一类特殊的微分方程求解方法研究

【摘要】微分方程在实际生活中具有广泛应用,研究微分方程的求解具有重要意义.本文针对由齐次方程衍生的一类特殊微分方程,借助变量代换和分离变量讨论了具体的求解方法.

  【关键词】微分方程;齐次方程;变量代换;分离变量

  1.问题的提出

  称形如dydx=f(yx)的微分方程为齐次方程.对方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,当c1=c2=0时,即为齐次方程;当a1b1a2b2≠0时,可通过线性变换将其转化为齐次方程进行求解.对于a1b1a2b2=0或c1,c2不定的情况,该微分方程又如何求解呢?

  2.问题的求解

  对于方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,随着常数取值的不同,可以把其转化为其他类型的微分方程进行求解,下面根据二阶行列式为零的几种特殊情况分别进行讨论:

  (1)当a1=b1=0,c1≠0时,

  dydx=c1a2x+b2y+c2.(*1)

  令u=a2x+b2y+c2,得:dudx=a2+b2dydx.

  将(*1)代入上式,得:dudx-a2=b2c1u.

  这是典型的可分离变量的微分方程,不妨设解为φ(u,x,C)=0(C为任意常数,下同),从而原微分方程的解为φ(a2x+b2y+c2,x,C)=0.

  (2)当a2=b2=0,c2≠0时,方程可整理为:

  dydx=a1x+b1y+c1c2=b1c2y+a1x+c1c2,

  即dydx-b1c2y=a1x+c1c2.

  这是一阶线性微分方程,直接可借助求解公式,

  y=e-∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C),

  其中P(x)=-b1c2,Q(x)=a1x+c1c2.

  (3)当a1a2=b1b2=c1c2时,

  不妨设比值为k,则可将原微分方程化为:

  dydx=ka2x+kb2y+kc2a2x+b2y+c2=k.(*2)

  显然,此时微分方程的解为y=kx+C.

  (4)当a1a2=b1b2≠c1c2时,

  仍令a1a2=b1b2=k,代入原微分方程,得:

  dydx=ka2x+kb2y+c1a2x+b2y+c2=k+c1-kc2a2x+b2y+c2(*3)

  令u=a2x+b2y+c2,则:dudx=a2+b2dydx.

  代入微分方程(*3)并整理,得

  u(a2+kb2)u+b2(c1-kc2)du=dx.

  两边积分可得:

  1a2+kb2{a2x+b2y+c2-(c1-kc2)b2a2+kb2ln[(a2+kb2)(a2x+b2y+c2)+(c1-kc2)b2]}=x+C.

  3.问题的扩展

  考察方程dydx=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2),右边尽管是a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的表达式,但变量代换令u=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,整理后得到:

  a2ux+b2uy+c2u=a1x+b1y+c1.

  两边关于x求导,得

  a2dudxx+a2u+b2dudxy+b2udydx+c2dudx=a1+b1dydx.

  显然,这样的代换只能使得方程求解更为复杂.因此对这类形式的微分方程,一般通过考察a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的具体形式选择具体的求解方法.例如当a1b1a2b2≠0时,可通过线性变换x=X+h,y=Y+k将微分方程转化为

  dYdX=fA1X+B1YA2X+B2Y.

  这是典型的齐次方程,该方程的求解可以按照前面方法进行.而当a1b1a2b2=0的讨论要复杂一些,需要对内部进行整理并寻求合适的变量代换.限于篇幅,这里不再赘述.

  4.结 论

  微分方程的求解对研究实际问题具有重要意义,这里针对由齐次方程衍生的一类特殊方程,通过考虑参数的不同取值,基于传统的变量代换和分离变量以及现有微分方程理论,研究了不同条件下的具体求解方法.从求解过程可以看出,微分方程的求解方法完全依赖于方程的具体形式,对形式复杂的微分方程只有通过分析局部特点,简化方程形式,类比基本模型,才能获得原方程的解.

  【参考文献】

  [1]同济大学应用数学系.高等数学[M].第7版.北京:高等教育出版社,2014.

  [2]张棣.常微分方程[M].西安:西北大学出版社,1992.


相关文章

  • 数学专业毕业论文题目
  • 数学专业毕业论文题目 反常积分的敛散性判别法 含参量反常积分一致收敛与非一致收敛判别法 含两个参量的广义积分的连续性, 可微性与可积性 隐函数及隐函数组的求导问题 浅谈中值定理 导数与不等式的证明的应用 极限思想在数学解题中的运用 关于对称矩阵的若干问题 集合及其子集的概念在不等式中的作用 关于反对 ...

  • 几类变系数二阶微分方程的解法
  • 第28卷 2008年第5期9月高师理科学刊JournalofScienceofTeachers'CoUegeandUniversityV01.28No.5Sep.2008 文章编号:1007-9831(2008)05--0029-03 几类变系数二阶微分方程的解法 耿道霞 (康定民族师范高等专科学校 ...

  • 高中数学必修1课时安排及教学建议
  • 高中数学课时安排及教学建议 课 教 时 学内容 1 集合的含义及其表示 2 子 集.全集.补集 课标要求 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合 的" 属于" 关系. (2)能选择自然语言.图形语言.集合语言(列举法或描述法)描述物体的运动不同的具体问题,感受集合语言的意 ...

  • 一类常系数线性微分方程组的解法
  • 一类常系数线性微分方程组的解法 摘 要:利用特征值把常系数线性微分方程组的求解问题化为一个代数问题,从而根据比较系数法求出通解的待定系数,得到了求解具有多重特征根常系数线性微分方程组的另一种方法. 关键词:常系数线性微分方程组:特征根:若尔当型矩阵:初等因子 A Kind of Constant C ...

  • 大学数学专业毕业论文题目汇总
  • 大学数学专业毕业论文题目汇总 1.数学中的研究性学习 2.数字危机 3.中学数学中的化归方法 4.高斯分布的启示 5.a2+b2≧2ab 的变形推广及应用 6.网络优化 7.泰勒公式及其应用 8.浅谈中学数学中的反证法 9.数学选择题的利和弊 10.浅谈计算机辅助数学教学 11.论研究性学习 12. ...

  • 一阶非线性微分方程解法探析
  • 一阶非线性微分方程解法探析 作者:朱慧媛 来源:<新校园(下)>2015年第06期 摘 要:近代物理.数学和天文学等理论研究中,经常会建立关于变量的等式,而这些变化率或者导数构建的方程就是微分方程.这其中,不管是一阶.二阶还是多阶的微分方程,都是要基于一阶微分方程的解,然后再经过变量的替 ...

  • 数学考试方法
  • 考试方法和技巧的掌握,大致包含以下几个方面: 一.熟悉考试题型,合理安排做题时间 其实,不仅仅是数学考试,在参任何一门考试之前,你都要弄清楚或明确几个问题:考试一共有多长时间,总分多少,选择.填空和其他主观题各占多少分.这样,你才能够在考试中合理分配考试时间,一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间, ...

  • 阶常系数非齐次线性微分方程的特解
  • 第28卷第3期2008年6月 桂林电子科技大学学报 J仰m蚰ofGumnUnive噶ity ofEIectronic V01.28,No.3 Tech∞I哩yJun.2008 一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 杨晓辉,陈克东 (桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004) 摘要: ...

  • 求解三对角线性方程组两类并行算法的特点
  •  一、概述   三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实 ...

© 2024 范文中心 | 联系我们 webmaster# onjobs.com.cn