Ch4 复习概要
一、换元法
第一类换元法（凑微分法）
∫′f ⎡ϕx ⎤ϕx dx =f u du =F u +C =F ⎡ϕx ⎤+C ()()()()()⎣⎦∫⎣⎦1、先找复合函数，再确定中间变量；2、利用三角公式等恒等变形，再换元；3、熟悉常用的求导结果，先确定中间变量的导数，再找复合函数。
二、分部积分法udv =uv −vdu ∫∫基本原则：反对幂指三常见的几种形式：1、幂函数与三角函数：∫x sin xdx , n ∫x n cos xdx 2、幂函数与指数函数：∫x e dx n x 3、幂函数与对数函数：∫x ln xdx n 4、幂函数与反三角函数：
∫x arcsin xdx
5、指数函数三角函数：∫e sin xdx n ∫x arctan xdx , n x
Ch5 复习概要
一、定积分的计算1、积分上限函数
x Φ(x )≜∫f (t )dt a
Φ′(x )=f (x )(a ≤x ≤b )2、换元法、分部积分法注意：1) 偶倍奇零的使用；2) 第二类换元时，换上下限代替反函数代回；3) 在开根式和有绝对值时，注意被积函数的符号。
3、广义积分的计算无穷限的广义积分：
∫
∫+∞a b f (x )dx =F (+∞)−F (a )f (x )dx =F (b )−F (−∞)
f (x )dx =F (+∞)−F (−∞)−∞∫+∞
−∞
3、广义积分的计算
无界函数的广义积分：若 b 为瑕点, 则∫a f (x ) d x =F (b ) −F (a ) 若 a 为瑕点, 则∫f (x ) d x =F (b ) −F (a ) a b +b −
b 都为瑕点, 则若 a ,a ,
∫a
∫a b b f (x ) d x =F (b ) −F (a ) 则+−−+若瑕点c ∈(a , b ) , f (x ) d x =F (b ) −F (c ) +F (c ) −F (a )
二、定积分的几何应用2、旋转体的体积
x 轴1)y =f (x )直线 x =a , x =b 及 x 轴所围曲边绕
f x ⎤dx 旋转一周的体积 V =∫π⎡()⎣⎦a
y 轴2)x =ϕ(y )直线 y =c , y =d 及 y 轴所围曲边绕
旋转一周的体积 V =∫π⎡ϕy ⎤dy ()⎣⎦c d 2b 2
三、定积分的物理应用1、变力沿直线做功2、水压力
3、引力
y =e , y =e , x =0所围成的面积例7
例8 y =2x +3, y =x 所围成的面积例9
2
x
r =a θ(a >0), θ从 0→2π与极轴所围成的面积 曲线
例10
r =a (1+cos θ)与 r =a (a >0)公共部分的面积1）
r =3cos θ与r =1+cos θ2）
例11
1）两直角边长为 r , h 的直角三角形绕直角边h 旋转一周的圆锥体的体积
y 轴旋转2） y =x , y =x 绕
2
3
例16, 有一个闸门垂直放置在水中, 闸门宽2m ，高3m ，16,有一个有一个闸门垂直放置在水中闸门宽2m2m，高，高3m3m，
2m ，求闸门受到的水压力. 闸门的顶端距离水面闸门的顶端距离水面2m2m，闸门受到的水压力受到的水压力.
γ，重力加速度为g . 设水的比重为设水的比重为 ，重力加速度为，重力加速度为 .
. 解:设 x 轴沿闸门的一边垂直向下，其顶端作为原点轴沿闸门的一边垂直向下，其顶端作为原点.则 ：
dP =γg 2dx (2+x )=2γg (2+x )dx
3
所以闸门受到的水压力为：所以闸门受到的水压力受到的水压力为：
P =∫2γg (2+x )dx =21γg (N )
2、二阶常系数非齐次线性微分方程：
y ′′+py ′+qy =e p m (x )形式一 ：
λx
1)λ不是 r +pr +q =0的根，
2
y =Q m (x )e
*
λx
(Q (x )=Q (x ))
m
λx
2)λ是 r +pr +q =0的单根，
2
y =xQ m (x )e
*
(Q (x )=xQ (x ))
m
3)λ是 r +pr +q =0的重根，
2
y =x Q m (x )e
*
2
λx
(Q (x )=x Q (x ))
2
m
注：此式可作为公式使用
Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ+p λ+q )Q (x )=p m (x )
2
形式二：
y ′′+p y ′+q y =e
λx
~
[P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]
λ+i ω为特征方程的 k 重根( k =0,1), 则可设特解:
y *=x e
其中
⎧0,
k =⎨
⎩1,
k λx
~
[R m cos ωx +R m sin ωx ]
λ+iw 不是特征根 m =max {n , l }λ+iw 是特征根
例1
1)(1+y ) dx +(1+x ) dy =022
2)(1−y ) tan xdx +dy =02
3)xy ′−y ln y =0
4)y ′=10x +y
5)y ′−xy ′=2(y +y ′)2
例4：求下列方程的通解
1)y ′′+y =0
3)y ′′−4y ′=02)y ′′+4y ′+4y =0
例6 已知二阶常微分方程y ′′+a y ′+b y =c e 有特解x y =e (1+x e ) , 求微分方程的通解 .参考答案：−x 2x
y =C 1e +C 2e x −x +x e x