《解析几何》练习题
一、 单项选择题
1、在直角坐标系{O；i , j , k }下，下列等式正确的是（ ）.
(A) k ⨯j =i
(C) i ⋅i =k ⋅k （B ） i ⨯j =-k （D ） k ⨯k =k ⋅k
a ⨯b =a b sin a , ∧b 2、以下结论正确的是（ ） 2 2 2a ⋅b =a ⋅b A. ()
( B. () C. 若a ⋅b =a ⋅c 或a ⨯b =a ⨯c ，且a ≠0，则b =c
D. a +b ⨯a -b =-2a ⨯b )(
)3、三向量a , b , c 满足a +b +c =0，则a ⨯b =（ ）. （A ）b ⨯a （B ） c ⨯b （C ） b ⨯c （D ） a ⨯c
4、若a ⋅b =a ⋅c 且a ≠0, 则下列结论正确的是（ ）.
(A) a , b , c 共面 (B) a ⊥(b -c ) （C ） a ∥(b -c ) （D ） b =c =0
5已知, , 是单位矢量，且满足＋＋=，则＋·＋的值是（ ）
3A 、- 23 2 B 、 C 、1 D 、0
⎧2x 2+y 2+z 2=166、曲线⎨2在xoy 面的射影曲线方程是（ ）. 22x -y +z =0⎩
(A) 3x＋2z =16 (B) 3y－z =16 2222 (C) x＋2y =16 22⎧x 2+2y 2=16, (D) ⎨ z =0. ⎩
7、通过原点并与向量a =i +j +k 垂直的平面方程是（ ）
（A ）x ＋y ＋z=0 （B ）y ＋z=0 （C ）x ＋y=0 （D ） x ＋y=0
⎧3x -y +2z -6=08、直线⎨与z 轴相交，则d 值是（ ）。 ⎩x +4y -z +d =0
A 、0 C 、2 D 、1
ππ2π9、通过点(1, －5,3) 且方向角为, , 的直线方程是（ ）. 343
B 、3
(A) x -1==z -3 （B
=y +5=z -3 1-11-1
（C
）x -1=-1z -3 =1 （D ）
x -1z -3 ==1110、两直线的方向向量的向量积为零向量，该两直线的位置关系是（ ）.
（A ）垂直 （B ）平行 （C ） 斜交 （D ） 不垂直的异面直线
11、直线x=－t ，y=1+t，z=1+2t.与平面：2x ＋y －z －3=0的夹角是（ ）.
ππππ （B ） （C ） （D ） 64322212、x ＋y =0在空间表示的图形（ ）
（A ） 原点 （B ）y 轴 （C ） x 轴 （D ） z 轴
13、平面x+ky－2z = 9与原点相距3个单位的参数k 的取值为（ ）.
(A) 2 (B)±2 (C) －2 (D) 3 （A ）
222⎧⎪2x +y +z =16⎨222⎪x -y +z =0 关于xoy 面的投影柱面的方程为 （ ） ⎩14、曲线
22223y -z =16 3x +2z =16A. B.
⎧x 2+2y 2=16⎨22x +2y =16C. D. ⎩z =0
二、 填空题
1、 向量a =4i -4j +7k 的终点B 的坐标为（2，－1，7）, 则它的起点A 的坐标
为___________，与a 平行的单位向量为__________________.
2、点(x , y , z )关于原点的对称点是 ; 关于yoz 面的对称点是 ；关于ox
轴的对称点是 .
2、设a , b 为不共线的向量, 则a +b =a -b 的充要条件是________________.
3、与xoz 坐标面平行交y 轴与点A(0,4,0)的平面方程为__________________.
⎧y 2z 2
+=1, ⎪4、⎨9-λ4-λ(λ≠4,9) 绕OZ 轴旋转所得的旋转曲面方程为
⎪x =0. ⎩
______________.当λ的值取___________时, 曲面为旋转椭球面, 当λ的值
取__________时, 曲面为单叶旋转双曲面.
5. 已知两点M 14, 2, 1和M 2(3, 0, 2)，则向量M 1M 2在三个坐标轴上的投影分别是
、 ，在坐标轴方向上的分量分别是、、
, ()=,
方向余弦 cos α=、 cos β=、cos γ= , 方向角α=、 β= γ=与M 1M 2同方向的单位向量是 .
6. 向量a =4i -4j +7k 的终点B 的坐标为（2，–1，7），则它的起点A 的坐标为
a ，与平行的单位向量为 .
x 2y 2
7、用平行平面族y=t(t为参数) 来截割双曲抛物面2-2=2z 所得截线族为a b
___________________(抛物线族), 抛物线族顶点的轨迹为
_________________.
8、次曲线x 2+axy+4y2－7x+y+3=0,当a 值取___________时, 曲线为椭圆型曲
线,
当a 值取__________时, 曲线为双曲型曲线, 当a 值取_______时, 曲线为抛物型
曲线.
三、解答计算题
x y z x -1y -2z -3==1、求通过点P(1,1,1)且与两直线 L 1:==, L 2: 都相123214
交的直线方程.
2、设一条二次曲线通过两条二次曲线x 2+xy－2y 2+6x－1=0 与 2x 2－y 2－x －
y=0的交点，并且还通过点（2，－2），（1）求这二次曲线的方程，（2）判断
该二次曲线是否为中心二次曲线，若是，求其中心，（3）求在点（2，－2）
的切线方程.
3、P 105例5，P 111习题4，P 172习题1（2），P 183习题5，P 194例5，P 220习题6，
P 258例1，P 268习题5.
四、证明题
1、一直线与三坐标轴间的角分别为α, β, γ. 则有
sin 2α+sin2β+sin2γ=2
⎧f (x , y ) =0, 2、 求证：以原点为顶点，准线为⎨（h 为常数且≠0）的z =h . ⎩
hx hy 锥面方程为f (, ) =0. z z
3、应用向量求证:三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.
五、画出下列各曲面所围几何体的图形，并在图中用阴影表示出其在xoy 面上的投影.
1．由x=0,y=0,z=0 及x+y+z=1所围成的立体Ω .
2．由x +y =1及上半球面z =22R 2-x 2-y 2所围成的立体Ω .