引言
香农公式表明，信道的带宽或信道中的信噪比越大，则信息的极限传输速率就越高。香农公式也得出这三者关系的表达式，本文讨论如何用MATLAB 进行仿真得出信噪比，带宽和信道容量的关系，并以图像的形式表示出来。
1. 数字通信系统中带宽的概念
早期的电子通信系统都是模拟系统。当系统的变换域研究开始后，人们为了能够在频域定义系统的传递性能，便引进了“带宽”的概念。当输入的信号频率高或低到一定程度，使得系统的输出功率成为输入功率的一半时(即-3dB) ，最高频率和最低频率间的差值就代表了系统的[[通频带宽]]，其单位为赫兹(Hz)。比如在传统的固定电话系统中，从固定话机终端到交换中心的双绞线路系统(Twist pair) ，所能提供的通信带宽可以到2MHz 以上，其中我们的语音通信只使用了从300Hz~3400Hz的频段，使用的通信带宽约为3KHz 。现在，基于双绞线传输的xDSL 接入网技术，能够充分使用语音带宽以外的频率，高速传送数据业务，实现宽带网接入。
图1.1 模拟电话线的频带
数字通信系统中“带宽”的含义完全不同于模拟系统，它通常是指数字系统中数据的传输速率，其表示单位为比特/秒(bit/S)或波特/秒(Baud/S)。带宽越大，表示单位时间内的数字信息流量也越大；反之，则越小。衡量二进制码流的基本单位称为“比特”，若传输速率达到64kb/s，就表示二进制信息的流量是每秒64,000比特。衡量多进制码流的的基本单位为“波特”，若多进制码流的传输速率达80KB/S，就表示多进制符号的信息流量是每秒80,000波特，如果将多进制码，比如四进制码(22)，换算成的二进制来衡量，则信息比特流量为80X2=160Kb/S。
不同的数字业务其提供或需求的带宽也不一样。如前面所说在固定电话网中的局与局之间的中继接口，所提供的带宽为64Kb/S；ISDN 网中的用户网络侧接口（UNI ）中的U 接口(2B1Q码) ，带宽为80KB/S(160Kb/S)；局间E1接口所提供的带宽为2Mb/S；同步数字传输网(SDH)中的STM-1信号速率为155Mb/S，等等。有时对于某一种业务却很难给出其带宽的确切值，因为数字信号的传输还与业务的带宽需求、传输质量、传输时间等因素有关。对于数字通信系统来说，一般情况下系统所提供的带宽越宽，其业务的实时性也越好。图2给出了各种业务与相应传输速率间的大略对应关系。
图1.2 各种数字业务的数据速率
2. 传输介质的通信带宽 数据信号是通过相应的信道来发送和接收的。信道可以是物理的信道，也可以是逻辑的信道。物理信道是由传输介质与通信设备构成；逻辑信道是在物理信道基础上建立的两个节点之间的通信链路。其中，物理信道中的传输介质是通信网络中最底层、最基本和最重要的资源。
传输介质从大的方面可分为导向介质和非导向介质，也即有线介质和无线介质。
常见的有线介质有：
(1)光缆(光纤) ，其传输带宽为几百MHZ~几十THz(多模、单模光纤) 。因为其传输带宽非常大，受外界电磁干扰小，所以在数字通信的高速传送网中最为常用。
(2)同轴电缆，其传输带宽为几十MHz~1GHz（RG8、RG58、RG59、RG62等），如在CATV 网中用户终端到光节点间的部分，为75欧的同轴电缆(RG59)。
(3)双绞线(Twist Pair)，传输带宽为几MHZ~几十MHz(22~26AWG，1~5类) 。
无线介质主要是指无线电波，其中能够使用的频段也非常宽，可使用的范围为3KHz~3000GHz。当前只划分到了9KHz~400GzH的范围，而目前使用的频段仅到几十吉赫兹。
3. 信道容量与香农定理(Shannon Theroy)
我们常常会遇到这样的问题：我的信道上到底可以传输多大的数据，或者指定的信道上的极限传输率是多少。这就是信道容量的问题。例如在xDSL 系统中，我们使用的传输介质是仅有几兆带宽的电话线，而上面要传送几兆、十几兆甚至几十兆带宽的数据，如此高的速率能保证在几兆带宽的双绞线上可靠传输吗？或者说从另一个角度说，在给定通频带宽(Hz)的物理信道上，到底可以有多高的数据速率(b/S)来可靠传送信息？
早在半个多世纪以前，贝尔实验室的香农（Claude Elwood Shannon）博士就已经解答这个问题。1948年，在《通信的数学原理》（Mathematical Theory of Communication）一文中，香农博士提出了著名的香农定理，为人们今天通信的发展垫定了坚实的理论基础。
香农定理的伟大之处在于它的理论指导意义。香农公式给出频带利用的理论极限值，即在有限带宽、有噪声的信道中存在极限传输速率，无论采用何种编码都无法突破这个极限。另外香农定律还告诉我们，在信带容量一定的情况下，信噪比和带宽可以互换。比如航天技术中的宇际通信，由航天器发回的信号往往掩埋在比它高几十分贝的宇宙噪声之中，虽然信号非常微弱，但香农公式指出信噪
比和带宽可以互换，只要信噪比在理论计算的范围内，我们总可以找到一种方法将有用信号恢复出来。另外，如移动通信中的多址接入技术（FDMA 、TDMA 、CDMA 、SDMA 以及OFDM ），还有各种信源编码、信道传输编码、纠错编码技术等等，都得益于香农定理。在xDSL 传送系统中，人们正是选择了合理的信道编码技术（DMT 和CAP 编码调制方式），可以保证信息在有限的通频带宽内可靠的传递，从而实现数据的高速传输，满足了人们宽带上网的需求。
1948年，在《通信的数学原理》(Mathematical Theory of Communication)一文中，香农博士提出了著名的香农定理，为人们今天通信的发展垫定了坚实的理论基础。
香农定理指出，在噪声与信号独立的高斯白噪信道中，假设信号的功率为S ，噪声功率为N ，信道通频带宽为W(Hz)，则该信道的信道容量
C 有
(3.1)
这就是香农信道容量公式。从公式(1)中我们可以看出，在特定带宽（W ）和特定信噪比(S/N)的信道中传送信息的速率是一定的。由信道容量公式还可得出以下结论：
(1)提高信号S 与噪声N 功率之比，可以增加信道容量。
(2)当信道中噪声功率N->0时，信道容量C->无穷大，这就是说无干扰信道的信道容量可以为无穷大。
(3)信道容量C 一定时，带宽W 与信噪比S/N之间可以互换，即减小带宽，同时提高信噪比，可以维持原来信道容量。
(4)信噪比一定时，增加带宽W 可以增大信道容量。但噪声为高斯白噪声时(实际的通信系统背景噪声大多为高斯白噪) ，增加带宽同时会造成信噪比下降，
因此无限增大带宽也只能对应有限信道容量，该极限容量为：
(3.2)
其中，n0为噪声功率谱密度,n0=N/W。
香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 公式”：C=Blog2(1+S/N)。式中：B 是信道带宽（赫兹），S 是信号功率（瓦），N 是噪声功率（瓦）。该式即为著名的香农公式，显然，信道容量与信道带宽成正比，同时还取决于系统信噪比以及编码技术种类香农定理指出，如果信息源的信息速率R 小于或者等于信道容量C ，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
香农在信息论中指出，如果信源的信息速率R 小于或者等于信道容量C ，那么，在理论上存在一种方法可使信源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。
该定理还指出：如果信息速率R>信道容量C ，则不可能传递信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
也许我们会有这样一个问题：在xDSL 系统中，我们使用的传输介质是仅有几兆带宽的双绞线，而上面要传送几兆、十几兆甚至几十兆带宽的数据，如此高的速率能保证在几兆带宽的双绞线上可靠传输吗？或者说从另一个角度说，在给定通频带宽(Hz)的物理信道上，到底可以有多高的数据速率(b/S)来可靠传送信息？这也就是信道容量问题，早在半个多世纪以前，贝尔实验室（原AT&T贝尔实验室，现朗讯贝尔实验室）的香农(Claude Elwood Shannon)博士就已经解答这个问题。
香农公式可以画成图3中的曲线。该图横坐标为信噪比S/N，以分贝dB 为单位；纵坐标为C/W，单位为b/S/Hz，其物理意义为归一化信道容量，即单位频带的信息传输速率。显然，C/W越大，频带的利用率越高，也即信道的利用率越高。该曲线表示任何实际通信系统理论上频带利用能达到的极限。曲线下方是实际通信系统能实现的频带利用区域，而上方为不可实现区域。
图3.1 香农公式图
香农定理的伟大之处在于它的理论指导意义。香农公式给出频带利用的理论极限值，人在围绕着如何提高频带利用率这一目标展开了大量的研究，取得了辉煌的成果。比如航天技术中的宇际通信，由航天器发回的信号往往掩埋在比它高几十分贝的宇宙噪声之中，虽然信号非常微弱，但香农公式指出信噪比和带宽可以互换，只要信噪比在理论计算的范围内，我们总可以找到一种方法将有用信号恢复出来。另外，如移动通信中的多址接入技术（FDMA 、TDMA 、CDMA 、SDMA 以及OFDM ），还有各种信源编码、信道传输编码、纠错编码技术等等，都得益于香农定理。在xDSL 传送系统中，人们正是选择了合理的信道编码技术（DMT 和CAP 编码调制方式），可以保证信息在有限的通频带宽内可靠的传递，从而实现数据的高速传输，满足了人们宽带上网的需求。
4香农公式在matlab 环境下的分析
4.1传送系统中带宽和信道容量仿真及分析
香农公式的模拟仿真是采用的matlab 软件，其在电脑运行环境如图3-1所示。实验过程是在窗口点击matlab 快捷方式，使其运行，将程序输入框中，点击回车即可运行，运行结果后面进行分析。
程序如下:
%高斯信道容量仿真
pn0_db=[-20:0.1:30];
pn0=10.^(pn0_db./10);
capacity=3000.*log2(1+pn0/3000);
pause;
clf;
semilogx(pn0,capacity)
title('Capacity vs. P/N0 in an AWGN channel');
xlabel('P/N0')
ylabel('Capacity (bits/second)');
clear
w=[1:10,12:2:100,105:5:500,510:10:5000,5025:25:20000,20050:50:100000];
pn0db=25;
pn0=10^(pn0db/10);
capacity=w.*log2(1+pn0./w);
pause;
clf;
semilogx(w,capacity);
title('Capacity vs. bandwidth in an AWGN channel');
xlabel('Bandwidth (Hz)');
ylabel('Capacity (bits/second)');
运行结果如下：
图4.1 传送系统中带宽和信道容量仿真及分析图
由此可知，当S 和n 0一定时，信道容量随着带宽B 增大而增大，然而当B->无穷大时，C 不会无限增大，而是趋向于一个常数。
4.2传送系统中信道容量和信噪比仿真及分析
程序如下:
function signal_rev=channelAWGN(signal,snr)
snr_lin =10^(snr/10); %dB转换
%计算信号功率和噪声功率
signal_power=sum(signal.^2)/length(signal); %计算已调信号功率
noise_power=signal_power/snr_lin;
noise_std=sqrt(noise_power); %计算噪声的标准方差
noise=noise_std*randn(1,length(signal)); %生成噪声
signal_rev=signal+noise; %加噪声
figure;
subplot(311);
stem(signal(1:100));
subplot(312);
stem(signal_rev(1:100));
subplot(313);
stem(noise(1:100));
运行结果如下：
图4.2 传送系统中带宽和信噪比仿真及分析图
由图知信道容量随信噪比成指数分布。
4.3带宽，信噪比和信道容量的仿真
程序如下：
w=[1:5:20,25:20:100,130:50:300,400:100:1000,1250:250:5000,5500:500:10000];
pn0_db=[-20:1:30];
pn0=10.^(pn0_db/10);
for i=1:45
for j=1:51
c(i,j)=w(i)*log2(1+pn0(j));
end
end
[w,pn0_db]=meshgrid(w,pn0_db);
% echo on
% pause
% k=[0.9,0.8,0.5,0.6];
% s=[-70,35];
surf(w,pn0_db,c');
title('Capacity vs. bandwidth and SNR');
运行结果如下：
图4.3 带宽，信噪比和信道容量的仿真图
现在我们知道，信道的带宽或信道中的信噪比越大，则信息的极限传输速率就越高。它给出了信息传输速率的极限，即对于一定的传输带宽（以赫兹为单位）和一定的信噪比，信息传输速率的上限就确定了。这个极限是不能够突破的。要想提高信息的传输速率，或者必须设法提高传输线路
的带宽，或者必须设法提高所传信号的信噪比，此外没有其他任何办法。至少到现在为止，还没有听说有谁能够突破香农公式给出的信息传输速率的极限。
5. 总结
此次实验设计我投入了很大的热情和精力，也是这次课程设计所带来的一个不错的经历。无论是查找资料还是MA TLAB 编写，调试程序都经过了不懈的努力，同时也发现了自己在学习中存在的很多问题，例如高斯白噪声的形成之类的，还有就是对MATLAB 很多它自己自带的函数库的使用的熟悉程度。软件设计，系统流程图很重要。画好框图后就开始一步
随着科学技术发展的日新日异，MA TLAB 已经成为当今计算机应用中空前活跃的领域，在生活中可以说是无处不在，因此作为二十一世纪的大学来说掌握MA TLAB 的开发技术是十分重要的。MATLAB 作为我们的主要专业课之一，虽然在开始学习时我对这门课并没有什么兴趣，觉得那些程序指令枯燥乏味，但在这次课程设计后我发现自己在一点一滴的努力中对MA TLAB 的兴趣也在逐渐增加。
在设计中，我对MA TLAB 有了一个更深刻的认识。同时通过此次课程设计，熟练掌握了MA TLAB 开发的基本方法，进一步熟悉了外部中断的使用方法。通过使用软件MATLAB ，深化了对软硬件联合调试的理解。一步编程了，编一个模块，调试一个模块。这样可以排除很多错误。
通过此次实验设计，我巩固了“信号与系统”、“通信原理”和“通信”等课程所学内容，初步了解和掌握现代移动通信系统的基本组成、基本原理、组网技术及典型通信系统(GSM 数字、CDMA 码分多址移动电话系统) 的设计、调试，理解其工作原理。为今后从事通信系统工程，移动通信，全球个人通信和多媒体通信打下一个良好的基础。
致谢
我觉得作为一名通信工程专业的学生，MATLAB 的编程与设计是很有意义的，在这个过程中可以学会如何把自己平时所学的东西应用到实际中。虽然我对这门课懂的并不多，很多基础的东西都还没有很好的掌握，觉得有点难，但是靠着这两个多星期的突击学习，自己开始主动学习并逐步从基础慢慢开始弄懂它。我认为这个收获应该说是相当大的。我觉得课程设计反映的是一个从理论到实际应用的过程，这个过程对缺乏实际经验的我们是非常重要的。通过这次课程设计我认识到自身知识及能力的薄弱，更让我知道实践的重要性。在以后的学习过程中，我会更加努力学习MATLAB 的相关知识和应用，真正能够运用MATLAB 解决各种实际的问题。
通过这次课程设计，我得到了一次用专业知识、专业技能分析和解决问题全面系统的锻炼。我在MA TLAB 的基本原理、MATLAB 应用系统开发方面，以及在常用编程设计思路技巧的掌握方面都能向前迈了一大步，为日后成为合格的应用型人才打下良好的基础。
参考文献
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