工艺·技术·应用
永磁装置中磁场力的计算
王 瑜
（山西金山磁材有限公司 山西太原 030024）
摘 要：提供力学服务是永磁装置重要的用途之一，因而磁场力的计算是磁力机械设计、应用的重要内容。磁场力的计算有公式法和数值算法，本文结合两个具体实例对这两种算法进行了介绍，给出了计算结果，并与实测值进行比较。结果表明公式算法简单、方便，但计算误差较大；数值算法虽计算复杂，但精确、可靠。同时，文中对实例中的有限元数值算法提供了源程序，可供参考。
关键词：永磁装置；磁力计算；公式算法；数值算法
中图分类号：TM153+.3 文献标识码：B 文章编号：1001-3830(2007)05-0049-04
Calculation of Magnetic Force of Permanent Magnet Devices
WANG Yu
Shanxi Jinshan Magnetic Material Co, Ltd, Taiyuan 030024, China
Abstract: Providing mechanic service is one of the important uses for the permanent magnet devices, thus the
computation magnetic field strength is an important task for the design and application of magnetic force machine. There are two methods for the magnetic field strength computation, ie. formula method and mumerical algorithm. This article unifies two concrete examples to carry on the introduction to these two algorithms, gives the computing results, and comparies the computing results with the measured values. The result indicates that the formula algorithm is simple, convenient, but the error is big; although the numercal algorithm is complex for calculating, its result is precise, reliable. At the same time, the article has provided all the FE source program to the example that may supply reference to the readers.
Key words: permanent magnet device; calculation of magnetic force; formula method; numerical
algorithm
1 引言
以永磁材料为核心的永磁装置或用来产生磁场，或用来提供力学服务，所以磁场力的计算是永磁装置设计和使用中的一项重要内容。尤其是在磁选、吸合工具等行业常常要进行以永磁材料为磁场源的磁场力的计算，而这方面的相关资料较少。这主要是由于实用化的永磁材料尤其是第三代永磁材料钕铁硼出现相对较晚，基于传统电磁理论的磁场力计算主要针对的是电磁力，即电磁铁磁场力的计算。同时用传统电磁理论进行磁场力计算时，如要保证精度则计算相当复杂或根本无法计算，如使用简化公式计算精度又不高，实用价值有限；新发展起来的数值算法精度高，但掌握数值分析的人员收稿日期：2006-07-10 修回日期：2007-03-31 作者通信：E-mail: [email protected]
对永磁行业又比较陌生，而永磁磁路设计人员大多又不熟悉数值计算，故涉及永磁装置磁场力计算的资料较少。经常有客户或相关行业的人员迫切需要这方面的知识，许多磁性材料网站论坛上也经常涉及这方面的问题，故笔者根据自己的一些经验及了解掌握的一些情况，对这方面内容作一较详细的介绍。
2 磁场力的公式算法
2.1 磁场力计算公式的推导
我们知道，载流导体和导磁材料在磁场中会受到力的作用，我们把这种力的作用称为磁场力。经典电磁理论认为，导磁材料在磁场中所受的力可归结为分子电流所受的力[1]。
导磁材料在磁场中被磁化后，内部存在磁化电流，材料表面存在表面磁化电流，其磁化电流体密
磁性材料及器件 2007年10月 49
度和表面磁化电流面密度分别为δv 、δs ： δv =∇×M （1） δs =－n ×M （2）式中M 为介质磁化强度，n 为表面法向矢量。则磁场对导磁材料的作用力为：
−6
F =BHS ≈() 2BHS （10）
85000
使用该式F 、B 、H 、S 单位分别为kgf 、G 、Oe 、cm 2。
在磁场力的求解时，也经常根据具体情况使用虚位移法来求导磁材料在磁场中的受力：即有n 个回路构成的系统，如仅有一个广义坐标x 发生变化，则首先写出磁回路系统能量表达式W m ，则在各回路磁通保持不变的情况下，导磁材料在磁场中的受力为
F =∫∫∫δv ×B d V +w ∫∫δs ×B d s
v
s
=∫∫∫(∇×M ) ×B d V +w ∫∫(−n ×M ) ×B d s (3)
v
s
式中B 为磁感应强度。对于各向同性介质有：
F =∫∫∫(∇×M ) ×B d v （4）
V
F =−
2.2 计算实例
∂W m
∂x
（11）
φ=0
又M =
µr −1
B ，µ0为真空磁导率，µr 为磁介质0r
µr −120r
v
相对磁导率，经矢量运算可得
F =
2.2.1 孤立磁体对衔铁磁吸合力的计算
如图1所示，规格为50×50×25mm，牌号为
2
∫∫∫∇B d v （5）
v
N35 的NdFeB 磁体（B r =1.25T），磁体和衔铁之间
的距离为6mm 。我们来计算一下磁体对衔铁的吸引力。
由矢量梯度积分公式∫∫∫∇ϕd v =∫∫ϕ⋅d s 可得
F =
µr −10r
∫∫B d s （6）
s
2
该式即为磁场力计算公式。由于磁场在导磁材料所在区域分布的复杂性，故直接使用该式积分来
求磁场力往往比较困难，实际使用中，我们一般假设磁场在导磁材料所在区域分布均匀一致，又由于，这样根据磁路导磁材料磁导率较大（即µr >>1）
设计和计算实际我们把求解磁场力大小的公式简化表示为
图1 磁体对衔铁的吸引示意图
从公式可知，首先需计算衔铁处的B ，由于磁体与衔铁所构成的磁路漏磁太大，计算误差过大，不适合用磁路建立方程求解，故我们简化处理，直接用距孤立磁体表面中心点x 处的磁场强度公式来求B ，结果相对更准确些（工程实践中直接用高斯计测量也可）。
B =
B r ⎛−⎜tan ⎝µ−12
F =r B S =1B 2S =1BHS （7）
20r 202
式中B 为磁场与导磁材料作用面处的磁感应强度，H 为磁场与导磁材料作用面处的磁场强度，S 为磁
场与导磁材料作用面的面积。公式采用SI 单位制， 即式中F 、B 、H 、S 单位分别为N 、T 、A/m、m 2。
实际工程应用中，经常使用其它单位制，为方便使用，上式在其它常用单位中的表达形式表述如下
F =BHS =0.39789BHS （8） 8⎞
(12)式中L 、W 、H 分别为磁体长、宽和厚度。据公式 −tan −可得离磁体6mm 处磁感应强度B 的值约为0.42T, 则F =1B 2S =176N
2.2.2 简单磁路中磁场力的计算
使用该式F 、B 、H 、S 单位分别为N 、kG 、kOe 、cm ；
−510F =BHS （9） 82
使用该式F 、B 、H 、S 单位分别为N 、G 、Oe 、cm 2；
如图2所示，磁体、软磁回路和衔铁构成的简
50 J Magn Mater Devices Vol 38 No 5
图2 磁体回路对衔铁的吸引示意图
单磁路，磁体规格为30×30×30mm，牌号为N35 的NdFeB 磁体（B r ≈1.25T ），磁体和衔铁之间的距离为2mm 。我们来计算一下磁体对衔铁的吸引力。首先说明一点的是，磁体矫顽力H cb 对磁路及气隙磁场也会有影响，这里我们假定磁体矫顽力H cb 足够高，足以保证磁体工作点（B m , H m ）始终能处于则计算时我们就磁体B r -H cb 退磁曲线弯曲点以上，可以不再考虑磁体矫顽力的影响。
我们来计算衔铁处的B ，对于磁路，我们可建立下面的方程组
B m ×S m =K f ×B g ×S g ⎫
⎪
H m ×L m =K f ×H g ×L g ⎬ (13)
⎪B m =B r −µ0µr H m ⎭
果进行处理和解释的一种数学方法。
可供磁场有限元分析的计算机软件很多，有专用软件，有商业化通用软件。可进行电磁场分析的比较有影响的商业化有限元软件有：美国Swanson
Analysis System 的Ansys ；美国MacNeal 美国Ansoft Schwendlert Corp. 的MSC/EMS软件；
Corp. 的Maxwell 软件等，其中使用Ansys 的客户最多，分析领域也很广泛，下面将以Ansys 为例进行介绍。
Ansys 有限元软件处理问题的一般步骤为：建立几何模型；将问题中涉及到的材料参数进行定义；根据不同的模型要求选定所需的单元类型；给各个几何模型模块赋予材料属性和单元属性；对几何模型进行网格划分；根据物理问题的不同给问题施加载荷（如电流密度）并指定边界条件（定解条件）；选用合适的求解器和求解参数对问题进行求解；运用后处理程序按需要查看不同的求解结果。具体学习时可参考这方面的相关书籍[2~4]。
3.2 计算实例
下面我们仍以上面提到的例子，对如何应用
式中K f 、K r 分别为漏磁系数和磁阻系数，K f 取值为2.5，K r 取值为1.2；S m =9cm2、L m =3cm分别为磁体截面、长度；S g =9cm2、L g =0.2cm分别为气隙截面和长度；B m 、H m 为磁体的工作点；µr =1.05为磁体相对磁导率。上述三个公式联立可求出磁体B g =0.48T，每个磁极磁场力为F =1B g 2S g ，则总0
Ansys 软件求解磁场力作一些介绍。 3.2.1 孤立磁体对衔铁磁吸合力的计算
用Ansys 软件处理问题，有图形模式和命令流模式两种方法，为方便介绍，我们采用命令流模式。对第一个例子，用Ansys 软件求解该问题的命令流程序如下（Ansys 有限元程序语句中，以！、/com、
C***开头的内容为注释性文字，具体求解时其内容可以不必输入）。
磁场力为
F =2×1B g 2S g =166N
使用公式法时， K f 、K r 的确定更多靠的是经验，如没有实际磁路设计经验， 要准确确定K f 、K 比较困难。
/COM, Magnetic-Nodal !选用基于节点的磁场分析环境
3 磁场力的数值计算
3.1 磁场力的数值计算方法介绍
公式法计算磁场力简单方便，但相关参数难以准确估计，误差较大，因而大大限制了它的实用价值。磁场力的精确计算需应用数值分析方法，如有限元法、有限差分法等，其中发展较成熟的是有限元法。
有限元法是基于建立起来的数字模型，用现代数学方法求解有关微分方程定解问题，并对求解结
/PREP7 !进入前处理器
BLOCK,-0.025,0.025,-0.025,0.025,-0.028,-0.003 !建立磁体几何模型
BLOCK,-0.025,0.025,-0.025,0.025,0.003,0.028 ! 建立衔铁几何模型
BLOCK,-0.05,0.05,-0.05,0.05,-0.05,0.05 !建立外部区域几何模型
VOVLAP,all !对几何模型进行布尔操作 ET,1,SOLID98,10 !单元选择
MP,MURX,1,1.05 !定义磁体（1#材料）磁导率 MP,MGXX,1,0 !定义磁体X 轴向H cb MP,MGYY ,1,0 !定义磁体Y 轴向H cb （钕MP,MGZZ,1,950000 !定义磁体Z 轴向H cb
磁性材料及器件 2007年10月 51
铁硼材料退磁曲线按线性处理：即B r =µ0µr H cb ）。
MP,MURX,2,2000 !定义2#材料衔铁（电工纯铁）磁导率。定义磁导率严格来说要定义其B -H 曲线，这里直接取一常量，从简。
MP,MURX,3,1 !定义空气（3#材料）磁导率 MSHAPE,1,3D !划分单元参数选取 MSHKEY ,0 ! 设置划分单元网格大小 type,1 !选取单元类型 mat,1 ! 选取1#材料 vmesh,1 !对1#体积单元划分 mat,2 ! 选取2#材料
vmesh,2 ! 对2#体积单元划分 mat,3 ! 选取3#材料
vmesh,4 ! 对4#体积单元划分
ESEL,S,MAT,,2 !选取材料号为2的单元 CM,xiantie,ELEM !定义为衔铁组元 FINISH ! 退出前处理器 /SOL ! 进入求解器
FMAGBC,'XIANTIE' !加载衔铁磁场力标志 ALLSEL,ALL ! 选中所有单元
MAGSOLV ,2,,,0.001,25,0 !选用静态求解器求解
图3 例1磁场力有限元计算结果
图4 例2磁场力有限元计算结果
FINISH ! 退出求解器 /POST1 ! 进入后处理器 /VSCALE,1,1,0 ! 单位制
PLVECT,B,,,,VECT,ELEM,ON,0 !显示磁感应强度B 分布
FMAGSUM,'XIANTIE' !磁场力计算结果显示
上述有限元程序计算表明，用虚功原理计算磁吸合力为119.8N ，用Maxwell 应力法计算磁吸合力为120.4N ，图3为磁场力计算结果显示情况。
3.2.2 简单磁路中磁场力的计算
对于第二个例子，用有限元数值计算结果为：用虚功原理计算磁吸合力为156.5N ，用Maxwell 应力法计算磁吸合力为155.7N 。图4为磁场力计
算结果显示情况。同时仍将源程序附后，便于参考。/COM, Magnetic-edge /PREP7 SMRT,ON
BLOCK,0,0.03,0,0.06,-0.015,0.015 BLOCK,0,0.03,0.06,0.09,-0.015,0.015 BLOCK,0,0.03,0.09,0.15,-0.015,0.015 BLOCK,0.03,0.06,0,0.03,-0.015,0.015
BLOCK,0.03,0.06,0.12,0.15,-0.015,0.015 BLOCK,0.062,0.092,0,0.15,-0.015,0.015 VGLUE,ALL
BLOCK,-0.03,0.122,-0.03,0.18,-0.045,0.045 VOVLAP,ALL ET,1,SOLID117 MP,MURX,1,1.05 MP,MGXX,1,0
MP,MGYY ,1,950000 MP,MGZZ,1,0
MP,MURX,2,200 ！A3钢的磁导率约为200 MP,MURX,3,200 MP,MURX,4,1 MSHAPE,1,3D MSHKEY ,0 TYPE,1 MAT,1 VMESH,7 MAT,2
VMESH,8,11,1 MAT,3 VMESH,6 MAT,4 VMESH,2
（下转60页）
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但大量的商用电子设备正朝着小型化和高频化方向发展，目前使用频率6GHz 以下（甚至低至30kHz ）的电磁波为多，因此有必要对适用于这一
[2] 邓龙江, 等. [J]. 功能材料, 2001, 32(2): 144. [3] FDK产品目录. 2006.
[4] 过璧君, 邓龙江. [J]. 电子科技大学学报, 1992, 21(2):
158.
[5] 过璧君, 等. [J]. 电子科技大学学报, 1992, 21(3): 312. [6] 刘素琴, 等. [J]. 磁性材料及器件, 2000, 31(2): 12. [7] Ruan SP, et al. [J]. J Magn Magn Mater, 2000, 212: 175. [8] 张雄, 等. [J]. 材料导报, 2003, 17: 69.
[9] 孟凡君, 等. [J]. 无机化学学报, 2002, 18(10): 1067. [10] 张海军, 等. [J]. 功能材料, 2003, 34(1): 39.
频段的抗电磁干扰铁氧体吸波材料进行特别的研究，以达到在轻型薄层化、宽频带的同时做到高效吸收。
粘结类吸波制品特别是柔性橡胶类材料具有密度小、厚度薄、工艺简单无污染、能制作复杂形状、易于回收等优点，正被越来越多的研究人员所 关注，预计将有更为广阔的实用前景和发展空间。
，男，吉林省吉林市人，从作者简介：陶振声（1978－）事磁性材料及器件的研究与制造。
参考文献:
[1] TDK产品目录. 2006.
（上接52页）
值法毕竟也是一种近似的数学处理手段，与真实值也有偏差，但无论如何，有限元作为一种非常有效的数学工具，具有很强的实用性。尤其是对于越复杂的情况，Ansys 有限元精度高的优势越能充分体现。
ESEL,S,MAT,,3 CM,XIANTIE,ELEM FINISH /SOL
FMAGBC,'XIANTIE' ALLSEL,ALL ANTYPE,STATIC MAGSOLV FINISH /POST1
/VSCALE,1,1,0
PLVECT,B,,,,VECT,ELEM,ON,0 FMAGSUM,'XIANTIE' 3.3 实验验证及结果说明
4 结束语
本文对磁场力的公式法和Ansys 有限元算法作了介绍。使用公式方便简单，但误差大；使用有限元数值计算，误差小，精度高，但需专门学习才能掌握。同时，磁场力的计算总是和磁路计算密不可分的，故本文的介绍能起到的仅仅是抛砖引玉的作用，更多情形需结合具体实际和不同的需求加以分析。尤其是Ansys 的使用，首先需要结合软件和资料进行简单的学习，掌握基本的使用方法，才能结合不同的专业需求正确解决实际问题。
参考文献：
[1] 邹继斌, 等. 磁路与磁场[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学
出版社, 1998.
[2] 陈精一，蔡国忠. 电脑辅助工程分析——Ansys 使用指
南[M]. 北京：中国铁道出版社，2001.
[3] 唐兴伦，等. Ansys工程应用教程——热与电磁学篇
[M]. 北京：中国铁道出版社，2003.
[4] 博弈创作室. Ansys 7.0基础教程与实例详解[M].北京：
中国水利水电出版社，2004.
为了验证上述求解结果，笔者对计算结果进行了实际验证。具体方法是：按上述实例中磁体、软磁轭及衔铁部分尺寸加工模型，充磁组装，磁块部分与衔铁之间按气隙尺寸要求用绝缘材料间隔，衔铁下方加挂重物，逐渐加大重物的重量，到衔铁受重物拉力大于磁吸引力下落时，重物与衔铁的重量就是磁体对衔铁磁吸引力的大小。
实际测试结果为，例1中磁吸引力的大小约为113N ；例2中磁吸引力的大小约为142N 。公式法
与有限元数值法计算结果与实测值都有偏差，但有限元数值法计算结果要接近许多，而且公式法还是基于对相关参数有着很好的估计才得到的结果。
有限元数值计算结果与实测数据有一些偏差，作者认为，实测值受实验条件限制以及磁导率等参数取值与实际材料可能略有偏差，最终实测值可能与真实值会有些偏差；同时，有限元数
，男，工程师，毕业于四川大作者简介：王瑜（1974－）
学材料科学系，现在山西金山磁材有限公司从事生产管理、产品研发等方面的工作。
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