信号系统这门课的贡献就是，它为我们展现了一种新的观察世界的角度，即“频域”。频域的度量称为频谱，频谱的横坐标为频率w(对应于上文的t), 纵坐标就是频谱值。那么怎样实现从时域到频域的变换？大名鼎鼎的傅立叶变换(Fourier Transform)就是一种方法。 傅立叶变换公式如下：
其中，w 为频率，函数F(w)为频谱。傅立叶变换建立了从时域到频域的映射。
这里暂时不详细介绍公式，先看它的由来。
傅立叶，法国人，数学家，物理学家。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅立叶级数（即三角级数) 、傅立叶分析等理论均由此创始。
在分析傅立叶变换之前，先引出复信号的概念。大家都知道复数包括实数和虚数，一个复数总可以表示成x=a+bj(j为虚单位) 。同理，信号也分实虚，实信号即是平常看得见摸得着的信号，引入虚的概念后，就可以将复信号解释清楚了。
回到刚才的问题，实际上傅立叶变换建立的是“复”频域与时域的联系。上文说过，傅立叶发现任何一个函数f(t)都可以用很多个三角函数的和
表示，其中w 是三角函数的角频率。另外，这个表示方法是一定的，即总能找到，并且能严格逼近。
为什么说傅立叶变换建立了复频域和时域的联系？频域有和上面的三角函数又有什么联系？难道只是因为cos(wt)中的w 名字叫做频率吗？显然不是。
根据欧拉公式，
其中，w 是角频率，j 是虚数单位。
带入上文公式（**），于是傅立叶的这个发现就可以解释通了：任何一个时域的函数f(t),都可以表示成很多个复指数 、的和的形式，w 恰好就是频谱中的频率。这样，傅立叶变换便建立了时域和复频域的联系。
将coswt 和sinwt 的公式带入傅立叶变换的定义式（*），即可得到cos(Wt)的频谱为F(w)=pi*[sigma(w-W)+sigma(w+W)];即是频谱两边对称的两个冲击信号。 这也是为什么原信号乘以正弦信号之后就可以被调制成高频信号。
上文（*）公式给出的傅立叶变换是连续时间傅立叶变换，而严格意义上的傅立叶变换分为几种形式（CFS,CTFT,DFS,DTFT ），每一种对应的情况都不相同，公式也不一样，这里不再一一介绍。
再说说为什么要进行傅立叶变换。举个例子，比如压缩电影、压缩照片，利用的就是人眼对某些频带以外的信号频谱反应不敏感的原理。将数据进行傅立叶变换，用滤波器过滤掉相对来说对人眼无用的高频和低频部分，就可以保证在不影响整体效果的情况下，最大程度地压缩图像数据。
不难想象，如果在时域上裁剪出这些数据的一部分，那数据的完整性将根本无法保证，比如将照片减去一半或是将影片头尾剪辑掉之类。然而在频域上的裁剪却可以大体上保证数据的质量，这正是频域的奇妙之处，它给我们提供了从另一个角度看世界的方法。
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