兴义市天赋中学数学必修二教案: 7.1直线的倾斜角和斜率(2)
教学目的:
1.在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上,掌握过两点的直线的斜率 公式并牢记斜率公式的特点及适用范围;
2.进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用;
3.培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的培养;
4.充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程 度的两个量这一事实,培养学生数形结合的数学思想教学重点:斜率概念理解与斜率公式教学难点:斜率概念理解与斜率公式授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:
一、复习引入:
1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.
2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°.
倾斜角的取值范围是0°≤<180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示.
3.概念辨析:①当直线和x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0°;②直线倾斜角的取值范围是0°≤<180°;③倾斜角是90°的直线没有斜率. 提问:
⑴哪些条件可以确定一条直线?
⑵在平面直角坐标系中,过点P的任何一条直线l,对x轴的位置有哪些情形?如何刻划它们的相对位置?
⑶给定直线的倾斜角,如何求斜率?
⑷设是直线的倾斜角,k为其斜率,则当k0及k0时,与之相应的取值范围是什么 ⑸判断正误:
①直线的倾斜角为,则直线的斜率为tan( )
②直线的斜率值为tan,则它的倾斜角为( )
③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率( )
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( ) 二、讲解新课:
4.斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式: k
y2y1
x2x1
(x1x2)
推导:设直线P1P2的倾斜角是,斜率是k,向量P1P2的方向是向上的(如上图所示).向量P1P2的坐标是(x2x1,y2y1).过原点作向量OPP1P2,则点P
的坐标是
(x2x1,y2y1),而且直线OP的倾斜角也是,根据正切tan
y2y1x2x1
函数的定义,
(x1x2)
yy1
即k2
x2x1
(x1x2)同样,当向量P2P1的方向向上时也有同样的结论.
当x1x2,y1y2(即直线和x轴垂直)时,直线的倾斜角=90,没有斜率
5.斜率公式的形式特点及适用范围:
①斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒;
②斜率公式表明,直线对于x轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点坐标表示,而不需求出直线的倾斜角;
③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础,必须熟记,并且会灵活运用;
④当x1x2,y1y2时,直线的倾斜角=90,没有斜率6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点;需要知道直线经过一个已知点及方向(即斜率)等等三、讲解范例:
例1求经过A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角.
解:k
30
1,就是tan1
5(2)
0180, 135
因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是135.
点评:此题要求学生会通过斜率公式求斜率,并根据斜率求直线的倾斜角. 例2求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角
①P1(2,3)、P2(2,8); 斜率不存在,90 ②P1(5,2)、P2(2,2); k0,0 ③P1(1,2)、P2(3,4) k
33
,arctan 22
点评:结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表
达式:①当k0时,arctank;②当k0时,0;
③当k0时,arctank例3 若三点A(2,3),B(3,2),C(,m)共线,求m的值 解:kABkAC
12
23m321
m
132222
例4 已知三角形的顶点A(0,5),B(1,2),C(6,m),BC中点为D,当AD的斜率为1时,求m的值及AD的长解:D点坐标为D
5m2
,,kAD
22
m2
5
1m752
AD
5552()2(5)2222
四、课堂练习:
1.若直线l过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线l的斜率为倾斜角为2.已知直线l1的倾斜角为1,则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为. 3.已知直线l过A(-2,(t+)2)、B(2,(t-)2)两点,则此直线斜率为倾斜角为___1t1t
4.已知两点A(x,-2),B(3,0),并且直线AB的斜率为
1
,则x= 2
5.斜率为2的直线经过(3,5)、(a,7)、(-1,b)三点,则a、b的值是( ) A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3
6.已知两点M(2,-3)、N(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是( ) 3333
或k≤-4 B.-4≤k≤ C. ≤k≤4 D.-≤k≤4 4444
7.已知两点A(-3,4)、B(3,2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围.
8.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,求直
A.k≥
线l的斜率.
9.过P(-1,2)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点,若P恰为线段AB的中点,求直线的斜率和倾斜角参考答案:
1.-1;135°
2.当1=0时, 2=0,当0°<1<180°时,=180°-1
3.-1;135° 4.-1 5.C 6.A 7.(1)k≤-1或k≥3
13
- 9. 2 ,arctan2
34
(2)arctan3≤≤
六、课后作业:
七、板书设计(略)