考试教室
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷
20 — 20 学年 第 学期
知识点：对弧长曲线积分公式；难度等级：1 答案: D
命
题人
:
开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:
2. 设级数∑a n 为一交错级数, 则(
n =1
∞
).
组
题人
密 名姓
弊 作 绝 拒 、 纪 号考学肃严 、 信 守 实 级诚封年、 争 竞 平 公 班、业专 线 院 学考试方式
：
考试时间: 120 分
该级数必收敛 (B)该级数必发散
该级数可能收敛, 也可能发散
(D)若a n →0(n →∞), 则必收敛
知识点：级数收敛的判断；难度等级：1 答案: C
3. 下列方程中, 设y 1, y 2是它的解, 可以推知y 1+y 2也是它的解的方程是().
(A)
y '+p (x ) y +q (x ) =0 (B) y ''+p (x ) y '+q (x ) y =0
一、选择题(每小题3分, 共18分)
(C) y ''+p (x ) y '+q (x ) y =f (x ) (D) y ''+p (x ) y '+q (x ) =0
1. 设函数
f (x , y ) 在曲线弧L
上有定义且连续, L 的参数方程为
知识点：线性微分方程的解的性质；难度等级：1
⎧ 答案: B
⎨
x =ϕ(t )
=ψ(t ) (α≤t ≤β), 其中ϕ(t ), ψ(t ) 在[α, β]上具有一阶连续导数, 且⎩y
ϕ'2(t ) +ψ'2(t ) ≠0, 则曲线积分⎰L f (x , y ) ds =(
).
微4. 设函数F (x , y ) 可微, 如果曲线积分⎰C F (x , y )(xdx +ydy ) 与路径无关, (A)
⎰β
α
f (ϕ(t ), ψ(t )) dt (B)
⎰α
β
f (ϕ(t ), ψ(t )) '2(t ) +ψ'2(t ) dt
则F x , y ) 应满足(
).
⎰α
β
βf (ϕ(t ), ψ(t )) dt (D) ⎰αf (ϕ(t ), ψ(t )) '2(t ) +ψ'2(t ) dt
(A)yF y '(x , y ) =xF x '(x , y ) (B)F y '(x , y ) =F x '(x , y )
:
审题人:
命题时间:
教务处制
(C)
(C)yF yy ''(x , y ) =xF xx ''(x , y ) (D)xF y '(x , y ) =yF x '(x , y ) 知识点:曲线积分与路径无关；难度等级:1；答案: D 分析: 由曲线积分与路径无关的条件, 计算可得. 5. 设Ω:x 2+y 2+z 2≤R 2, 则⎰⎰⎰(x 2+y 2) dxdydz =(
Ω
知识点:多元函数复合的二重积分，洛必达法则；难度等级:2。 答案:f '(0).
9．微分方程y ''-6y '+9y =x 2-6x +9的特解可设为y *=_________. 知识点:微分方程特解的形式；难度等级:1。 答案:Ax 2+Bx +C .
(-1) n -1
10. 若级数∑p 发散, 则p =__________.
n n =1
∞
2
3
).
(A) πR 5 (B) πR 5 (C)
83438165πR 5 (D) πR 1515
知识点:三重积分计算；难度等级:2；答案: C 6. 已知曲线y =平 行, 而
(
y (x ) 经过原点且在原点处的切线与直线2x +y +6=0
y (x ) 满足微分方程y ''-2y '+5y =0, 则曲线的方程为y =
知识点:级数收敛判定；难度等级:1。答案:p ≤0.
11。
).
同时垂直于向量
a =(3,4,-2)
和z 轴的单位向量
(A)
-e x sin 2x (B) e x (sin2x -cos 2x )
e x sin 2x
为 .
(C) e x (cos2x -sin 2x ) (D)
知识点:二阶线性齐次微分方程的通解；难度等级:1；答案: A
知识点：向量代数. 难度等级：2。答案：±1(4,-3,0)
5
二、填空题(每小题3分, 共18分)
7. 设u =⎰xz e t dt , 则
2
12.
均匀曲面z =__________. 知识点:曲面的质心；难度等级1; 答案：(0,0,).
a
2
yz
∂u
=__________.∂z
知识点:多元函数的偏导数，变限函数求导；难度等级:1。 答案:ye y z -xe x z .
1
8. 设f (u ) 为可微函数, 且f
(0) =0, 则lim 3
t →0+πt
x 2+y 2≤t 2
22
22
⎰⎰
f σ
分析: 注意对称性, 利用形心公式直接计算.
解:依对称性知, 质心在z 轴上. 于是设质心坐标为(0,0,), 其中
=__________.
zdS 1⎰⎰==⎰⎰2πa dS ⎰⎰
∑
2
∑
D xy
a
=.
2
知识点:可分离变量微分方程. 难度等级:3。 分析:需作变换将其化为变量分离方程. 解:将方程改写为
dx
=(x +y ) 2. dy
a
从而质心坐标为(0,0,).
2
三、计算题(每小题6分, 共24分)
13. 计算曲线积分⎰(e x sin y -y ) dx +(e x cos y -1) dy , 其中C 是上半圆周
C
令u =x +y , 则方程化为
a a
(x -) 2+y 2=() 2由点A (a , 0) 到O (0, 0) 的一段弧.
22
du dx
=1+. dy dy
知识点:对坐标的曲线积分, 格林公式；难度等级:3。 分析: 曲线已为闭曲线, 用格林公式.
解:不能直接使用格林公式, 添加辅助线, 与上半圆周一起构成闭曲线. 利用格林公式
du
=1+u 2. dy
这是变量分离方程, 积分得y +C =arctan u . 故原方程的解为-y (x ) +arctan(y (x ) +x ) -C =0. 15. 设∑为曲面z =x 2+y 2(z ≤1) 的上侧, 计算曲面积分
+C
(e x sin y -y ) dx +(e x cos y -1) dy
1a 1
=⎰⎰dxdy =π() 2=πa 2.
228D
I =⎰⎰(x -1) 3dydz +(y -1) 3dzdx +(z -1) dxdy .
∑
⇒⎰(e sin y -y ) dx +(e cos y -1) dy
C
x x
知识点:高斯公式, 对称性, 柱坐标；难度等级3。
分析:添加辅助面构成闭曲面用高斯公式.
⎧x 2+y 2=1
解: 设∑1为平面z =1上被⎨所围部分的下侧, ∑1与∑所
⎩z =1
1
=πa 2-(e x sin y -y ) dx +(e x cos y -1) dy 8OA
1
=πa 2. 8
围成的空间区域记为Ω, 则
1
的通解.
x 2+y 2+2xy
∑+∑1
14. 求微分方程y '=
⎰⎰
(x -1) 3dydz +(y -1) 3dzdx +(z -1) dxdy
=-⎰⎰⎰[3(x -1) 2+3(y -1) 2+1]dxdydz .
Ω
⎰(x
Γ
2
+z 2) dy =⎰⎰-2zdydz +2xdxdy
∑
因为
⎰⎰(x -1) dydz +(y -1) dzdx +(z -1) dxdy =0,
∑1
33
=⎰⎰(-2z
D
x -R
+2x ) dxdy =⎰⎰2Rdxdy =2πRr 2. D z
⎰⎰⎰xdxdydz =0,
Ω
⎰⎰⎰ydxdydz =0,
Ω
四、解答题(每小题6分, 共12分)
π
所以I =-⎰⎰⎰(3x +3y +7) dxdydz
2
2
Ω
17．已知a n =⎰tan n xdx .
4
=-⎰d θ⎰dr ⎰2(3r 2+7) rdz
r
2π11
=-2π⎰r (1-r 2)(3r 2+7) dr
1
(1)求∑1(a n +a n +2) 的值；
n =1
∞
=-4π.
2
2
2
2
2
n
16. 计算曲线积分⎰Γ(x +z ) dy , 其中Γ为曲面x +y +z =2Rx 与
x 2+y 2=2rx (0
(2)试证:对任意的常数λ>0, 级数∑
a n
λn =1n
∞
收敛.
知识点:无穷级数比较判别法, 定积分；难度等级:3
∞∞
11π1n n +2
解:(1) ∑(a n +a n +2) =∑⎰04(tanx +tan x ) dx =∑=1.
n =1n n =1n n =1n (n +1)
∞
∞∞
11π1n n +24
(2)由于∑λ(a n +a n +2) =∑λ⎰0(tanx +tan x ) dx =∑λ收敛；
n n n (n +1) n =1n =1n =1
∞
∞a n a n +a n +2a n
, 又 λ≤故级数收敛. ∑λ
n n λn n =1
知识点:对坐标的曲线积分, 斯托克斯公式, 合一投影；难度等级3。 分析:利用斯托克斯公式, 合一投影.
解:取∑为x 2+y 2+z 2=2Rx 上以Γ为边界的部分, 法向取外侧, ∑在
xoy 面的投影区域为D ={(x , y ) x 2+y 2≤2rx }.
应用斯托克斯公式得
18．设函数ϕ(x ) 具有连续的二阶导数, 并使曲线积分
⎰
Γ
(x 2+z 2) dy =⎰⎰-2zdydz +2xdxdy .
∑
⎰
L
[3ϕ'(x ) -2ϕ(x ) +xe 2x ]ydx +ϕ'(x ) dy 与路径无关, 求函数φ(x ).
又(-z x , -z y ,1) =(
x -R y
, ,1) , 利用合一投影, 可得 z z
知识点:第二型曲线积分, 微分方程；难度等级:2.
解:由题意得:3φ'(x ) -2φ(x ) +xe 2x =φ''(x ). 即φ''(x ) -3φ'(x ) +2φ(x ) =xe 2x .
特征方程r 2-3r +2=0, 特征根r 1=1, r 2=2. 对应齐次方程的通解为:y =c 1e x +c 2e 2x .
又因为λ=2是特征根. 故其特解可设为:y *=x (Ax +B ) e 2x . 代入方程并整理得:A =, B =-1.
1
即 y =x (x -2) e 2x .
2
*
2[z -f (α)][dz -f '(α) d α]=2x (y 2-α2) dx +2x 2(ydy -αd α).
利用[z -f (α) ]f '(α) =αx 2得
[z -f (α)]dz =x (y 2-α2) dx +x 2ydy .
所以
∂z x (y 2-α2) ∂z x 2y ∂x =z -f (α) , ∂y =z -f (α) .
12
故
∂z ∂z x 3y (y 2-α2)
==xy . ∂x ∂y [z -f (α)]2
故所求函数为:φ(x ) =c 1e x +c 2e 2x +x (x -2) e 2x .
12
五、证明题(每小题6分, 共12分)
⎧⎪[z -f (α) ]=x (y -α)
19．证明:由方程组⎨所定义的函数z =z (x , y ) 满2
⎪⎩[z -f (α) ]f '(α) =αx
2
2
2
2
20. 设正项数列{a n }单调减少, 且
⎛1⎫
∑ a +1⎪⎪收敛. n =1⎝n ⎭
∞
n
∑(-1)
n =1
∞
n
a n
发散, 证明级数
足方程
∂z ∂z
⋅=xy . ∂x ∂y
注：α换为u
知识点:多元函数的偏导数；难度等级:2
分析:在方程[z -f (α) ]2=x 2(y 2-α2) 两边微分可求出dz , 从而得到
∂z ∂z
, . 然后利用[z -f (α) ]f '(α) =αx 2即可证明结论. ∂x ∂y
知识点:无穷级数根值判别法, 极限存在判定准则；难度等级:2。 证明:由正项数列{a n }单调减少, 得lim a n 极限存在. 又∑(-1) n a n 发
n →∞
n =1∞
∞⎛1⎫⎛1⎫1
⎪a n =l >0. 于是lim 散, 故lim 故收敛. =
n
证明: 方程[z -f (α) ]=x 2(y 2-α2) 两边微分得
2
六、应用题 (每小题8分, 共16分)
21. 求抛物面壳z =(x 2+y 2) (0≤z ≤1) 的质量, 此壳的面密度为μ=z . 知识点:曲面质量, 极坐标；难度等级2。
分析:利用对面积曲面积分的物理意义采用极坐标计算 解:z =(x 2+y 2) (0≤z ≤1)
⇒抛物面壳∑在xoy 的投影为
D xy :x 2+
y 2≤2; =
1
2
STEP2. 设π与z =4+x 2+y 2切于点P (x 0, y 0, z 0).
⇒π的法向量为n =(2x 0,2y 0, -1), 且z 0=4+x 02+y 02. ⇒切平面方程为π:2x 0(x -x 0) +2y 0(y -y 0) -(z -z 0) =0.
22
⇒z =2x 0x +2y 0y +4-x 0. -y 0
1
2
⇒V =
(x -1) 2+y 2≤1
⎰⎰
π
2-
zd σ
1
⇒
质量m =⎰⎰∑μdS =⎰⎰
D (x 2+y 2
xy 212π2π
=⎰d θ=1). 00215
极坐标⎰
π
2
22
ρ（2x 0ρcos θ+2y 0ρsin θ+4-x 0-y 0) d ρ
22
=π(2x 0+4-x 0-y 0)
22. 求抛物面z =4+x 2+y 2的切平面π, 使得π与该抛物面间并介于柱面(x -1) 2+y 2=1内部的部分的体积为最小.
知识点:二重积分计算, 曲面的切平面, 函数的极值；难度等级:2。
分析: 先给出带参数切平面, 求出几何体体积, 再利用驻点求极值
解:STEP1.介于抛物面z =4+x 2+y 2, 柱面(x -1) 2+y 2=1及平面
z =0之间的立体体积为定值
⎧∂V
⎪∂x =π(2-2x 0) =0, 0
⇒可令⎪ ⎨
⎪∂V =-2πy =0.
⎪∂y ⎩0
⇒驻点(1,0).
⎧⎪V (1,0)=5π,
⇒⎨
⎪⎩z 0=5.
⇒由于实际问题有解, 而驻点唯一, 所以当切点为
(1,0,5)时, 题中所求体积为最小. 此时的切平面π:z =2x +3.
⇒只要介于切平面π, 柱面(x -1) 2+y 2=1及平面z =0之间
的立体体积V 为最大即可.