圆锥曲线方程知识点
考试内容:
椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.
圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义:
PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,
PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段
⑴①椭圆的标准方程:
i. 中心在原点,焦点在x轴上:
y2a
2
x2a2
y2b2
1(ab0).
ii. 中心在原点,焦点在y轴上:
x2b
2
1(ab0).
2
②一般方程:AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:
2
x2a
2
y2b
2
1的参数方程为
xacos
(一象限应是属于0).
2ybsin
⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b.③(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦点:F1F2
a2a2
x准线:或y.⑥2c,cab.⑤
cc
2
2
离心率:e
c
焦点半径: (0e1).⑦
a
x2a
2
i. 设P(x0,y0)为椭圆
y2b
2
PF1a1(ab0)上的一点,F1,F2 ex0,PF2aex0
由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆
x2b
2
y2a
2
PF11(ab0)上的一点,F1,F2 aey0,PF2aey0
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知:pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为
c
c
2
2
“左加右减”.
注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d
2b2a2
b2b2
(c,)和(c,)
aa
⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆程
x2a2
y2b2
x2a2
y2b2
1(ab0)的离心率是e
c
(ca2b2),方a
t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e
c
我们称此方程为共离心率的a
椭圆系方程. ⑸若P是椭圆:b2tan
x2a2
y2b2
1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为
2
(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot
2
.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义:
PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹
),asin)
PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线
⑴①双曲线标准方程:Ax2Cy21(AC0).
x2a
2
y2b
2
1(a,b0),
y2a
2
x2b
2
1(a,b0). 一般方程:
⑵①i. 焦点在x轴上:
a2xy顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程:0或
cab
x2a
2
y2b
2
0
a2
ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y. 渐近线
c
xasecxbtany2x2yx
方程:0或220,参数方程:或 .
ababybtanyasec
2a2c
②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e. ④准线距ca2b2c
准线的距离);通径. ⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方
aa
程
x2a2
y2b2
1(F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
“长加短减”原则: MF1ex0aMF2ex0a
构成满足MF1MF22a
MF1ex0aMF2ex0a
(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半
MF1ey0aMF2ey0a
MF1ey0a
MF2ey0a
⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭
x2y2x2y2x2y2
双曲线.22与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.
ababab⑸共渐近线的双曲线系方程:
x2a
2
y2b
2
(0)的渐近线方程为
x2a
2
y22
0如果双曲线的
x2y2xy
渐近线为0时,它的双曲线方程可设为22(0).
abab
例如:若双曲线一条渐近线为y
2
11
x且过p(3,)22
2
2
解:令双曲线的方程为:
yx1x
1y2(0),代入(3,)得8224
⑹直线与双曲线的位置关系:
区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.
小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线离比为m︰n.
PF1
x2a
2
y2b
2
1,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距
简证:
d1me = . d2PF2n
e
常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
2
4acb2b
). 注:①aybycx顶点(
4a2a
②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.
2
2
③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
x2pt2x2pt
④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 2
y2pty2pt
2
2
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0e1时,轨迹为椭圆; 当e1时,轨迹为抛物线; 当e1时,轨迹为双曲线;
c
当e0时,轨迹为圆(e,当c0,ab时).
a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.