量子力学第四版卷一(曾谨言著)习题答案第5章-1

第五章： 对称性及守恒定律

2ˆpˆP248设粒子的哈密顿量为 HV(r)。 2

（１） 证明

d(rp)p2/rV。 dt

（２） 证明：对于定态 2rV

ˆpˆxyˆpˆyzˆz，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ˆp（证明）（１）rpx



d]

p)1[rp,H(r

dti

12ˆ][xˆpˆ,Hˆpˆxyˆpˆyzˆz,ˆV(x,y,zˆp[rp

2

ˆpˆxyˆpˆyzˆz,ˆp [x

1

ˆx2pˆy2(p2

2

2

2

ˆpˆxyˆpˆyzˆz,pxpypzˆp[x

,z)] （２）



122ˆpˆyˆz,pˆzˆp][z] [r

2

)] 1ˆz,pˆz2]ˆp[z2 （３） ]23

ˆpˆx,pˆxˆpˆxˆ2xˆpˆx [x]xp

ˆpˆxpˆxxˆpˆxpˆxxˆpˆxpˆxˆpˆx x

ˆ,pˆx]pˆxpˆx[xˆ,pˆx]pˆx [x

222

ˆxˆxˆx ip （４） ip2ip

2

3222

ˆVˆxˆxˆpˆpˆx,V]xˆpˆxVˆpˆxxˆpˆxVˆVˆxxˆ[pˆx,V] [x

ˆVˆ ix （５） x

将（４）（５）代入（３），得：

VVV222ˆ]i(pˆpˆ,Hˆxˆyˆz [rpp)i{xyz

xyz

i代入（１），证得题给公式：

ˆ2p

rV}

ˆ2dp

(rp)rV （６）

dt

ˆ （２）在定态之下求不显含时间t的力学量A

ˆrˆpˆ 结果是零，令A

2

dpˆpˆ)drV0 （７） 则rp*(rdt

ˆ2pp2但动能平均值

*d

由前式

P249 irial theorem） （２）库仑场 2 （３）VCr,n2

（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标(x,y,z)的n次齐次式，则不论n是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：

n

V(x,y,z)Cijkxiyjzk

ijk

（１）

此处的i,j,k暂设是正或负的整数，它们满足：

ijkn （定数）

Cijk是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

根据前一题的结论：

V （２） 2r

现在试行计算本题条件下rV的式子及其定态下平均值。 rVx

VVV

yz

xyz

(x



yz)Cijxkiyjzk xyz

i1

ijk

ij1kik1

xyjzkyjCijxkyzzj

x

iC

(ijk)

C

ijk

i

ijk

xyjzk

nV(x,y,z)

这个关系在数学分析中称Euler

（３）

直接看出n

xyz

x1xy2yz3z (1x2y3z)2V

2

2

2

rV2，由（３）式可知

（２）库仑场 V

1xyz

2

2

2

直接看出Ｖ是x,y,z的n1次齐次式，按（３）式有： 2

但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：

VVV

rVxyz

xyz

x

xyz

yz

(x2y2z2)3/2(x2y2z2)3/2(x2y2z2)3/2



1x2y2z2

V rV

rV1y2z2)2(2z)

n

由（２）得

P260ˆ(t)应（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符A

满足：

ˆ1dAˆ,Hˆ] （１） [A

dti

ˆ2pˆˆ不随时间t变化） 又对于自由粒子，有H（p2

ˆ(t)xˆ(t)为海氏表象座标算符；代入（１） 令A

ˆ(t)1ˆ2dxp

ˆ(t),] [x

dti2

ˆ(t)dx1

ˆ(t),pˆ2] （２） [x

dt2i

ˆ(t),pˆ2]xˆpˆ2pˆ2xˆ 但 [x

ˆpˆpˆpˆxˆpˆpˆxˆpˆpˆpˆxˆ x

ˆ,pˆ]pˆpˆ[xˆ,pˆ]2ipˆ （３） [x

代入（２），得：

ˆ(t)ˆdx1p

ˆ2ip

dt2i

ˆptC

ˆ(t)积分得 x

ˆ(t)xˆ(0)代入得Cx(0) 将初始条件t0时，x

P260 （１） ˆ(t)1ˆ2(t)2xˆ2(t)dxpˆ(t), [x] （２）

dti22

将等式右方化简，用前一题的化简方法：

ˆ(t)1p22x212p2ˆ,ˆ,pˆ]ˆ,xˆ2] [x][x[xi22i2i

ˆ(t)1dx

ˆ(t) （３） p

dt

ˆ与t有关）但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p，为此需另行建立动量算符的运动方程式：

ˆ(t)1ˆ2(t)2x2(t)dpp

ˆ(t), [p]

dti22

12x2(t)2

ˆxˆ2xˆ2pˆ} [p(t),]{p化简右方

hi22hi

=

2

2hi

ˆxˆxˆxˆpˆxˆxˆxˆpˆ} {p

=

2

2hi

ˆ,xˆ]xˆxˆ[pˆ,xˆ]}2xˆ2(t) {[p

ˆ(t)dp

ˆ(t)⑷ 2x

dt

ˆ(t)的微分方程式: 将⑶对时间求一阶导数,并与⑷式结合,得算符xˆ(t)dx

ˆ(t)0 ⑸ 2x2

dt

这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率ωˆcostBˆsint ⑹ ˆ(t)Ax

ˆ，

A

ˆ(t)p

将

⑻ ⑼

ˆ(

0)xˆx



ˆ(0)p

ix

c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley

5.1设力学量A不显含t，H为本体系的Hamilton量，证明

d2

AA,H,H

dt2

2

证.若力学量A不显含t，则有

dA1

A,H,令A,HC dti

d2A1dC11

C,H, C,H则

idtidt22

d2

 AA,H,H 2

dt

2

ˆ（不显含t）的平均值对时间的二次微商为： 5.1证明力学量A

d2

,H],H] （Hˆ是哈密顿量）

[[A 2

dt

2

此式遍乘

5.2

2

态中的平均值，有： d11ˆHˆ)d （１） ˆHˆA[A,H]*(A dtii

ˆ的本征态，故满足本征方程式 今代表H

ˆE （E为本征值） （２） H

ˆ是厄密算符，按定义有下式（需要是束缚态，这样下述积分存在） 又因为H

ˆ)d ˆ(A)dˆ)*(A

*H(H

~

（３）

（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）

（２）（３）代入（１）得：

d1ˆ(Hˆ)d ˆ)d1ˆ)*(A*A(Hdtii

EˆdE**Aˆd *Aii

因EE*，而

d0 dt

5.2

dAdt



5.3证明，对于一维波包有：

d21

x(xppx) dt

（解）一维波包的态中，势能不存在故

2

ˆxpˆ H （自由波包） 2

依据力学量平均值时间导数公式：

2ˆxd21212p

ˆ,H][xˆ,] x[x

dtii2

12

ˆ2,pˆx[x] （２）

2i

2222

ˆ2,pˆxˆ2pˆxˆxˆ 但 [x]xpx

ˆxˆpˆxpˆxxˆpˆxxˆpˆx)(xˆpˆxxˆpˆxxˆpˆxpˆxxˆ) (x

ˆpˆxpˆxxˆpˆxxˆpˆxxˆ)(pˆxxˆpˆxxˆpˆxpˆxxˆxˆ) (x

ˆ[xˆ,pˆx]pˆxxˆpˆx[xˆ,pˆx][xˆ,pˆx]pˆxxˆpˆx[xˆ,pˆx]xˆ x

ˆ,pˆx]i 因 [x

2ˆ2,pˆxˆpˆxpˆxxˆ)

[x]2i(x

代入（２）式，得到待证的一式。

j/] ⑴

5.4 ⑵

rirj/)] =[

i

rj/)] 11

ˆ1x2pˆ1y2pˆ1z2)ˆix2pˆiy2pˆiz2)] (p(p2mi2mi

V(/r1r2/) V(/r2r3/)V(/rirj/)] ⑷

2

2

2

ˆ1xpˆ2xpˆix,=[p

ˆ1xpˆ2xpˆix,+[p

ˆix,pˆjz]0 ˆix,pˆjx]0 ， [pˆix,pˆjy]0 ，[p第一个对易式中，因为：[p

故整个 [

ˆix,p

i

i

1

ˆi2]0 p2mi

至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式

V[/rirj/]V(xixj,yiyj,zizj)

i,j

i,j

ij

=

1

{V(xixj,yiyj,zizj)V(xixj,yiyj,zizj)} 2i,j

又⑷式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同粒子的坐标算符和动量算符永远能够对

易，⑷式又能简化成：

ˆ][pˆ(xx,yy,zz)] ˆx,Hˆix,V[pijijij

i

j

=

ˆ[p

i

j

ix

1ˆˆ(xx,yy,zz

,{V(xixj,yiyj,zizj)Vjijiji

2

ˆ]ˆx,H [p

jyi,zjzi)]] =

i

5.5ˆ H

ˆˆ

]的分量看其是否等于零。 要考察合力矩是否守恒，可以计算[L,H

1ˆˆˆi2V[rirj]] [Lx,H][(yipizzipiy),p

ii2ii,j



ii

1

ˆix2pˆiy2pˆiz2)(pˆix2pˆiy2pˆiz2)(yipizzipiy)][(yipizzipiy)(p

2i

j

[(yipizzipiy)V(xixj,yiyj,zizj)V(xixj,yiyj,zizj)(yipixzipiy)]



i

1

ˆix2pˆix2yipiz)(yipizpˆiy2pˆiy2yipiz)(yipizpˆiz2pˆiz2yipiz)[(yipizp

2i

2

2

2

2

2

2

ˆixzipiyzipiypˆix)(pˆiyzipiyzipiypˆiy)(pˆizzipiyzipiypˆiz)](p

[(yipixVVyipix)(VzipiyzipiyV)]

i

j

⑶

因为 [pix,piy][piz,piz][piz,pix][piz,piy]0 因而⑶可以化简：

2222

ˆ] [Lx,H

ˆ

122

ˆˆˆ {[0[y,p]p000[piiyiziz,zi]piy}{[piz,yiV][ziV,piy]}

i2iij

用对易关系：

ˆ]

[Lx,H

ˆ

ˆˆ [Lx,H]同理可证 ˆ

因此L

5.6 [证明]是任意力学量, i=1,2,3,…

ε）

{A,B}

i

ABAB

qipipiqi

d

A{pi,qi}0 dt

在经典力学中，力学量A 随时间守恒的条件是

或写作：

dAAAqiApi

0 dttpitiqit

将哈密顿正则方程式组：

dqiHdpiH



dtpidtqi

代入前一式得

dAAAHAHA{A,H}0 dttqppqtiiiii

因此，若力学量A，B不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是：

{A,H}0 ⑵ {B,H}0 ⑶

假定以上两条件都适合，我们来考察{A，B}是否也是守恒的？为此只需要下能否成立：

{{A,H},H}0 ⑷

Ii

 式中FF与H无关)，前式中{B,pi}的值可在⑴中，作替代A—>B，B—>pi得到，{A,pi}求法类似。再在⑹式中，令H=pi，得：I=F（A，B）因而得： F(A,B)

{A,B} qi

同理令H=qi得：G(A,B)

{A,B} pi

将所得的F和G代入⑹，并将这结果再和⑸等同起来，得到： {A，{B，H}}—{B，{A，H}}

i

HHA,B}{A,B}}{{A,B},H} qipipiqi

这个式子说明：如果（2），（3）满足，（4）式就成立即{A,B}守恒。

ˆ,Bˆ守恒的条件是 在量子力学体系情形，A

ˆ,Hˆ]0 [Bˆ,Hˆ]0 [A

ˆ,BˆBˆ,Hˆ]Hˆ][AˆBˆAˆ] 再考察 I[[A

ˆBˆ,Hˆ,Hˆ][BˆAˆ] [A

ˆBˆ后得到： ˆHˆBˆHˆA将此式加减A

ˆ,Bˆ[Bˆ,Hˆ][Hˆ ˆ]Hˆ]Aˆ,Hˆ][Aˆ]BˆBˆ[Hˆ,Aˆ,Bˆ]A[[A

ˆ，Bˆ是守恒量，前一式等号右方[Aˆ,Hˆ]0，[Bˆ,Hˆ]00 若A

ˆ,Bˆ,Bˆ,Bˆ]Aˆ是守恒量，则Aˆ,Hˆ所以[A

ˆ,Bˆ,Bˆ的值为确定值A0和Bˆ]的值为0。 有共同本征态，在此态中测得A，[A

5.7——3.2，

5.8Dxa方向平移距离a算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）xeikxeika

证：Dxaikaeikxkxeikax 证毕

5.8 (x)eikxk(x) ，k

(xa)k(x)

ika

ˆ(a)的本征函数，相应的本征值是e是Dx

。

ˆ(a)是位移算符，它的本征态具有空间的移动（或平移）的对称性，假使(x)是这种态，则（证明）Dxˆ(a)(x)(x) Dx

同时(x)是有运动对称性的： (xa)(x)

将Dx(a)作用于Bloch函数：

ˆ(x)(xa)eik(xa)(xa)eikaeikx(x)eika(x) Dxkk

5.9——6.7

5.9设m表示Lz的本征态（本征值为m），证明

eikLze

ikLy

m

是角动量L沿空间,方向的分量Ln

LnLnLxsincosLysincsin证：算符e

ikLy相当于将体系绕y轴转角，m原为Lz的本征态，

'

本征值为mz轴（开始时和实验室z轴重合）已转到实验室坐标系的,方向，即Ln的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为m. P327）

5.10——2.12

5.11 5.12答案没找到 5.13——3.10 5.14——3.16

5.14验证积分方程式

ˆ,B()d] ˆ(t)Bˆi[A B0

t

o

ˆ与时间无关） ˆ(t)eiAtB(0)eiAt （A有下列解：B

ˆ

ˆ

（证明）根据第四章第40习题，有：

ˆtL

ˆeˆAˆ[Lˆ]]....... （2） ˆ,A]1[Lˆ,[Lˆ,AeLA

!

ˆtLˆ ，题给一式Bˆ （前式中的） ˆ(0)A因此令题给一式中的iA

ˆt,Bˆt,[iAˆt,Bˆ(t)Bˆ(0)[iAˆ(0)]1[iAˆ(0)]].... . . . 则 B

2!

2

(it)ˆ,Bˆ,[Aˆ,Bˆ(0)(it)[Aˆ(0)]ˆ(0)]]...... （3） [A B

2!

ˆ,Bˆ,[Aˆ,Bˆ()d1{B(0)(it)(it)[Aˆ(0)](it)[Aˆ(0)]]......} （4） 将（3）积分：B

i2!3!0

将（4）代入（1）式右方：

t22

ˆt,[iAˆt,Bˆi[A,Bˆ()d]B[iAt,Bˆ(0)]1[iAˆ(0)]]......Bˆ(t) B002!0

题得证。

t


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