院系：数学与应用数学
班级：07数学（一）班
姓名：齐 智
学号：2007 133 140
图书馆购书资金的合理分配
摘要
利用模糊综合评价法确定购书资金分配评价因素集{W1 W2 W3}。
评价因素集中的因素图书使用价值W1，本身需考虑的指标就比较多，故我们在计算该因素时，再次使用了模糊综合评价法，找到该因素的评价因素集{k1 k2 k3 k4}，根据统计学的方法去掉各个指标的量纲，用熵值法确定各因素的权重，最后得到各类图书的使用价值的具体权重。
针对评价因素中图书重要程度W2因素不易测量的问题，用层次分析法来计算它的权重。但因为该因素需考虑的指标过多，若直接套用层次分析法，在两两比较时会大大提高判断的难度。故针对层次分析法的这一缺陷做了相应的改善，使其在因素数量较多时也能得到很好的应用。
之后计算出图书更新率W3，并用熵值法确定W1、W2、W3对于购书资金的权重, 最后再次使用模糊综合评价法得到各类图书的相对权重，从而得出购书资金的分配方案。
最后我们总的罗列了该种决策方法的全部步骤，并附有流程图，便于读者能直观的理解。还编写了相关的计算程序，简化读者的计算量。
关键词： 图书馆购书经费分配 模糊综合评价法 层次分析法
一 问题重述
现代化图书馆为实现办馆效益，每年在购书经费有限的情况下，必须有合适的资金分配方法，从而使购买的书尽量好地为其特定群体服务。以学校图书馆为例，必须做到购买图书合乎本校教师、学生的需求，使图书馆藏书结构满足本校教学科研的要求，以求藏书体系与本校专业设置相适应。
设某普通高校现有十个系：
计算机科学与技术系，在校学生960 人，信息科学与工程系，在校学生900 人，信息与计算科学系，在校学生280 人， 生物与制药工程系，在校学生1500 人，机电工程系，在校学生1440 人， 建筑工程系，在校生960 人，外语系，在校学生720 人， 法律系，在校学生460 人，新闻系，在校学生642 人， 经济与管理系，在校学生2400 人。此外，该校目前还有“药物分子设计及生物化工”和“土木建筑工程”2 个重点学科；“外国语言学及应用语言学”重点扶植学科以及“计算机科学与技术”、“市场营销”2 个重点专业。
该校图书馆每学年都要投入大量资金购置图书，图书覆盖全院各学科专业、具有较完整的中外文文献资源。假设今年图书馆计划投入100 万元用于购置各种图书。现我们需解决以下问题：
给出如何确定各类图书的相对权重的方法。
二、提出一种评价各类图书在该校实际使用价值的办法。
三、依据你对前两问的研究，通过建立数学模型的方法来确定购书资金的分配方案。
四、写出一个决策方法的简要说明，阐述输入哪些数据、怎样操作即可求得一个较为合理的购书方案。
二 问题分析
对于该校图书馆今年投入的100万购书资金，要想确定各类图书具体的分配金额，需要考虑方方面面的因素。我们需选择合理的评价因素，并选择合理的方
法给各评价因素赋予相应的权重。
第一步：如何确定各类图书的相对权重 先确定影响各类图书的重要程度的评价指标
一本书的实际价值，体现在流通中被读者吸收，利用的价值。我们选择各类图书实际使用价值为一个评价指标。
购书的图书应当尽可能符合学校学科发展的需要，故把各类图书对于该学校不同学科的重要程度为一个评价指标。
此外，图书馆自然还应当注意到各类馆藏图书的更新率，所以图书更新率也是一个要考虑的评价指标。
然后通过计算各类图书对于这三个评价指标相应的值，并确定这三个指标的重要程度，最后得到各类图书的相对权重。
第二步：评价给类图书在该校实际使用价值的办法
这一问其实就是怎样确定第一步中的第一个评价指标。图书实际使用价值的具体体现，需结合实际中更具体的指标来确定。选取读者需求率，图书利用率，图书周转率，图书出借天数4项指标作为评价各类书实际价值的评价标准。还要确定这4个指标的权重，从而最后得到各类图书的使用价值。
第三步：建立数学模型的方法来确定购书资金的分配方案
对层次分析法做改进，并用改进后的层次分析法计算出图书重要程度W2。之后计算出图书更新率W3，并用熵值法确定W1、W2、W3的权重, 最后再次使用模糊综合评价法的到给类图书的相对权重，从而得出购书资金的分配方案。
第四步：写出一个决策方法的简要说明
给出决策方案的具体步骤，附上相应的流程图。最后还编写了相应的程序，便于读者计算和直观的理解。
三 模型假设
1. 假设图书出借了多少的册次，就算有多少图书读者人数，即若一个人借了2本图书，在计算图书读者人数时按2个人算。
2. 假设计算图书利用率时只看图书的种类数，不考虑一种图书的复本数。 3． 假设图书被借的时间越长，则别利用的越充分。不存在借了之后闲置
的现象。
4. 假设连续两年相同的图书的借阅情况不会有太大的改变，即从去年统计出的数据计算出的图书使用价值可以代表今年的该类图书的使用价值。
四 符号说明
1. W1 图书使用价值 2. W2 图书重要程度 3. W3 图书更新率
4. k1 读者需求率 图书读者人数/学校学生人数 5. k2 图书利用率 出借种类数/种类数 6. k3 图书周转率 出借册次/册数 7. k4 图书出借天数 总出借天数/册数
五 模型的建立及求解
5.1 问题一的解决：确定各类图书的相对权重 5.1.1一级模糊综合评价法
1. 图书的分类
对于图书馆的书籍， 必须对其确定一个评价范围， 将图书馆所有的图书进行分类。图书的分类不能过于笼统也不宜划分得过细。分类范围过大， 评价过于笼统， 不能对今后购书经费的分配起到实际的参考价值； 分类范围划分得过细， 则增加了工作的繁杂性。现采用目前通用的图书分类工具书《 中国图书馆图书分类法》，按照分类表的第一级类分为21个大类，对于每个大类再细分出每类书，即表1中图书分类。
2． 评价因素集的确定
我们选取图书使用价值，图书重要程度和图书需更新率三个评价指标。对于各类书籍，根据选定的评价标准，设评价因素集为U={W1 W2 W3}.
3． 指标的标准化处理
由于各个评价指标物理意义并不相同，不能够直接进行计算，所以要消除指标量纲。故将各个指标值通过统计学处理，使不同计量单位、性质的指标值标准化，从而得到无量纲标准化数据。针对指标都为正向指标的特点，具体方法如下：
' k ij =
k ij k ij
'
1n k ij
其中k ij =∑k ij , (i=1,2,„21;j=1,2,3,4)，表示为第i 类书在j 个影响因素
n i =1
下的数值。
4． 确定评价特征矩阵
经过标准化处理后的特征矩阵R 即为评价特征矩阵：
' ' ⎛k 11k 12 ' ' k k R = 2122
k ' k ' ⎝n 1n 2
k 1' m ⎫
' ⎪ k 2m ⎪ ⎪ ⎪' ⎪ k nm ⎭
5． 模糊综合评判模型评判结果
模糊综合评判矩阵模型得出的评判结果如下：
'
⎛k 11 ' k
W =V ⋅R T =(v 1, v 2, , v m ) 21
k ' ⎝n 1
k 1' m ⎫' ' ⎪k 22 k 2m ⎪ ⎪
⎪' ' ⎪k n k 2nm ⎭
'
k 12
T
W 值的大小即对应各类图书的价值，W 值越大，图书的实际使用价值越大； 反之越小。
5.1.2熵值法确定各因素的权重
权重反应了各个评价因素的重要程度, 不同的权重将会导致相差很大的评价结果。因此权重的准确确定十分重要。考虑到熵值法在确定权重的过程中具有以客观数据为依据的优越性，采用熵值法确定评价因素集的权重。
熵是对不确定性的一种度量。信息量越大, 熵的不确定性越小。可以运用熵的特性，针对某项指标的携带信息量的大小，确定各个评价指标的权重。确定方法如下：
1．计算第i 类图书中第j 个评价指标占该指标的比重
f ij =
' k ij
∑k
j =1
m
' ij
(i=1,2,„,n; j=1,2,„,m)
2．计算第j 个指标的熵值
H j =-k ∑f ij ln(f ij )
i =1n
k >0, k =
其中，
1ln(m)
3．计算因素的熵权
V j =
1-H j
m
∑(1-H
j =1
j
)
即各个指标的权重矩阵为V ，权重的大小反应了各个指标所占的重要程度。熵值越小，熵值越大，说明了该指标提供的有用的信息越多。
5.2问题二的解决：评价图书在该校实际使用价值 5.2.1二级模糊综合评价法
1. 评价因素集的确定
一本图书的实际价值， 既是在流通过程中所能被读者吸收、 利用的价值。而其价值的具体体现， 需结合实际中的评价指标来确定。选取读者需求率、图书利用率、图书周转率和图书出借天数4项指标作为评价一本书实际价值的评价指标。对于各类书籍，根据选定的评价标准，设评价因素集为 U={k1 k2 k3 k4}.
2. 使用问题一中综合模糊评价法计算出图书使用价值W2
5.2.2 评价去年各类图书在该校实际使用价值
1．原始数据的引入
该高校有学生总人数为10262人，图书馆去年馆藏图书种类、册书以及出借
情况统计见表1：
2． 数据的处理
( 1 )评价指标的计算。根据表1的统计数据和评价指标的定义，得到21类图书的各个评价指标值，见附录表2：
3. 根据问题一中模糊综合评价法的步骤，可计算出图书使用价值
W1=[7.9860 7.5378 14.8071 9.5334 13.9495 14.4334 7.2302 17.1571 11.9865 10.6845 8.8780 16.0370 8.7458 15.5640 15.4848 5.5645 10.3458 9.9209 16.7132 13.9950 3.5395]
由上至下对应21类图书的价值表示，将各类图书按使用价值权重从大到小排列如下表：
各类图书价值排列表
根据去年图书馆图书出借情况统计，也大体上可以看出该校学生对外语、计算机等相关的图书需求率要比较高，而对人文学、地球科学、电工技术轻工业、手工业、综合性图书并不太感兴趣，所以上述结果是符合实际的。 为给之后的计算做准备，对W1进行归一化处理
得到归一化后的w1=[0.0333 0.0314 0.0617 0.0397 0.0581 0.0601 0.0301 0.0715 0.0499 0.0445 0.0370 0.0668 0.0364 0.0648 0.0645 0.0232 0.0431 0.0413 0.0696 0.0583 0.0147]
5.3 问题三的解决：建立数学模型来确定购书资金的分配方案
5.3.1 用改进后的层次分析发来确定给类图书对与学校个专业的重要程度 层次分析法的优缺点分析和改进：
人们在做出决策时，若决策的问题涉及到社会、经济、人文等因素时，主要困难在于这些因素通常不易定量测量。人们凭自己的经验和知识进行判断，给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则通常不容易别别人接受。
T.L.Saaty 等人提出了一种能有效的处理这类问题的实用方法，称层次分析法，这种方法是一种定性和定量相结合的，系统化、层次化的方法。而且从应用的角度上看，这种方法只用到基本的代数、矩阵、和一点点图论的知识，故很好理解和操作。
Saaty 等人的做法主要有，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比是采用相对尺度，已尽可能的减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
但心理学家认为，当进行成对比较因素较多是，将超出人的判断能力。层次分析法能分析的因素大致对多在5到9的范围。这就大大限制了层次分析法的应用。
针对层次分析法的这一缺陷，当需考虑的因素较多时，我们对Saaty 等人的做法中的第一条做如下改变，在所有因素中选出占权重最小的因素为基础因素，赋予1的权值，而其他因素这一一和这个因素对比。在别的因素和这个基础因素对比是也是采用相对尺度。这样在因素较多时也能比较好的做出判断，而且大大简化了各个因素相互对比的次数，尤其在各个因素有着同一个性质时，选出基础因素后，再用相对尺度进行对比，能大大提高准确度。同时因为是选择基础因素的权重最小，别的因素和它进行比较时，相对值都是大于等于1的，而不会出现分数，这比较符合我们的思维习惯，便于判断的准确性。
故改进后的方法既能保持层次分析法定性定量相结合、系统化、层次化和应用简单的优点，又能克服因素较多，超出人多的判断能力的缺陷。
改进后的层次分析法步骤：
1．建立层次结构
在应用层次分析法之前, 需要根据具体情况建立评价系统的层次结构图, 便于对所评判的对象进行层次分析, 确立清晰的分级指标体系。
2．确定各个因素的权值
设某一层有n 个元素(C1,C2,…,Cn )对上一层目标有影响, 则在这n 个因素中选取基础因素Ci ，赋予权值Bi=1 ,然后用其余的n-1个因素Cj 分别单独和Ci 进行比较, 得到的权值记为Bj.
为了确定Bj 的值, 引用数字1 - 9及其倒数作为标度, 具体见附录表3:
3．确定各个因素的权重
由2可得到各个因素的权值向量Z=[B1 B2 … Bn]
若按照层次分析法的步骤，构造正负反矩阵，即A=[aij ]n*n,aij =Bi /Bj 则易知这个矩阵一定是一致阵，既满足a ik *akj =aij i,j,k=1,2,…,n;
故其特征值必只有唯一的非零特征根n ；
而A 的任一列的向量都是对应于特征根n 的特征向量。
故矩阵A 的任一列向量归一化后就是诸因素C1,C2, …,Cn 的权向量。则取矩阵A 的第i 列A1=[ B1 B2 … Bn]’进行归一化后的诸因素的权权重：
W=[W11 W12 … W1n]
5.3.2 确定给类图书对与学校各专业的重要程度
1. 建立层次结构，见附录图1
2．确定各个因素的权值
选取综合性图书为基础因素，赋予权值1。之所以选择综合性图书为基础因素，是因为综合
性图书虽然覆盖面很广，但对于该校的学科和专业建设没有太大的关联性。认为它相对与学校学科专业建设重要性最低。而别的各类图书和综合性图书对比时最要考虑的是这类图
书很学校专业设置的关联度，关联度越高，赋予的权值越大。若和学校重点建设或扶持的学科专业有很大的关联度，这赋予的权值会更大。同时还会考虑各类图书和重要公共课、技能课的关系，比较有关系的，相对赋予的权值也会稍大些。各类图书相应权值的具体结果见附录表4：
3．确定各个因素的权重
M =[ 3 1 6 4 1 7 1 9 5 1 1 4 1 6 3 3 4 3 8 8 1 ]
故W2=[0.0375 0.0125 0.0750 0.0500 0.0125 0.0875 0.0125 0.1125 0.0625 0.0125 0.0125 0.0500 0.0125 0.0750 0.0375 0.0375 0.0500 0.0375 0.1000 0.1000 0.0125]
5.3.3计算图书需更新率
因为各类图书的总价值约大，则需分配更多的资金才能保证达到一定的更新
率，所以一给类图书总价占所有图书价值的比重代表图书更新率，即图书更新率图书价值/所有图书总价：
得W3=[ 0.0368 0.0198 0.0795 0.0308 0.0108 0.1847 0.0209 0.0917 0.1198 0.0326 0.0497 0.0337 0.0033 0.0163 0.0160 0.0167 0.0303 0.0105 0.1362 0.0499 0.0099]
使用问题一中讲到的一级模糊综合评价法的到各类图书的权重，从而得到各累图书的权重:
Q=[0.0357 0.0217 0.0713 0.0405 0.0290 0.1058 0.0216 0.0910 0.0746 0.0304 0.0326 0.0515 0.0187 0.0540 0.0413 0.0260 0.0417 0.0310 0.0993 0.0697 0.0126] 由上至下对应21类图书的价值表示，将各类图书按权重从大到小排列，见附表5
根据各类图书权重，分别乘以100万，这得到每类图书分配到的具体购书金额。结果如下表
各类图书购书金额具体分配表 单位： 万
从结果来看，排名比较靠前的图书类别都是学生比较喜爱借阅和对于学校的学科建设息息相关的。而排名靠后的图书都是学生不怎么会借阅，对学校学科建设也没太大联系的书。故最后得到的购书分配方案也比较符合事实。
该购书经费分配方案必能更好的实现学习图书馆的办馆效益，是入藏的图书合乎本校教师、学生的需求，使图书馆藏书结构满足本校教学科研的要求，是藏书体系与本校专业设置相适应。同时所购图书也要能够真实地反映读者的实际需要，使读者结构和藏书结构吻合。
5.4 决策方法的简要说明 5.4.1决策方法的步骤和流程图：
1．用二级模糊综合评价法计算图书使用价值
2．用改进后的层次分析法确定图书重要程度
3．计算图书更新率
4．一级模糊综合评价法
5.4.2编写的程序如下：
function v=v(R); %R为关于k1 k2 k3 k4的矩阵 length=size(R);
H=zeros(1,length(1,2)); %迭代做准备--给初值
Hone=eye(length(1,2)); %迭代做准备--取R 的行数维单位阵 for j=1:length(1,2); %关于若干评价指标的循环 fij=zeros(length(1,1),1);
one=eye(length(1,1));
for i=1:length(1,1); %关于同一指标下的若干类的循环 f=R(i,j)/sum(R(:,j));
fij=fij+one(:,i)*f; %迭代得到第i 类中第j 个指标占该指标的比重 end
Hj=-1/log(4)*sum(fij.*log(fij)); %第j 个指标的熵值 H=H+Hj*Hone(:,j)'; %若干熵值组成的行向量 end
W=(1.-H)/sum(1.-H ); %归一化后的熵比重 Y=W*R'; %使用价值的数值表示 Y1=Y./sum(Y); %归一化后的价值比重 disp('W=');disp(W); disp('H=');disp(H); disp('Y=');disp(Y); disp('Y1=');disp(Y1); v=Y1';
六 模型评价与建议
1. 模糊综合评价法是运用模糊变换的原理，对某一对象进行全面评判，它能比较顺利地解决传统方法难以解决的“模糊性”评判与决策问题，是一种行之有效的决策方法。该方法考虑与被评价事物相关的各个因素，对其所作的综合评价。在评价时，一般是根据具体问题，规定标准进行分等级，要考虑的因素构成的集合U={u1,u2...um) 。从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊综合评价法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。
2. 确定权重的方法很多，诸如专家评价法、加权统计法、频数统计法、模糊协调决策法等，当这些方法有一个弊端就是主观意识成分较大，很大程度上都是
根据人的主观趋向赋予权重。在本题中我们选用熵值法确定各因素的权重，很很好的避免权重确定的主观性，最大化利用客观的数据。
3. 在改进后的层次分析法中，在所有因素中选出一个基础因素赋予1的权值，而其他因素这一一和这个因素对比的做法大大提高了层次分析法的适用范围，但和Saaty 等人的做法，即不是把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比相比得到的结果没有那么全面和准确。但因为该题中的21个因素有着相同的性质，故诸因素相互比较起来不是很困难，也就相对提高了准确度。但总的来讲对该模型的改进还是比较成功的。
4. 在具体使用该模型时，以下给出两点建议，有利于提高结果的准确度。 一．在选择基础因素和用别的因素与基础因素对比赋予权值时，尽量选在这方面比较权威和专业的人士。如在本题中，如果叫该校相关的领导和学校各个专业的教授来给各个因素赋予权值的话，就能更好的提高在确定图书重要程度这个评价因素的准确度了。
二．在选择相对尺度时，随着因素的增多，可以选择更加精细的比较尺度。而不是都用层次分析法里主要用到的1-9尺度。如本题可以选择尺度[1,1.5,2,…,8.5,9]，或别的比较尺度，也能提高最终结果的准确度。
参考文献：
[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2009。
[2] 陈飞宇 雷欢，模糊综合评价在图书馆经费分配中的应用，重庆工商大学学报，第26卷第3期：223-227，2009。
附录：
表1 该高校图书馆去年馆藏图书种类、册书以及出借情况统计
表2 去年统计评价指标数值
表3 标度对照表
表4 各类图书的权值
表5 各类图书权重排列
图1 层次结构图
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 B 10 B 11 B 12 B 13 B 14 B 15 B 16 B 17 B 18 B 19 B 20
注明：各字母所代表的书类
A 、B ：马克思主义、列宁主义、毛泽东思想、哲学 C 、N ：社会科学总论、自然科学总论 D ：法律
E 、R 、S 、U 、V ：军事、医药、卫生、农业科学、交通运输、航空、航天、劳动保护科学（安全科学）
X ：环境科学 F ：经济
G ：文化、科学、教育、体育 H3：常用外国语 I ：文学 J ：艺术 K ：历史、地理 O ：数理科学和化学 P ：人文学、地球科学 Q ：生物科学 TH ：机械仪表工业
TM 、TS ：电工技术轻工业、手工业 TN ：无线电电子学、电信技术 TQ ：化学工业
TP ：自动化技术、计算机技术 TU 、TV ：建筑科学、水利工程 Z ：综合性图书
论文分工：
我们一起讨论决定选择做第二题，首先我们是想用层次分析法来做的。但后来我找到论文《模糊综合评价在图书馆经费分配中的应用》，觉得里面使用的综合模糊评价法很值得借鉴，相比较层次分析法有不少的优点。所以最后我们定下来用综合模糊评价法来做。
但在用综合模糊评价法时，对于图书重要程度这个评价因素不要量化的问题，我想要还是要用层次分析法。但因为图书分类有21类，需要进行成对比较因素较多，传统的层次分析法应用起来就比较困难。准对层次分析法的缺陷，我进行了相应的该善。
在具体的论文写作上，我主要负责各个方法步骤和总体论文的书写，具体的程序、图表公式的编写和结果的计算由其他组员完成。最后我们一起对得到的结果进行了分析。