第二章 线性偏微分方程和特殊函数的推导
第一章我们推导了如下三个常见的偏微分方程：
波动方程
热传导方程 2⎧Laplace方程⎪∇u=0
⎨2
⎪泊松方程⎩∇u=−ρ(x,y,z)
上述偏微分方程中的物理量不仅是空间的函数，还有对时间的函数，直接求解比较困难。在求解偏微分方程的所有方法中，分离变量法是一种非常重要的方法，其基本思路：
§2.1 分离变量法求解偏微分方程
一、拉普拉斯（Laplace）方程：∇u=0
1、球坐标系(r,θ,ϕ)下拉普拉斯方程的分离变量解法
2
∂2u∂2u∂2u
+=0
直角坐标系下拉普拉斯方程：2+
∂x∂y2∂z2
⎧x=rsinθcosϕ⎪
直角坐标系与球坐标系的关系：⎨y=rsinθsinϕ
⎪z=rcosϕ⎩
利用微分计算，可以得到球坐标系下拉普拉斯方程
方程（1）为偏微分方程，u具有多个自变量，无法直接进行求解，我们利用分离变量法
将球坐标系下拉普拉斯偏微分方程分解成为多个常微分方程，然后进行求解。 设u(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)，代入（1）式
Yd⎛2dR⎞RR∂⎛∂Y⎞∂2Y
=0 ⎜r⎟+⎜sinθ⎟+
∂θ⎠r2sin2θ∂ϕ2r2dr⎝dr⎠r2sinθ∂θ⎝r2
方程两边同乘以
YR1d⎛2
⎜rRdr⎝1d⎛2⇒⎜rRdr⎝
dR⎞11∂⎛∂Y⎞∂2Y
=0⎟+⎜sinθ⎟+
dr⎠Ysinθ∂θ⎝∂θ⎠Ysin2θ∂ϕ2
2
11dR⎞∂⎛∂Y⎞∂Y
=l(l+1)l为常数⎟=−⎜sinθ⎟−22
dr⎠Ysinθ∂θ⎝∂θ⎠Ysinθ∂ϕ
由此，偏微分方程（1）可得到分离为如下两个方程：
⎧d⎛2dR⎞
⎪dr⎜rdr⎟−l(l+1)R=0
⎠⎪⎝
⎨2
∂∂∂YY11⎛⎞⎪+l(l+1)Y=0⎜sinθ⎟+22⎪∂θ⎠sinθ∂ϕ⎩sinθ∂θ⎝
(2)
(3)
其中，（2）为欧拉方程，（3）球谐函数方程
方程（2）为常微分方程，可以直接求解，但方程（3）仍然是偏微分方程，需要进一步分离变量。
令Y(θ,ϕ)=Θ(θ)Φ(ϕ)，代入方程（3）中
Θd2ΦΦd⎛dΘ⎞
+l(l+1)ΘΦ=0 ⎜sinθ⎟+22
sinθdθ⎝dθ⎠sinθdϕsin2θ方程两边同乘以
ΘΦ
sinθd⎛
⎜sinθΘdθ⎝sinθd⎛⇒⎜sinθ
Θdθ⎝
dΘ⎞1d2Φ2
()θ=0+ll+1sin⎟+2
dθ⎠Φdϕ
dΘ⎞1dΦ22
=m,⎟+l(l+1)sinθ=−2
dθ⎠Φdϕ
2
m为常数
由此偏微分方程（3）又可以分离为如下两个常微分方程：
⎧d2Φ2
⎪2+mΦ=0⎪dϕ⎨
dΘ⎞⎪sinθd⎛sin+l(l+1)sin2θ−m2Θ=0θ⎜⎟⎪dθ⎝dθ⎠⎩
(4)
[]
(5)
其中，方程（4）、（5）均为常微分方程，可以直接求解。
综上，球坐标系下拉普拉斯偏微分方程通过分离变量法，分离成三个常微分方程，即
一旦得到三个常微分方程（6）、（7）、（8）的解R(r)、Θ(θ)、Φ(ϕ)，球坐标系下拉普拉斯偏微分方程的解即可得到：u(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ) 下面，我们将分别求解上述三个常微分方程。 1、欧拉方程（6）的求解 ○将方程
d⎛2dR⎞
⎜r⎟−l(l+1)R=0展开 dr⎝dr⎠
d2RdRr+2r−l(l+1)R=0 （9） 2
drdr
2
设r=e,
t
t=lnr
dRdRdt1dR1dR
（10） ===t
drdtdrrdtedtd2Rd⎛dR⎞d⎛1dR⎞ddt⎛1dR⎞1⎛1d2R1dR⎞1⎛1d2R1dR⎞
⎟⎟=−t=t⎜−t⎜⎟=⎜t⎟=⎜t⎟=⎜tt222⎜⎟⎜dr⎝dr⎠dr⎝edt⎠dtdr⎝edt⎠r⎝edtdredt⎠e⎝edtedt⎟⎠
1d2R1dR=2t−2t(11)2
edtedt
将方程（10）、（11）带入方程（9），得到
d2RdR
+−l(l+1)R=0 2
dtdt
特征值x1=l,x2=−(l+1)
R(t)=Celt+De−(l+1)t
将t=lnr代入上式，得到
R(r)=Cellnr+De−(l+1)lnr=Crl+
D
l+1r
当l=0时，特征值x1=0,x2=−1
R(r)=C+De−t=C+De−lnr=C+
综上
D
也满足上述通式。 r
2、方程（7）的求解 ○
d2Φ2
+mΦ=0 2
dϕ
其解 Φ(ϕ)=Amcosmϕ+Bmsinmϕ
Φ(ϕ)应满足自然边界条件Φ(ϕ)=Φ(ϕ+2π)
所以，m必须为整数，即m=0,1,2,L 综上
Φ(ϕ)=Amcosmϕ+Bmsinmϕ3、方程（8）的求解 ○令x=cosθ,
(m=0,1,2,L) （13）
y(x)=Θ(θ)
dΘ(θ)dydxdy
==−sinθ
dθdxdθdxsinθ
d⎛dΘ⎞ddx⎛dy⎞d⎛2dy⎞22
⎜−sinθ⎟=sinθ⎜sinθ⎟⎟=sinθ⎜sinθ
dθ⎝dθ⎠dxdθ⎝dx⎠dx⎝dx⎠
d⎡2dy⎤1=1−x2−xdx⎢dx⎥⎣⎦
()()
带入方程（8），得到m阶连带勒让德方程
当m=0时，方程（14）退化为勒让德方程
其中，l为本征值，由x=±1的自然边界条件确定，l=0,1,2,3L，其本征函数为l阶勒让德多项式Pl(x)。综上，
l阶连带勒让德方程对应的解为l阶连带勒让德多项式Plm(x)； l阶勒让德方程对应的解为l阶勒让德多项式Pl(x)。
（勒让德多项式的求解以及为什么本征值l必须为l=0,1,2,3L将在§2.2节详细讲解）
2、柱坐标系(ρ,θ,z)下拉普拉斯方程的分离变量解法 柱坐标系与直角坐标系的关系
⎧x=ρcosϕ⎪
⎨y=ρsinϕ ⎪z=z⎩
柱坐标系下拉普拉斯方程
利用分离变量法，令u(ρ,θ,z)=R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)代入（16）式中
ΦZd⎛dR⎞RZd2ΦRΦd2Z⎜⎟+2+=0 ρ22⎜⎟ρdρ⎝dρ⎠ρdϕdz
方程两边同乘以
ρ2
RΦZ
ρd⎛dR⎞1d2Φρ2d2Z⎜⎟++=0ρ⎜⎟22
Rdρ⎝dρ⎠ΦdϕZdz
⇒
ρd⎛dR⎞ρdZ1dΦ2
⎜⎟+=−=ρm⎟2
Φdϕ2Rdρ⎜⎝dρ⎠Zdz
222
从而得到
方程（17）为独立常微分方程，其解为
Φ(ϕ)=Amcosmϕ+Bmsinmϕ(m=0,1,2,L) 满足自然边界条件
方程（18）仍然没有完全分离开，方程两边同乘以
1
ρ
2
1d⎛dR⎞m21d2Z⎜⎟ρ−2=−=−λ λ为常数 2⎜⎟ρRdρ⎝dρ⎠ρZdz
进而，得到两个常微分方程
⎧d2Z
⎪2−λZ=0⎪dz⎨
dR⎞⎛m2
⎪1d⎛⎜⎟+⎜ρ⎜⎟⎜λ−ρ2⎪ddρρρ⎝⎠⎝⎩
1、当λ=0 ○方程退化为
(19)
⎞
⎟⎟R=0⎠
(20)
下面，我们将分别求解上述常微分方程。
方程（21）的解为Z(z)=C+Dz 方程（22）简化为
d⎛dR⎞m2
⎟⎜ρ⎟−ρR=0ρdρ⎜d⎠⎝
d2RdRm2
⇒ρ+−R=0
ρdρ2dρd2RdR2
⇒ρ+−ρmR=02
dρdρ
2
设ρ=e,
t
t=lnρ
dRdRdt1dR1dR
===t dρdtdρρdtedt
d2Rd⎛dR⎞d⎛1dR⎞ddt⎛1dR⎞1⎛1d2R1dR⎞1⎛1d2R1dR⎞
⎟⎟⎟⎜=−t==t⎜−t⎜t⎟=⎜t⎟=⎜⎟⎜222tt⎜⎟⎜dρ⎝dρ⎠dρ⎝edt⎠dtdρ⎝edt⎠ρ⎝edtdρedt⎠e⎝edtedt⎟⎠
1d2R1dR=2t−
edt2e2tdt
带入上式，得
d2R
−m2R=0 2
dt
当m≠0时
R(t)=Eemt+Fe−mt R(ρ)=Eρm+
F
ρm
当m=0时
R(t)=E+Ft R(ρ)=E+Flnρ
综上，方程（22）的解为
2、当λ>0时 ○
方程（19）的解为
方程（20）同乘以ρ
2
ρ
d⎛dR⎞22
⎟⎜ρ+λρ−mR=0 ⎟⎜dρ⎝dρ⎠
()
d2RdR
⇒ρ+ρ+λρ2−m2R=0 （23） 2
dρdρ
2
()
设x=ρ
dRdRdxdR== dρdxdρdx
d2Rd⎛dR⎞ddx⎛dR⎞d2R
=
⎜⎟=⎜⎟=λ2 2
dρ⎝dx⎠dxdρ⎝dx⎠dρdx
代入（23）式，得
方程（24）称为m阶贝塞尔（Bessel）方程，其解为m阶贝塞尔函数。
m阶贝塞尔函数的求解过程将在§2.3节中详细讲述。 3、当λ
方程（19）、（20）变为
2
方程（25）的解为
Z(z)=Ccosμz+Dsinμz
同样，令x=
μρ
方程（26）整理得
方程（27）称为m阶虚宗量贝塞尔（Bessel）方程，其解为m阶虚宗量贝塞尔函数。
m阶虚宗量贝塞尔函数的求解过程也将在§2.3节中详细讲述。
∂2u(x,y,z,t)22二、波动方程：=a∇u(x,y,z,t) 2
∂t
令u(x,y,z,t)=T(t)U(x,y,z)，带入上述方程
T′′U=a2T∇2U
T′′∇2U
==−k2， k为常数 2
aTU
从而得到
22⎧⎪T′′+akT=0⎨22⎪⎩∇U+kU=0
T(t)=Acosakt+Bsinakt亥姆赫兹(Helmholtz)方程
∂u(x,y,z,t)=a2∇2u(x,y,z,t)
∂t
（28）
三、热传导方程：
令u(x,y,z,t)=T(t)U(x,y,z)，带入上述方程
T′U=a2T∇2U
T′∇2U
==−k2， k为常数 2
UaT
从而得到
22⎧⎪T′+akT=0
⎨2
2
⎪⎩∇U+kU=0
−a2k2t
T(t)=Ae
亥姆赫兹(Helmholtz)方程
（29）
波动方程和热传导方程通过分离变量后，均需要求解Helmholtz方程。 下面，我们将详细讨论Helmholtz方程的解法。 四、Helmholtz方程：∇u+ku=0 1、球坐标系下Helmholtz方程的分离变量解法 球坐标系下Helmholtz方程：
2
2
令 u(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)，代入（30）式中，得
Yd⎛2dR⎞R∂⎛∂Y⎞R∂2Y2
r+kRY=0 +θsin+⎜⎟⎜⎟22222
∂θ⎠rsinθ∂ϕrdr⎝dr⎠rsinθ∂θ⎝r2
两边同乘以
YR
1d⎛2dR⎞1∂⎛∂Y⎞1∂2Y
+k2r2=0 ⎜r⎟+⎜sinθ⎟+22
∂θ⎠Ysinθ∂ϕRdr⎝dr⎠Ysinθ∂θ⎝
即
1d⎛2dR⎞1∂⎛∂Y⎞1∂2Y22
=l(l+1) ⎜r⎟+kr=−⎜sinθ⎟−
Rdr⎝dr⎠Ysinθ∂θ⎝∂θ⎠Ysin2θ∂ϕ2
所以
（32）称为球谐函数方程，与Laplace方程中球谐函方程（31）称为 l阶球贝塞尔方程，
数一致。球谐函数在此不再详述，l阶球贝塞尔方程的解法将在第四章详细讲述。
2、柱坐标系下Helmholtz方程的分离变量解法 柱坐标系下Helmholtz
方程：
令u(ρ,ϕ,z)=R(ρ)Φ(ϕ)Z(z) 代入（33）式中
ΦZd⎛dR⎞RZd2ΦRΦd2u2
⎜⎟kRΦZ=0 ρ+++⎜222⎟ρdρ⎝dρ⎠ρdϕdz
方程两边同
ρ2
RΦZ
ρd⎛dR⎞1d2Φρ2d2Z22⎜⎟ρ+++kρ=0 ⎜22⎟Rdρ⎝dρ⎠ΦdϕZdz
1d2Φρd⎛dR⎞ρ2d2Z222⎜⎟++=−=kmρρ ⎜⎟22
Rdρ⎝dρ⎠ZdzΦdϕ
所以
方程（34）的解前面已经计算，即
Φ(ϕ)=Acosmϕ+Bsinmϕ,
方程（35）两边同乘以
m=0,1,2,L
1
ρ2
1d⎛dR⎞1d2Zm22⎜ρ⎟⎟+Zdz2+k=ρ2 dρRdρ⎜ρ⎝⎠
1d⎛dR⎞m21d2Z2⎜⎟ρ+k−2=−=λ （36） ⎜⎟2
ZdzρRdρ⎝dρ⎠ρ
1、当λ=0时 方程（36）分解为
○
方程（37）的解为
Z(z)=C+Dz
令 x=kρ，方程（38）转化为
d2RdRx+x+(x2−m2)R=0 （39） 2
dxdx
2
为m阶贝塞尔方程。
2
2、当λ>0时，令λ=
ν ○
方程（40）的解为
Z(z)=Ccosνz+Dsinνz （42）
方程（41）
（a）、当k−ν
22
>0时，μ=k2−ν2,x=μρ
则方程（41）仍然可以转化为m阶贝塞尔方程
d2RdR22x+x+(x−m)R=0 （43）
dxdx2
2
（b）、当k−ν
22
则方程（41）转化为：
d2RdR
x+x−(x2+m2)R=0 （44） 2
dxdx
2
方程（43）为虚宗量贝塞尔方程。
（c）、当k−ν=0时，方程（41）转化为欧拉方程
2
2
dRd2R+−m2R=0 xx2
dxdx
2
2
3、当λ
−ν ○
方程（44）的解为
Z(z)=Ceνz+De−νz （47）
方程（45），令μ=k+ν,
2
2
x=μρ，则方程（45）转化为
d2RdR22xx++(x−m)R=0 （48） 2
dxdx
2
方程（47）为m阶贝塞尔方程。