中‘７般・７（２００９年第４期・高中版）
・解题研究・
三角形的“四ＪＩ！Ｉ＂的三种向量表示
５２８３０３广东省佛山市容山中学何卫东
４３００７４
湖北省武汉市关山中学刘元利
众所周知，三角形的“四心”——重心（三条中线的交点）、内心（三个内角的角平分线的交点）、外心（三条线段中垂线的交点）、垂心（三条高线的交点），在三角形中有着极其重要的地位．因此，高考对三角形“四心”的考查从没间断，且常考常新．特别是与三角形“四心”有关的向量问题，由于它能凸现出较好的区分和选拔功能，因而备受各级各类考试命题者的青睐．作者近几年在这方面作了一些收集、探究工作，通过实例总结提炼了一些解题方法和规律，现整理成文，奉献给大家，希望能对读者在学习中有所启迪．
１
以向量为载体。确定“四心”。突出“定”
例１
（２００５年全国卷Ｉ）点０是ＡＡＢＣ所在平
面内的一点，满足０Ａ・０雷＝ＯＢ・ＯＣ＝ＯＣ・矾，则
点０是△ＡＢＣ的（
）Ａ．内心Ｂ．外心
Ｃ．重心
Ｄ．垂心
解
由谢・瑚＝ＯＢ。・ＤＣ＝Ｏｄ・嘶。得
ＯＢ・（ＯＡ—ＯＣ）＝０，ＯＡ・（ＯＢ—ＯＣ）＝０，
所以ＯＢ上“，们上ＣＢ．故选Ｄ．
点评这里是根据向量的数量积的有关知识来确定某点一定是三角形的四心的问题，即“定心”．解决此类问题的关键在于：不仅要熟练掌握三角形的“四心”的特征，还要掌握用向量来表示“四心”的方法．
变式１（２００８年荆州模拟）已知Ｍ是ＡＡＢＣ所
在平面内的任意一点，且删＋ＭＢ＋ＭＣ＝３删，则ＪＩ、ｒ
是ＡＡＢＣ的（
）
九内心
Ｂ．外心Ｃ．重心Ｄ．垂心
解・．・赢＋商＋ｕ－－ｄ：３一ＭＮ．
．‘．（ＭＡ一肘Ⅳ）＋（ＭＢ一删）＋（ＭＣ—ＭＮ）＝０。
即ⅣＡ＋ＮＢ＋ＮＣ＝０．
如图ｌ，作平行四边形ＮＢＧＣ，设ＮＧ与ＢＣ交于Ｄ，据向量的平行四边形法则
有ＮＢ＋ＮＣ＝ＮＧ＝２
ＮＤ．
Ｂ
么ｃ
又ＮＢ＋ＮＣ＋ＮＡ＝０．
．。．ＮＡ＝一２ＮＤ．
＼邋
／
Ｇ
图１
万方数据
这表明Ａ、Ⅳ、Ｄ三点共线，所以Ｄ是ＢＣ的中点，
ＡＮ＝÷ＡＤ，
．・．Ｊ『＼，是ＡＡＢＣ的重心，故选Ｃ．
变式２（２００７年江西调考）在ＡＡＢＣ中，若嘶２
＝蔬２＝茄２，则０为ＡＡＢＣ的（
）
Ａ．内心
Ｂ．外心
Ｃ．重心Ｄ．垂心
解・．・葫２：蔬２：蔬２，
．’．ＩＯＡｌ＝ＩＯＢＩ＝ｌＯＣＩ．
即０到ＡＡＢＣ三顶点距离相等，．・．０为ＡＡＢＣ的外心，选Ｂ．
变式３（２００８年湖南调考）设０是ＡＡＢＣ所在
平面上一点，且Ｉ赢ｌ初＋Ｉ商Ｉ蔚＋Ｉ赢Ｉ历：ｏ，则
０是ＡＡＢＣ的（
）Ａ．内心
Ｂ．外心
Ｃ．重心Ｄ．垂心
解。．‘ｌＢＣＩ・ＡＯ＋ＩｃＡｌ・ＢＯ＋ＩＡＢＩ・ＣＯ＝０．
．‘．ＩＢＣｌ・Ａ０＝ＩＣＡＩ・ＯＢ＋ＪＡＢＩ・ＤＣ＝ＩＣＡＩ（ＯＡ＋Ａ曰）＋ＩＡＢＩ（ＯＡ＋ＡＣ），
．・．（１赢Ｉ＋ｌ商Ｉ＋Ｉ劢Ｉ）初
＝ＩＣＡｌ・Ａ曰＋ｌＡ曰Ｉ・ＡＣ
：ｌ商ｌ
Ｉ压ｌ（粤＋善）．
．．．劢：—Ｊ型掣氅（婴＋善）．
１ＡＢｌ
ｌＡＣＩ
ＢＣＩ＋Ｉ“Ｉ＋ＩＡ占Ｉ
ＩＡＢＩ
ＩＡＣｌ
由于苦缶表示向量压上的单位向量，苦岳表示
向量ＡＣ方向上的单位向量，
．・．苦缶＋苦岳的方向与￡ＢＡＣ的平分线同向，
即ＡＯ为￡ＢＡＣ的平分线，同理可得ＢＯ为ＬＡＢＣ的平分线，
．・．０为ＡＡＢＣ的内心，故选Ａ．
点评
由于内心是三角形三内角平分线的交
点，因而要确定内心，必须会用向量表示某一内角平
分线，而丽ａ＋面ｂ龙以口，西为邻边的内角平分线的
最佳表示．
变式４（２００８年黄冈中学模拟）若０为ＡＡＢＣ
・解题研究・
中。７擞・７（２００９年第４期・高中版）
２５
所在平面内一点，且劢・（蔫＋婴ＩＡＢＩ）＝
方向与薷ＡＢ＋等－－－．Ｉ，的方向矾由题意得
万＝Ａ
一ＢＯ・（篙＋骂ＩＢＣＩ）＝茄・（盖＋熹删Ｄ是
ＡＢＣ的（
ＡＢ＿＋善ｌＡＣｌｌ］，
）
Ｂ．外心
Ｃ．重心Ｄ．垂心
．‘．Ｐ点的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的内心，故选Ａ．
Ａ．内心点评这里是根据向量的有关知识探讨平面内的动点轨迹一定穿过三角形的“四心”问题，即“穿心”．“定心”是确点定点，“穿心”则不一定是定点，而是“穿”过定点，两者的差异一定要区分开来．
变式１
解如图２，丽Ａ两Ｂ衣不－－早化１．１ａＪ萤Ａ廿’，婴ＩＣＡＩ表示
单位向量才，
（２００８年孝感调考）０为平面上一定
点，Ａ、口、Ｃ是平面上的不共线的三个点，动点Ｐ满足
Ｃ
ＯＰ＝０肖＋Ａ（Ａ雪＋Ａｅ），Ａ∈［０，＋∞），贝０点Ｐ的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的（
Ａ．内心
Ｂ．夕｝心
）
Ｃ．重心
＾
Ｄ．垂心
图２
解如图３，设Ｄ为ＢＣ的中点，由向量的加法法则可得Ａ雪＋ＡＣ＝
２
．．．粤＋望：詹＋才：劢．Ｉ翻１
ＩＡ日Ｉ
Ｃ
．・．ＡＤ为［Ａ的外角平分线，同理ＣＥ为ＬＣ的外角平分线．
ＡＤ，依题意知ＡＰ＝
Ｅ
２ＡＡＤ，又Ａ０，＋∞）．
Ｂ
由劢・（蔫）＋彗ＩＡＢＩ）＝一ＣＯ・（嵩＋高）
得，劢．劢：一ＣＯ．蔬对任意的ＡＡＢＣ都成立，则只有葡．而：茄．一ＣＥ：０，
．‘．Ａ０上ＡＤ，ＣＤ上ｃＥ，
．。．Ｐ，Ａ，Ｄ三点共线，
图３
又ＡＤ为ＡＡＢＣ的中线，故点Ｐ的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的重心，故选Ｃ．
变式２
（２００７年武汉调考）０是平面上一定点，
．・．４Ｄ为ＬＢＡＣ的内角平分线，ＣＤ为［ＢＣＡ的内角平分线．
．‘．０为ＡＡＢＣ的内心，故选Ａ．
通过以上几例，我们可看出，要用向量来“定心”，关键是要根据“四心”所满足的重要特征及题目所给的已知条件进行分析处理，如由向量垂直首选
’
芏Ｆ．ＡＡＢＣ中，若历＝一ＯＡ叫意‰＋意磊），
Ａ
Ｅ［０，＋∞），则动点Ｐ的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的
）Ａ．内心
（
Ｂ．外心Ｃ．重心Ｄ．垂心
解如图４。过Ａ作ＡＤ
上ＢＣ，Ｄ为垂足，则Ｉ商ＩｓｉｎＢ
———’——＿
＝ＩＡＣｌｓｉｎＣ＝ｌＡＤＩ．
应考虑垂心或外心，有面ａ＋击的条件应考虑内心
等．
２以向量为载体。穿过“四心”，突出“穿”
例２（２００３年江苏）０是平面上一定点，Ａ，Ｂ，Ｃ是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足Ｏ芦＝ＯＡ‘＋
√当＋羔１可１一ｌＡＢＩｓｉｎＢ＋蕊Ｊ司
变为
．
。
．．．。ＯＰ：。ＯＡ＋
曰
Ｄ
Ｃ
图４“
一ＯＰ＝一ＯＡ叫婴ＩＡＤＩ＋娶ＩＡＤＩ］１，
即商＝一ＯＡ＋占ＩＡＤＩ（商＋Ａ—Ｃ）＝耐＋Ａ（商＋Ａ—Ｃ），
即为变式１，故选Ｃ．
变式３
Ａｆ兰ＩＡ里ＢＩ＋兰［Ａ莹ＣＩ１］，Ａ
通过△ＡＢＣ的（
Ｅ［ｏ，＋∞），则点Ｐ的轨迹一定）
Ａ．内心Ｂ．外心Ｃ．重心Ｄ．垂心
解丽ＡＢ雨＋雨ＡｅＣｌ，…＿．～。、为Ａ，终点在［肼ｃ的平
Ａ，Ｂ，Ｃ不共线，且ＤＰ＝厕＋Ａ【—ＩＡＢ—ＩｃｏｓＢ＋丽蕊），
，
……一＝｛＝寸
（加０７年武汉调考）若Ｄ夕平面上二定点，
ＡＢ
ＡＣ
、
分线上的向量，又Ａ∈［ｏ，＋∞），则Ａ（而，４１两３＋吾－．－－岳－ｒ）的
万方数据
２６
十・？擞・７（２００９年第４期・高中版）
・解题研究・
《
）
Ａ．内心Ｒ外心
Ｃ。重心
执垂心
分析这里不同于变式２，ＩＡＢｌ
ｃｏｓＢ≯ＩＡＣＩ・
ｃｏｓＣ，但由于两向量的数嫠积中含有角的余弦，故在已知向量等式孛，两边同乘以菜一向量可达蓟诧麓
目的。
解ｆｌｊ题可知，Ａ—Ｐ＝Ａｆ—［Ａ生ＢＩｃｏｓＢ＋丽茜毫磊），
则≯・一ＢＣ＝３，（篆嚣＋篙墨）
２Ａｌ一—１面高画～＋—而五万）
，Ｉ藉１．ｆ赢ｌｃｏｓＢＩ＿斗ＣＡＩ
ｌ。ＣＢｌｃｏｓＣ
＝Ａ（一ＩＢＣＩ＋ｊｃ８Ｉ）＝０。
。。。ＡＰ’土ＢＣｌ≯，Ｐ必在嚣Ｃ边豹高线上，敬选Ｄ。，ｌ、绪通过以上咒例研知，当有
Ａ—Ｐ＝Ａ（等＋等）（ｍ，焯，Ａ均为正常数）时，
①若ｍ＝ｎ，则可变为Ａ芦＝Ａ’（Ａ西＋Ａｅ），故Ｐ点过ＡＡＢＣ酌熏心《鲡变式ｌ，交式２）；
②若詈＝长筹时，则可变为
Ａ—Ｐ＝Ａ＂（盖＋惫）’
：。。尹一定过ＡＡＢＣ豹随心（蓊壤２）；
③若詈＝篙裂言差时，则可变为夺上赢，
．’．Ｐ一定过ＡＡＢＣ垂心（如变式３）．
交式４（２００ｓ年江苏调考）在ＡＡＢＣ枣，溅秀乎瑟
上一动点，且窳＋Ｍ—Ｂ＝Ａ（瓦蕊ＣＡ＋—ｉＣ里ＢＩｃｏｓＢｌｌ，
Ａ∈［０，＋∞），则动点Ｐ的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的
（
）
Ａ．凑・§Ｂ．乡｝心Ｃ。重。玉Ｄ。垂心
分析这里已知等式右边类似于变式３，可进
行类似的处理．
解禚已知等式两边嗣乘以Ａ雪，得
（赢十蕊）・Ａ—Ｂ＝盖ｆ篙等＋骂ＩＣＢｌ堕ｃｏｓＢｈ］
．・．（ＭＡ’＋ＭＢ。）上Ａ西＇．．．点Ｍ在线段Ａ肟的中垂线上，故选Ｂ．
３以向量药载体，运用“网心”，突出“用”
铡３（２００７年全国卷ＩＩ）设Ｆ为抛物线Ｙ２＝４ｘ
的焦点，Ａ，Ｂ，Ｃ为这抛物线一Ｅ三点，若“＋胎＋，Ｃ
：０，则Ｉ赢ｌ＋Ｉ南Ｉ＋Ｉ—ＦＣｆ＝（）
Ａ．９
Ｂ．６
Ｃ．４Ｄ，３
万方数据
瓣设ａ（ｘｌ，Ｙ；），露（龟，是），Ｃ（奶，Ｙ３≥，塞躐专
瑚＋ＦＣ＝Ｏ，知Ｆ点为ＡＡＢＣ的熏心，而Ｆ（１，Ｏ），
。’。ｘ。＋戈２＋ｘ３＝３，又由抛物线定义得
ｌ声ＨＩ＋ＩＦＢｌ＋ｌＦＣ
１＝（茁Ｉ＋１）＋（舅２＋１）＋
《掣，＋１）＝３÷３＝６，教选８。
点评灵活运用结论砑＋朋＋慰＝Ｏ§Ｆ为
△ＡＢＣ的重心是破题的关键．
变式ｌ
（２００８年山东调考）设０为ＡＡＢＣ内
一点，蕊＋２∞◆３
８０＝０，求△ＡＯＢ的覆积与
△ＡＯＣ的面积琵．
解如图５，延长
（）脬至Ｅ，使蔬：２石茁，
延长０ｅ至Ｄ，使Ｏ办＝
３蔬，剜赢＋葫＋旋
＝０＇．．．Ｏ为ＡＡＤＥ的重Ｅ
心．
图５
．－。ｓ△删。＝｜ｓ△烈口，半Ｃ
：一
’∥川
一△ＯＡＯ
土，鱼：一１３
’Ａ槲￡一
Ｓ２，从瓣
ＳＡ＾蝴
３
Ｓ△＾ｏｃ一２‘
点评这里先确定０点的位置是解题成败的关键，可见，灵活“用心”也不可忽视．
变式２（２００８年黄冈谲考）在△ＡＢＣ孛，０兔
外心，Ｐ是平面内一点，满足葫＋０－７３＋旋＝历，则Ｐ
为△ＡＢＣ的（
）Ａ．垂心
Ｂ，重心
Ｃ．内心
Ｄ．外心
瓣’。‘ＯＡ＋ＯＢ＝ＯＰ—ＯＣ＝ＣＰ，
．・．。ＯＡ＋。ＯＢ＋一ＯＣ：葫，
①又’．‘ＯＡ—ＯＢ＝ＢＡ．
②
①×②得诗一谣２＝历．蔚，
又０
ＡＡＢＣ终心一。蔬２：耱，从面历。藏
：０＇１．，历土赢，同磁》上袤＇．．。Ｐ
ＡＡＢＣ的垂心。
故选Ａ．
综上所述，要解决有关三角形的“四心”问题，蕾先应圆归定义，将条件转化到“翻心”的概念中去，运臻定义搬以勰决；其次要掌握麓律，审渍题意，找出问题的关联点（或突破点），将问题具体化，这样在一般情况下都能迎刃而解．
移考文献
１
蔡鞠。曩囱量豹观点着三袁形妁“鞭心”闯题。数学教学研究．２００７，２
２王建荣．向量与三角形的“四心”．简中数学教与举，
２００７．３
（收稿日期：２００９０２１３）