr+2r−l(l+1)R=0 (9) 2

drdr

2

设r=e,

t

t=lnr

dRdRdt1dR1dR

(10) ===t

drdtdrrdtedtd2Rd⎛dR⎞d⎛1dR⎞ddt⎛1dR⎞1⎛1d2R1dR⎞1⎛1d2R1dR⎞

⎟⎟=−t=t⎜−t⎜⎟=⎜t⎟=⎜t⎟=⎜tt222⎜⎟⎜dr⎝dr⎠dr⎝edt⎠dtdr⎝edt⎠r⎝edtdredt⎠e⎝edtedt⎟⎠

1d2R1dR=2t−2t(11)2

edtedt

将方程(10)、(11)带入方程(9),得到

d2RdR

+−l(l+1)R=0 2

dtdt

特征值x1=l,x2=−(l+1)

R(t)=Celt+De−(l+1)t

将t=lnr代入上式,得到

R(r)=Cellnr+De−(l+1)lnr=Crl+

D

l+1r

当l=0时,特征值x1=0,x2=−1

R(r)=C+De−t=C+De−lnr=C+

综上

D

也满足上述通式。 r

2、方程(7)的求解 ○

d2Φ2

+mΦ=0 2

其解 Φ(ϕ)=Amcosmϕ+Bmsinmϕ

Φ(ϕ)应满足自然边界条件Φ(ϕ)=Φ(ϕ+2π)

所以,m必须为整数,即m=0,1,2,L 综上

Φ(ϕ)=Amcosmϕ+Bmsinmϕ3、方程(8)的求解 ○令x=cosθ,

(m=0,1,2,L) (13)

y(x)=Θ(θ)

dΘ(θ)dydxdy

==−sinθ

dθdxdθdxsinθ

d⎛dΘ⎞ddx⎛dy⎞d⎛2dy⎞22

⎜−sinθ⎟=sinθ⎜sinθ⎟⎟=sinθ⎜sinθ

dθ⎝dθ⎠dxdθ⎝dx⎠dx⎝dx⎠

d⎡2dy⎤1=1−x2−xdx⎢dx⎥⎣⎦

()()

带入方程(8),得到m阶连带勒让德方程

当m=0时,方程(14)退化为勒让德方程

其中,l为本征值,由x=±1的自然边界条件确定,l=0,1,2,3L,其本征函数为l阶勒让德多项式Pl(x)。综上,

l阶连带勒让德方程对应的解为l阶连带勒让德多项式Plm(x); l阶勒让德方程对应的解为l阶勒让德多项式Pl(x)。

(勒让德多项式的求解以及为什么本征值l必须为l=0,1,2,3L将在§2.2节详细讲解)

2、柱坐标系(ρ,θ,z)下拉普拉斯方程的分离变量解法 柱坐标系与直角坐标系的关系

⎧x=ρcosϕ⎪

⎨y=ρsinϕ ⎪z=z⎩

柱坐标系下拉普拉斯方程

利用分离变量法,令u(ρ,θ,z)=R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)代入(16)式中

ΦZd⎛dR⎞RZd2ΦRΦd2Z⎜⎟+2+=0 ρ22⎜⎟ρdρ⎝dρ⎠ρdϕdz

方程两边同乘以

ρ2

RΦZ

ρd⎛dR⎞1d2Φρ2d2Z⎜⎟++=0ρ⎜⎟22

Rdρ⎝dρ⎠ΦdϕZdz

ρd⎛dR⎞ρdZ1dΦ2

⎜⎟+=−=ρm⎟2

Φdϕ2Rdρ⎜⎝dρ⎠Zdz

222

从而得到

方程(17)为独立常微分方程,其解为

Φ(ϕ)=Amcosmϕ+Bmsinmϕ(m=0,1,2,L) 满足自然边界条件

方程(18)仍然没有完全分离开,方程两边同乘以

1

ρ

2

1d⎛dR⎞m21d2Z⎜⎟ρ−2=−=−λ λ为常数 2⎜⎟ρRdρ⎝dρ⎠ρZdz

进而,得到两个常微分方程

⎧d2Z

⎪2−λZ=0⎪dz⎨

dR⎞⎛m2

⎪1d⎛⎜⎟+⎜ρ⎜⎟⎜λ−ρ2⎪ddρρρ⎝⎠⎝⎩

1、当λ=0 ○方程退化为

(19)

⎟⎟R=0⎠

(20)

下面,我们将分别求解上述常微分方程。

方程(21)的解为Z(z)=C+Dz 方程(22)简化为

d⎛dR⎞m2

⎟⎜ρ⎟−ρR=0ρdρ⎜d⎠⎝

d2RdRm2

⇒ρ+−R=0

ρdρ2dρd2RdR2

⇒ρ+−ρmR=02

dρdρ

2

设ρ=e,

t

t=lnρ

dRdRdt1dR1dR

===t dρdtdρρdtedt

d2Rd⎛dR⎞d⎛1dR⎞ddt⎛1dR⎞1⎛1d2R1dR⎞1⎛1d2R1dR⎞

⎟⎟⎟⎜=−t==t⎜−t⎜t⎟=⎜t⎟=⎜⎟⎜222tt⎜⎟⎜dρ⎝dρ⎠dρ⎝edt⎠dtdρ⎝edt⎠ρ⎝edtdρedt⎠e⎝edtedt⎟⎠

1d2R1dR=2t−

edt2e2tdt

带入上式,得

d2R

−m2R=0 2

dt

当m≠0时

R(t)=Eemt+Fe−mt R(ρ)=Eρm+

F

ρm

当m=0时

R(t)=E+Ft R(ρ)=E+Flnρ

综上,方程(22)的解为

2、当λ>0时 ○

方程(19)的解为

方程(20)同乘以ρ

2

ρ

d⎛dR⎞22

⎟⎜ρ+λρ−mR=0 ⎟⎜dρ⎝dρ⎠

()

d2RdR

⇒ρ+ρ+λρ2−m2R=0 (23) 2

dρdρ

2

()

设x=ρ

dRdRdxdR== dρdxdρdx

d2Rd⎛dR⎞ddx⎛dR⎞d2R

=

⎜⎟=⎜⎟=λ2 2

dρ⎝dx⎠dxdρ⎝dx⎠dρdx

代入(23)式,得

方程(24)称为m阶贝塞尔(Bessel)方程,其解为m阶贝塞尔函数。

m阶贝塞尔函数的求解过程将在§2.3节中详细讲述。 3、当λ

方程(19)、(20)变为

2

方程(25)的解为

Z(z)=Ccosμz+Dsinμz

同样,令x=

μρ

方程(26)整理得

方程(27)称为m阶虚宗量贝塞尔(Bessel)方程,其解为m阶虚宗量贝塞尔函数。

m阶虚宗量贝塞尔函数的求解过程也将在§2.3节中详细讲述。

∂2u(x,y,z,t)22二、波动方程:=a∇u(x,y,z,t) 2

∂t

令u(x,y,z,t)=T(t)U(x,y,z),带入上述方程

T′′U=a2T∇2U

T′′∇2U

==−k2, k为常数 2

aTU

从而得到

22⎧⎪T′′+akT=0⎨22⎪⎩∇U+kU=0

T(t)=Acosakt+Bsinakt亥姆赫兹(Helmholtz)方程

∂u(x,y,z,t)=a2∇2u(x,y,z,t)

∂t

(28)

三、热传导方程:

令u(x,y,z,t)=T(t)U(x,y,z),带入上述方程

T′U=a2T∇2U

T′∇2U

==−k2, k为常数 2

UaT

从而得到

22⎧⎪T′+akT=0

⎨2

2

⎪⎩∇U+kU=0

−a2k2t

T(t)=Ae

亥姆赫兹(Helmholtz)方程

(29)

波动方程和热传导方程通过分离变量后,均需要求解Helmholtz方程。 下面,我们将详细讨论Helmholtz方程的解法。 四、Helmholtz方程:∇u+ku=0 1、球坐标系下Helmholtz方程的分离变量解法 球坐标系下Helmholtz方程:

2

2

令 u(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ),代入(30)式中,得

Yd⎛2dR⎞R∂⎛∂Y⎞R∂2Y2

r+kRY=0 +θsin+⎜⎟⎜⎟22222

∂θ⎠rsinθ∂ϕrdr⎝dr⎠rsinθ∂θ⎝r2

两边同乘以

YR

1d⎛2dR⎞1∂⎛∂Y⎞1∂2Y

+k2r2=0 ⎜r⎟+⎜sinθ⎟+22

∂θ⎠Ysinθ∂ϕRdr⎝dr⎠Ysinθ∂θ⎝

1d⎛2dR⎞1∂⎛∂Y⎞1∂2Y22

=l(l+1) ⎜r⎟+kr=−⎜sinθ⎟−

Rdr⎝dr⎠Ysinθ∂θ⎝∂θ⎠Ysin2θ∂ϕ2

所以

(32)称为球谐函数方程,与Laplace方程中球谐函方程(31)称为 l阶球贝塞尔方程,

数一致。球谐函数在此不再详述,l阶球贝塞尔方程的解法将在第四章详细讲述。

2、柱坐标系下Helmholtz方程的分离变量解法 柱坐标系下Helmholtz

方程:

令u(ρ,ϕ,z)=R(ρ)Φ(ϕ)Z(z) 代入(33)式中

ΦZd⎛dR⎞RZd2ΦRΦd2u2

⎜⎟kRΦZ=0 ρ+++⎜222⎟ρdρ⎝dρ⎠ρdϕdz

方程两边同

ρ2

RΦZ

ρd⎛dR⎞1d2Φρ2d2Z22⎜⎟ρ+++kρ=0 ⎜22⎟Rdρ⎝dρ⎠ΦdϕZdz

1d2Φρd⎛dR⎞ρ2d2Z222⎜⎟++=−=kmρρ ⎜⎟22

Rdρ⎝dρ⎠ZdzΦdϕ

所以

方程(34)的解前面已经计算,即

Φ(ϕ)=Acosmϕ+Bsinmϕ,

方程(35)两边同乘以

m=0,1,2,L

1

ρ2

1d⎛dR⎞1d2Zm22⎜ρ⎟⎟+Zdz2+k=ρ2 dρRdρ⎜ρ⎝⎠

1d⎛dR⎞m21d2Z2⎜⎟ρ+k−2=−=λ (36) ⎜⎟2

ZdzρRdρ⎝dρ⎠ρ

1、当λ=0时 方程(36)分解为

方程(37)的解为

Z(z)=C+Dz

令 x=kρ,方程(38)转化为

d2RdRx+x+(x2−m2)R=0 (39) 2

dxdx

2

为m阶贝塞尔方程。

2

2、当λ>0时,令λ=

ν ○

方程(40)的解为

Z(z)=Ccosνz+Dsinνz (42)

方程(41)

(a)、当k−ν

22

>0时,μ=k2−ν2,x=μρ

则方程(41)仍然可以转化为m阶贝塞尔方程

d2RdR22x+x+(x−m)R=0 (43)

dxdx2

2

(b)、当k−ν

22

则方程(41)转化为:

d2RdR

x+x−(x2+m2)R=0 (44) 2

dxdx

2

方程(43)为虚宗量贝塞尔方程。

(c)、当k−ν=0时,方程(41)转化为欧拉方程

2

2

dRd2R+−m2R=0 xx2

dxdx

2

2

3、当λ

−ν ○

方程(44)的解为

Z(z)=Ceνz+De−νz (47)

方程(45),令μ=k+ν,

2

2

x=μρ,则方程(45)转化为

d2RdR22xx++(x−m)R=0 (48) 2

dxdx

2

方程(47)为m阶贝塞尔方程。


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