2014-2015第2学期量子力学试题A
(试题共2页,答案请写到答题纸上)
一.填空(每空2分,共20分,)
1.微观体系的状态被一个波函数完全描述,从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足( )、( )和( )三个条件。
2.力学量用( )算符表示。表示力学量的算符有组成( )的本征函数。真实力学量的任何测量值必须为实数,这个性质决定了表征力学量的算符的( )特性。 3.体系的状态波函数满足( )方程。根据玻恩的解释,描写粒子的波乃是( )。 4.在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态,这一原理叫做
( )。
5.定态的几率密度和几率流密度都与( )无关。
二.(5分)图1描述的是双原子分子的微小振动问题。设分子在水平方向(x)作微小振动。(1)写出分子间的作用势;(2)写出系统的哈密顿量;(3)写出系统的定态薛定谔方程;(4)给出此薛定谔方程的解。
图1
三.(5分)图2给出一维线性谐振子基态的能量和波函数。KE表示动能。试根据图2回答下列问题:(1)什么是经典允许区和经典不允许区?(2)在图上标出经典允许区和经典不允许区;(3)说明经典谐振子和量子谐振子的差别。
图2
四.计算题(每小题10分,共70分)
1.设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02,现在受到微扰H'的作用,微扰矩阵元
为H’12=H’21=a,H’11=H’22=b,a和b都是实数,用微扰公式求能量至二级修正值。 2.设氢原子处于状态(r,,)
1R21(r)Y10(,)R21(r)Y11(,). 22
求氢原子能量、轨道角动量平方以及轨道角动量z方向分量的可能值,这些可能值出现的几
率和这些力学量的平均值。
3.一电荷为e、质量为的线性谐振子受恒定电场ε作用,电场沿正x方向.(1)试写出
体系的哈密顿算符;(2)可否用微扰理论计算此算符的本征值和本征矢?为什么?(3)求 此哈密顿算符的本征值和本征函数。 4.在Sz表象,Sx
01
,(1)求的本征值及所属的本征函数;(2)电子处于SSz本x210
征值为的态,求测量Sx本征值为的概率各为多少?
22
5.设有一物理体系(Q表象),态空间是三维的,基矢为│1>,│2>和│3>。请回答下面问
题:
100100
ˆ的矩阵表示为H010,Bb001,其中ˆ和算符B(1)算符H0
001010
ˆ对易。 ˆ和B0,b为常数,求证:H
ˆ满足Lˆ│1>=│1>;Lˆ│2>=0;Lˆ│3>= -│3>,求Lˆ的矩阵表示以及Lˆ本(2)算符L
z
z
z
z
z
z
征函数的矩阵表示。
ˆ满足Sˆ│1>=│3>;Sˆ│2>=│2>;Sˆ│3>=│1>,求Sˆ的矩阵表示以及Sˆ的本(3)算符S
征值。
ˆ2的矩阵表示。 (4)求Lzˆ的矩阵表示。 (5)求S
2
6.两个角动量系统,j1=j2=
1
。问 2
(1)耦合表象的基矢有几个?各是什么?(用狄拉克符号表示) (2)非耦合表象的基矢有几个?各是什么?(用狄拉克符号表示) (3)矢量耦合系数有几个?各是什么?
(4)写出耦合表象的基矢和非耦合表象的基矢之间的关系。(用狄拉克符号表示)
7.考虑两个一维粒子组成的体系。粒子1、2具有同一质量m,二者没有相互作用,并且都置于宽度为a的同一无限深势阱中。
(1)求体系哈密顿算符的本征值和本征波函数。给出两个最低能级的简并度。 (2)t=0时体系处于态
(0)
16
11
112
16
21
122,其中
1和2为粒子1或2的本征波函数。求时刻t体系的态、能量的可能值和相应概
率。
参考公式:
1.第二个角动量为电子自旋角动量时的矢量耦合系数
11
j1,,j1,m22
j,m1,1,11
222j,m1,1,11
222
j,m1,1,1
1
22211j,m1,1,1 j1,,j1,m122222
2. 一维谐振子问题:势场为U(x)m2x2,(x),定态解为
2
122x1
n(x)Nne2Hn(x),En(n),(n0,1,2,3,)。
2