古 典 概 型
【高考要求】
1、理解古典概型及其概率计算公式。
2、会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
【知识回顾】
1、基本事件：试验中不能再分的最简单的随机事件。每次试验只出现其中的一个基本事件。
基本事件的特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
2、具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概率。
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等；
3、古典概型的概率计算公式：P(A)=A包含的基本事件个数 总的基本事件个数
4、求古典概型的概率的步骤：
（1）判断是否为古典概型；（2）若是古典概型，求出总的基本事件数n；
（3）求出事件A所包含的基本事件m，然后利用公式P(A)
注意：（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）求m值时，要做到不重不漏. m。 n
【基础练习】
1．(07广东文)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字
外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( A )
3111 B． C． D． 1051012
12．(08江苏) 一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ． 12A．
3.在50瓶饮料中，有3瓶已经过期了，从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概率为
4.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中
一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 0.2 .
【解析】 考查等可能事件的概率知识。从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，
它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。
【典例分析】
例1 （2009福建卷文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，
每次摸取一个球.
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、
黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）
（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数
为3由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率P(A)=38
例2 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3
个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是4的概率
解：
P=2C19C3
3C12=27； 220
例3 已知集合{-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从中任取两个数x,y作为点的坐标(x，y)。求：
（1）（x，y）不在x轴上的概率；
（2）点（x，y）在第二象限的概率.
解：基本事件的总数为 10×9＝90
（1）记点（x，y）不在x轴上为事件A，则事件A共有81个基本事件，则
P（A）＝81/90=9/10∴点（x，y）不在ｘ轴上的概率为9/10
（2）记点（x，y）在第二象限为事件B，事件B共有20个基本事件，则
P（B）＝20/90=2/9，即点（x，y）正好在第二象限的概率为2/9。
点评：解题时要先根据古典概型的两个条件有限性（结果只有有限个）和等可能性（每个结果发生
的概率一样）判断此题是否属于古典概型，然后再利用古典概型的概率公式求解. 求复杂事件的概率常用方法是先求其对立事件的概率，然后利用公式P(A)=1-P(A)求所
例4、一个盒子中装有完全相同的9个小球，分别标有1～9这九个数字，今随机抽出两个小球，如
果（1）小球是不放回的；（2）小球是有放回的。求这两个小球的数字是相邻的概率。
解：随机抽取两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”可能结果为（1，2），（2，
3），（3，4），（4，5），（5，6），（6，7），（7，8），（8，9），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，
5），（7，6），（8，7），（9，8）共16个基本事件；
（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果（x,y),则x有9种，y有8种，共72种，则P（A）
=16/72=2/9
（2）如果小球是放回的，则共有81种结果，则P（A）=16/81．
【课后作业】
1、若连续掷两次骰子分别得到的点数ｍ、ｎ作为点的坐标，则点Ｐ落在圆ｘ2＋ｙ2＝16内的概率
为（ D ）
A、1/20 B、4/5 C、1/14 D、2/9
2、有数学、物理、化学、历史、政治五本课本，从中任取一本，取到理料课本的概率是3 。 53、（2011广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需
要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( D )
A．132 B． C． 253D．3 4
4.（2011湖北理7）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且A1、A2
A1、A2正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、
则系统正常工作的概率为( B
)
A．0．960 B．0．864 C．0．720 D．0．576
5.（2011浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率( B )
A．123 B． C． 555D.4 5
6. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( D ) A. 1234 B. C. D. 75757575
[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也
从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C⋅C=15⨯15=225
种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 2626 ∙B C ∙ ∙F ∙D ∙ E ∙ A
AC//DB,AD//CB,AE//BF,AF//BE,CE//FD,CF//ED
共12对，所以所求概率为p=124=，选D 22575
7.从数字1，2，3，4中任取2个，组成没有重复的二位数，计算：
（1）这个二位数是偶数的概率；
（2）这个二位数大于20的概率。
解：基本事件的总数为4×3＝12（个）
（1）记“二位数为偶数”为事件A，则A中含有基本事件数为6,故P(A)=
（2）记“二位数大于20”为事件B，易得P(B)=1； 23. 4
8.(08广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表.
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生
的概率是0.19 . （1）求x的值； （2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问
应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y≥245,z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率。
x=0.19,解得x=380, 2000
(2)初三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,设应在初三年级抽取m人，则m48=，解得m=12.答: 应在初三年级抽取12名. 5002000
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生和男生数记为数对(y,z)，由（2）知y+z=500,(y,z∈N,y≥245,z≥245)，则基本事件总数有：
(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共11个，
而事件A包含的基本事件有：(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共5个，5∴P(A)=. 11解: (1)由
9. (2011·山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 (1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．所以选出的2
4名教师性别相同的概率为9
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．
62所以选出的2名教师来自同一学校的概率为155