21.2.1解一元二次方程—配方法（第2课时）
张利利 武安市西寺庄乡中学
（人教版九年级数学上册第21章第2节第2课时）
一、课前系统部分
（一）课标分析
2011版初中数学课程标准对这节课的要求为：理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程。
（二）教材分析
对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，它又是推导公式法的基础；同时一元二次方程又是今后学生学习代数式的变形及二次函数等知识的基础。一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过一元一次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。本节课由简到难的展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法。
（三）学生分析
（1）、知识掌握上，九年级学生学习了平方根的意义；他们还学习了完全平方式（a ±b ）2=a2±2ab+b2。这对配方法解一元二次方程奠定了基础。
（2）、学生学习本课的障碍。学生对配方法怎么样配系数是个难点，老师应该予以简单明白、深入浅出的分析。
（3）、我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发，分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法解一元二次方程奠定了基础。
（四）教学目标：
知识与技能
1、理解配方并会用配方法解数字系数的一元二次方程．
2、在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解．
过程与方法
1、通过对比、转化、总结得出配方法的一般过程，提高推理能力。
2、通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理，锻炼学生的抽象概括能力。
情感态度和价值观
通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨以及数学结论的确定性。
教学重点：理解配方法及用配方法解数字系数的一元二次方程．
教学难点：如何对一元二次方程正确配方．
（五）教学策略
采取启发探究式教学，在教学中主要以启发学生进行探究的形式展开，利用学生已有的知识，让学生自主探索，通过类比，明晰方程结构特征，联想完全平方公式，对方程进行转化，发现、理解并初步掌握配方法的基本思想——降次。
（六）教学用具
利用幻灯片，提供丰富的学习内容，如：人体雕像问题引例，用框图形式表示配方法解方程的全过程．
二、课堂系统部分-教学过程
（一）课前探究
（1）．复习完全平方公式并填空
（a ±b ）2=a2±2ab+b2
(1)x2+10x+_____=(x+5)2
(2)x2-12x+_____=(x-___)2
(3)x2+5x+_____ =( x+ )2
(4)x2-2/3x+____= (x-___)2
(5)x2+bx+_____= (x+___)2
你能发现等号左边所填的数与一次项系数有什么关系吗？
设计意图：让学生课前通过自己思考得出配方法的关键
（2）怎样解方程x 2＋6x +4 = 0
设计意图：让学生自己去尝试用已经学会的方法去解决新问题。
（二）创设情境，导入新知
1．引入人体雕像问题
问题1在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计为多高？
师生活动：教师展示章前引言问题，学生回忆思路：解：设雕像下部高x m ，可得方程x 2=2（2—x ），整理得x 2+2x —4=0．教师追问：这个方程如何来解? 学生观察方程，发现与我们以前学过的方程不同，解方程有困难．
设计意图：以人体雕像问题为本节课的开端，不仅培养应用意识，而且提出了本节课要解决的问题，使学生目标明确，并激发探究意识．
问题2：你会解哪些一元二次方程，如何解的？
师生活动：学生回顾上节课用直接开平方法解一元二次方程的实质是把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程进行求解，主要思想是“化归”．
设计意图：让学生用化归的数学思想解决新知。
追问：如何解一元二次方程？
师生活动：教师引导学生思考得出，解一元二次方程需要将它降次转化为一元一次方程．利用什么方法将“二次”降为“一次”，这是本节课学习的主要内容．
设计意图：引出解一元二次方程的基本思路——降次．明确学习内容——降次的方法．
2．知识回顾
（1）解方程 :x 2=25， x 2＋6x +9 =5，
设计意图：让学生体会方程结构的特征，为后续实现化归奠定基础．
（三）、合作交流，探究新知
问题3 （1）试一试：怎样解方程x 2＋6x +4 = 0①？
师生活动：教师提出“试一试”，学生观察、尝试后，有困难。
教师追问1：“们会解什么类型的方程？能将这个方程转化为会解的形式吗？学生自主活动，发现前面会解的方程x 2＋6 x+9 = 5②．比较方程①、②，找到联系与区别，请同学回答，教师引导其得出：方程①、②左边的二次三项式中二次项和一次项是相同的；不同的是：方程②左边常数项是9，可以和二次项x 2、一次项6 x构成完全平方形式，而方程①左边常数项是+4，不能和二次项、一次项构成完全平方式．
设计意图：怎样解这个方程①，促使学生利用已有的知识去观察、思考、发现问题，激发学生的求知欲．显示了继续学习解法的必要性．
追问2：怎么样把方程①化成具有方程②那种形式的方程呢？
师生活动：学生思考、讨论，发表意见；教师组织学生讨论，并引导学生发现解决问题的关键：把方程①左边的常数项+4移项，使方程左边只有二次项和一次项，得到新方程：x 2＋6 x =－4③．要在方程③左边加9，就和方程②左边的形式一样了．
追问3：怎样保证变形的正确性呢？
师生活动：学生思考后回答：要在方程两边同时加9．教师演示过程，给出教科书中的结构框图．两边加9，得x 2＋6x ＋9=－4＋9，即(x ＋3) 2 = 5．接下来师生共同解出方程．
设计意图：学生经历观察—发现—再观察—再发现—解决问题的过程．体会如何将一个不是完全平方式的二次式，化为完全平方式的过程．
（2）想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加9？加其它数可以吗？如果不可以，说明理由．
师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、发表意见，教师组织学生讨论，并引导学生发现：要想使方程左边成为完全平方式，对照完全平方式中一次项系数的特征，可知：当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平
⎛+6⎫2 ⎪=3=9方，即⎝2⎭，二次式就可以写成平方的形式．而加其它数不能把方程2左边的式子化成完全平方式，所以不行．
设计意图：学生通过思考、讨论自主得出将上述方程转化为含有完全平方式的关键是常数项的选择．
（3）议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次项系数为1的一元二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？
师生活动：教师提出“议一议”，学生独立思考，组内交流，归纳总结，明确活动目的，发表观点．教师适时引导，得出：配成完全平方形式即配方，通过配方来解一元二次方程的方法，叫做配方法．具体步骤：⑴移项；⑵在方程两边加上一次项系数一半的平方．
设计意图：引导学生在合作交流活动中，理解配方在解方程中的具体操作步骤．
（四）、学以致用，解决问题。
解决人体雕塑问题
解方程 x 2+2x —4=0．
师生活动：教师板书解此方程的步骤：移项、配方、开平方、求解，给出规范格式，完成引例．
设计意图：学生细化解题步骤，明确解题过程中每一步的目的，做到“按步操作、环环落实”．
（五）、运用迁移，巩固提高
问题4 （1）试一试：怎样解方程2x 2＋1= 3 x④？
师生活动：教师提出“试一试”，学生观察、尝试后，有困难。教师追问：“你们观察一下这个方程和我们刚解的一元二次方程有什么区别？能将这个方程转化为会解的形式吗？学生自主活动，学生合作交流后发现这个方程和前面方程区别是前面方程二次项系数是1这个方程二次项系数不是1，要想用刚才的方法解一元二次方程就需要将二次项系数化为1。
设计意图：怎样解这个方程④，促使学生利用已有的知识去观察、思考、发现问题，激发学生的求知欲．显示了继续学习解法的必要性．
（2）议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次项系数不为1的一元二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？
师生活动：基本思路是配方，具体步骤：移项、二次项系数化为1、配方、开平方、求解、定解。
（3）做一做：解方程2x 2＋1= 3 x
师生活动：学生尝试自己按照总结出的步骤解一元二次方程，派代表到黑
板上做，完成后组内检查，有错的分享错误的原因，给其他同学警示。
设计意图：学生细化解题步骤，明确解题过程中每一步的目的，做到“按步操作、环环落实”．有错的同学分享错误给别人警示也给自己警示，以后再做这道题时不要在同一个地方犯错。
问题5 归纳：通过解方程x 2＋6 x+9 =5，x 2＋6 x+4 = 0，x 2+2x -4=0，2x 2＋1= 3 x．请归纳这些方程是怎样解的？
师生活动 归纳出以上方程可化为一般形式：(x ＋n ) 2 =p ，并根据p 的取值范围得到根的三种情况．
设计意图：归纳方程的特征体现化归思想，及让学生了解根的三种情况，并为下节课一般式的推导奠定基础．
（六）．针对训练
（1）x 2-8 x+1 =0， （2）3x 2-6 x+4 = 0 （3）x(x+4)=8x+12
师生活动 学生做题，教师巡视，代表到黑板上做，组内交流及时处理出现的问题。
设计意图：加强学生对配方法解一元二次方程的熟练程度
（七）．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？用到了什么数学思想？
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?
（3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意哪些问题? 配方法可以解任意的一元二次方程吗？
师生活动：教师提出小结问题，学生思考、交流后发表观点，教师引导并简化结果，使学生回答的问题完善：
（1）把方程转化为 (x +n ) 2 = p 的形式，运用开平方法，降次求解；化归
（2）解一元二次方程的一般步骤：
（3） 重点关注：配方时，要在方程两边都加上一次项系数一半的平方．配方法可以解任意的一元二次方程。但是配方法不一定是最简单的方法。
设计意图：通过思考、交流让学生对本节课内容进行回顾，培养学生归纳
概括能力．
（师：大家的表现的确都很好，都能积极地参与学习活动，相信大家在以后课堂学习中积极参与活动，祝愿大家每节课都有新的收获！）
（八）．布置作业
（1）必做题 第9页练习2．（2）（4）（6）
（2）选做题 求证：不论a 取何值，a 2-a+1的值总是一个正数。
师生活动：教师布置作业，学生按要求完成．
设计意图：学生再次明确解题思路，规范解题过程．思考作业是提高学生对配方法的理解，并为公式法解方程作铺垫．
目标检测设计
1．在括号中填上适当的数，使等式成立：x 2＋4 x ＋( ) = ( x ＋ )2． 设计意图：了解配方的依据；
2．用配方法解下列方程．
（1）x 2-4x -5=0； （2）4x 2+6x -3=0．
设计意图：会用配方法解一元二次方程．
三、教学后记
配方法不仅是解一元二次方程的方法之一既是对前面知识的复习也是其它许多数学问题的一种数学思想方法，其发挥的作用和意义十分重要。原以为学生不容易掌握。谁知从学生的学习情况来看，效果普遍良好。从本节课的具体教学过程来分析，我有以下几点体会。 1、善于引导学生发现规律，注重培养学生的观察分析归纳问题的能力。首先课前让学生复习完全平方公式及有关计算，让学生进行一些填空。然后让学生注意观察总结规律，然后小组总结交流得出结论。2. 学生通过化归的数学思想通过独立思考合作交流得到配方法的具体步骤：①当二次项系数为1时将移常数项到方程右边；②方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③化方程左边为完全平方式；④（若方程右边为非负数）利用直接开平方法解得方程的根。这样一来学生就很容易掌握了配方法，理解起来也很容易，运用起来也很方便。3、习题设计由易到难，符合学生的认知规律。在掌握了二次项系数为一的后。提出问题：当二次项系数不为一时你会用配方法解决吗？不少学生立即答道把系数化为1不就够了吗。于是学生很快总结出 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移常
数项到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④化方程左边为完全平方式；⑤（若方程右边为非负数）利用直接开平方法解得方程的根。 4、恰到好处的设置悬念，为下节课做铺垫。我问学生配方法是不是可以解决“任何一个”一元二次方程？若不能，如何来确定它的“适用范围”？由此，我抓住这个契机向学生引申：解决一个问题的途径可能有多种思路，但为了提高学习效率，我们尽量选择一个简便易行的方案，这也是解决数学问题的一种必备思想。4、在我本节课的教学当中，也有如下不妥之处：①分层教学运用不够；②为学生提供的思考问题时间较少，在以后的课堂教学中，我会力争克服以上不足。