JIETI JIQIAO YU FANGFA
解题技巧与方法
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例谈高中数学函数对称性的应用
◎黄婷婷
(江苏省句容市第三中学212400)
f （x 1）－f （x 2）
＞0．
x 1－x 2
【摘要】新课标苏教版高中数学教材上就函数的性质着
奇偶性、周期性，但在高考中不乏对函数重讲解了单调性、
对称性的考查，因为教材上对对称性有零散的介绍，例如二
奇函数、偶函数的对称性，三角函数的对次函数的对称轴，
称性，因而考查的频率一直比较高．以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断．本文拟通过函数对称性的简单总结以及一些应用举例来探讨函数与对称有关的性质．
【关键词】函数对称性；概念理解；解题能力函数模块是高中数学的重点也是难点，函数的性质是历年高考数学试题的重点和热点．其中函数的对称性是函
学生学习了函数的定义、单调性和奇偶数的一个基本性质，
已经能由图像的直观性理解数学的本质．学生需要性之后，
通过函数对称性的学习，提高综合运用知识及方法技巧分
解决问题的能力．具体讲，就是要通过函数知识的析问题、
培养学生的理性思维能力；通过探究思考，培养学生运用，
的实践能力、观察能力、判断能力；通过实际问题的解决，培
解决问题的能力和表达交流的能力．下面养学生分析问题、
将从两个方面来讨论函数的对称性．
中学数学的教学应该努力揭示数学概念、法则、结论的形成和发展过程，揭示人类探索真理的艰辛与反复．要通过典型例题的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概
结论产生的背景和逐步形成的经历，体会蕴含在其中的念、思想，体验寻找真理和发现真理的方法，追寻数学发展的历史足迹．下面笔者将给出一些例题．
例1定义在R 上的非常数函数满足：f （10+x ）为偶函
）．且f （5－x ）=f （5+x ），则y =f （x ）一定（数，
A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数
ʑ f （10－x ）=f （10+x ）．解ȵ f （10+x ）为偶函数，
ʑ y =f （x ）有两条对称轴x =5与x =10，因此y =f （x ）是以10为其一个周期的周期函数，ʑ x =0即y 轴也是y =f （x ）的对称轴，因此y =f （x ）还是一个偶函数．故选A ．
5π
例2函数y =sin 2x +的图像的一条对称轴的方
2
）．程是（
5A．x =－B．x =－C．x =D．x =
2484
5π
解函数y =sin 2x +的图像的所有对称轴的方程
2
5πk ππ=k π+，ʑ x =－π，是2x +显然取k =1时的对称轴222
故选A ．方程是x =－，2
变式：（2008江苏南通）已知函数y =f （x ）是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f （x +6）=f （x ）+f （3）成立，且f （－4）=
－2，x 2∈［0，3］，当x 1，且x 1≠x 2时，都有
()
()
则给出下列命题：
①f （2008）=－2；
②函数y =f （x ）图像的一条对称轴为x =－6；
－6］③函数y =f （x ）在［－9，上为减函数；9］④方程f （x ）=0在［－9，上有4个根．
．其中所有正确命题的序号为
这道题的正确结果是①②③④，其中②和④都涉及对称性．
练习：
（1）设函数y =f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （1+x ）=f （1－x ），f （x ）=－x ，．当－1≤x ≤0时，则f （8．6）=
ʑ x =0是y =提示ȵ f （x ）是定义在R 上的偶函数，
f （x ）的对称轴．
ʑ x =1也是y =f （x ）的对称又ȵ f （1+x ）=f （1－x ），
轴．故y =f （x ）是以2为周期的周期函数，
ʑ f (8．6)=f (8+0．6)=f （0．6）=f （－0．6）=0．3．（2）设函数y =f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x +2）=－f （x ），f （x ）=x ，．当0≤x ≤1时，则f (7．5)=
A．0．5B．－0．5C．1．5D．－1．5
ʑ 点（0，0）是解ȵ y =f （x ）是定义在R 上的奇函数，
其对称中心．
又ȵ f （x +2）=－f （x ）=f （－x ），即f （1+x ）=f （1－x ），ʑ 直线x =1是y =f （x ）的对称轴，故y =f （x ）是周期为2的周期函数．
ʑ f (7．5)=f （8－0．5）=f （－0．5）=－f （0．5）=－0．5．故选B．
通过对以上实例的研究和分析，笔者发现，大部分学生动手能力差，应用意识弱．因此，在教学实践过程中，教师应让学生多动手，在解决问题的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，当学生理解并掌握之后，往往能诱发知识的迁移，使学生能举一反三、融会贯通地解决函数对称性问题．新教材中内容多，知识的连贯性不强，譬如函数的对称性，需要教师指导学生去学习，去总结．学生在其他很多方面都有类似的学习困难，如何让学生能更好地适应高中数学的学习，我们应根据不同的教学内容采取合适的教学方
学生创造反思的机会，引导学生积极主动地提出问题，法，
：“反思是数学总结经验．着名数学教育家弗赖登塔尔指出
思维活动的核心和动力．”教师应引导学生去反思一些问题，如：这种解法是怎样想出来的？关键是哪一步？这个方法能推广吗？通过解这个题，我学到了什么？这种反思能较好地概括思维的本质，从而上升到数学思想方法上来．同时由于学习的不可代替原则，教师在积极引导学生进行反思的同时还要善于引导学生学会自己提炼数学思想方法，帮助学生领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法．笔者将在其他方面作相应的研究．
数学学习与研究2013. 13