用积分因子法解常微分方程
摘 要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要. 此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便. 关键词：微分方程 恰当微分方程 积分因子 通解
Abstract ：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations. Key Words ：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution
自变量只有一个的微分方程称为常微分方程. 常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置. 本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解. 常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].
1 恰当微分方程
1.1 常微分方程
联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.
方程
d 2y dy
+b +cy =f (t ), （1.1） dt dt
⎛dy ⎫dy
+t +y =0 （1.2） ⎪
⎝⎭就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量.
2
1.2 恰当微分方程
考虑一阶方程
M (x , y ) d +x 0 （ 1.3） N (x , y ) =d y
这里假设M (x , y ) dx ，N (x , y ) dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数. 若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数u (x , y ) 的全微分，即
M (x , y ) d +x N (x , y ) =d y y （ 1.4） d (u , x
则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.
恰当微分方程（1.3）的通解就是
u (x , y ) =c , （1.5）
这里c 是任意常数.
定理1[2] 设函数M (x , y ) dx 和N (x , y ) dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是
∂M (x , y ) ∂N (x , y )
=. （1.6）
∂x ∂y
1.3 恰当微分方程的解法
方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式 方法2 不定积分法：利用关系式：
M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =du (x , y )
由此，函数u (x , y ) 应适合方程组
∂u
=M (x , y ), ∂x ∂u
=N (x , y ) ∂y
对
∂u
=M (x , y ) 关于x 积分得 ∂x
u =⎰M (x , y ) dx +ϕ(y )
两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得
∂u ∂M ∂N =⎰+ϕ' (y ) =⎰+ϕ' (y ) =N (x , y ) ∂y ∂y ∂x
通过对方程
∂N '
+ϕ(y ) =N (x , y ) ⎰∂x
关于y 积分，解出ϕ(y ) ，从而可得u =M (x , y ) dx +ϕ(y ) 的表达式，令
⎰
⎰M (x , y ) dx +ϕ(y ) =c
即得方程的通解.
如果对
∂u
=N (x , y ) 关于y 积分，同理可得方程的通解为 ∂x
⎰N (x , y ) dx +ψ(x ) =c
其中ψ(x ) 可类似于ϕ(y ) 求解的方法得到. 方法3 公式法：方程的通解为
⎰
或 其中c 是任意常数[3].
x
x 0x
M (x , y ) dx +⎰N (x 0, y ) dy =c
y 0
y
⎰
x 0
M (x , y 0) dx +⎰N (x , y ) dy =c
y 0
y
例1 求(x +y ) dx +(x -2y ) dy =0的通解
解 这里M =x +y , N =x -2y , 在xy 平面上有连续偏导数，这时
2
2
∂M
=1, ∂y
因此方程为恰当微分方程.
∂N
=1, ∂x
方法1（不定积分法） 现在求u ，使它同时满足如下两个方程：
∂u
（1） =x 2+y ，
∂x
∂u
（2） =x -2y .
∂y
由（1）对x 积分，得到
1
（3） u =x 3+xy +ϕ(y ) ，
3
将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得
∂u ∂y =x +d ϕ(y )
dy
=x -2y ， 于是
d ϕ(y )
dy
=-2y , 积分后得
ϕ(y ) =-y 2,
将ϕ(y ) 代入（3），得到
u =13
x 3
+xy -y 2.
因此，方程的通解为
1x 3
+xy -y 23
=c , 这里c 是任意常数.
方法2 （公式法） 取(x 0, y 0) =(0,0) 因此
u (x , y ) =⎰x
M (x , y ) dx +⎰y
N (x , y ) dy
=⎰x
(x 2
+y ) dx +⎰y
(x -2y ) dy
x 132y =(x +xy ) -y 003
1
=x 3+xy -y 2 3
因此，方程的通解为
13
x +xy -y 2=c , 3
这里c 是任意常数.
方法3（凑微分法） 将方程重新“分项组合”，得到
x 2dx +ydx +xdy -2ydy =0
即
1
d x 3+dxy -dy 2=0 3
或者写成
1
d (x 3+xy -y 2) =0 3
因此，方程的通解为
13
x +xy -y 2=c , 3
这里c 是任意常数.
2 用积分因子法解常微分方程
恰当微分方程可通过积分求出它的通解, 但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。为此本文寻求微分方程各类积分因子, 化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。
2.1 积分因子的基本概念
如果存在连续可微的函数μ=μ(x , y ) ≠0，使得
μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0 （2.1）
为一恰当微分方程，即存在函数υ，使
， （2.2） μM d x +μN d ≡y υd
则称μ(x , y ) 为方程（2.1）的积分因子.
因此求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子，从而将非恰当微分方程转化为恰当微分方程的求解问题.
性质1 只要方程（1.3）有解，则必有积分因子，而且不是唯一的，对于不同的积分因子，通解可能具有不同的形式.
性质2 方程（1.3）的任意两个积分因子μ1(x , y ) 和μ2(x , y ) 之间必有函数关系. 性质3 若方程（1.3）的有两个积分因子μ1(x , y ) 和μ2(x , y ) ，且
μ1(x , y )
≠常数，
μ2(x , y )
则该方程的通积分为
μ1(x , y )
=c .
μ2(x , y )
注意：方程两端同乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解，注意检查.
2.2 积分因子的存在的充要条件
根据微分方程
μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0
为全微分方程的充要条件是
∂[μ(x , y ) M (x , y )]∂[μ(x , y ) N (x , y )]
=
∂y ∂x
即
μ(x , y )
令
∂M (x , y ) ∂μ(x , y ) ∂N (x , y ) ∂μ(x , y )
+M (x , y ) =μ(x , y ) +N (x , y )
∂y ∂y ∂x ∂x
μ=μ(x , y ) ，M (x , y ) =M ，N (x , y ) =N .
整理上式即
1
μ
(N
∂μ∂μ∂M ∂N
. (2.3) -M ) =-
∂x ∂y ∂y ∂x
故μ=μ(x , y ) 为方程（1.3）的积分因子的充要条件是μ=μ(x , y ) 为方程（2.3）的解[4].
2.3 积分因子法解常微分方程
积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件的形式各异. 函数μ(x , y ) 为方程（1.3）的积分因子的充要条件是
(N
∂μ∂μ∂M ∂N -M ) =(-) μ ∂x ∂y ∂y ∂x
（1） μ(x , y )=μ(x ) 有关的积分因子 充要条件是
∂M ∂N
-∂y ∂x
=ϕ(x )
N
ϕ(x ) dx ⎰此时，积分因子为μ(x ) =e .
例2 求(y +2ye ) dx +(2y +e ) dy =0的积分因子及通解.
解 这里M =y +2ye , N =2y +e , 在xy 平面上有连续偏导数，这时
2
x
x
2x x
∂M
=2y +2e x , ∂y
∂M ∂N
因为 -=2y +e x
∂y ∂x
∂N
=e x , (不是恰当微分方程) ∂x
∂M ∂N
-∂y ∂x 2y +e x
==1 与x 有关， 所以 x
N 2y +e
积分因子为μ(x ) =e ⎰
dx
=e x ， 将积分因子同时乘以方程两边得
(y 2e x +2ye 2x ) dx +(2ye x +e 2x ) dy =0
即
d (y 2e x +ye 2x ) =0
因此，方程的通解为
y 2e x +ye 2x =c
这里c 为任意常数.
（2） μ(x , y )=μ(y ) 有关的积分因子 充要条件是
∂M ∂N
-∂y ∂x
=ψ(y )
-M
此时，积分因子为μ(y ) =e ⎰
2
ψ(y ) dy
.
例3 求xydx +(x +y ) dy =0的积分因子及通解
解 这里M =xy , N =x +y , 在xy 平面上有连续偏导数，这时
2
∂M
=x , ∂y
因为
∂N
=2x , (不是恰当微分方程) ∂x
∂M ∂N
-=-x ∂y ∂x
∂M ∂N -
-x 1∂y ∂x == 与y 有关， 所以
-M -xy y
1⎰y dx
=y ， 将积分因子同时乘以方程两边得 积分因子为μ(y ) =e
xy 2dx +(x 2y +y 2) dy =0
即
122
d (x y ) +y 2dy =0 2
因此，方程的通解为
122
x y +y 2=c 2
这里c 为任意常数.
（3） μ(x , y )=μ(xy ) 有关的积分因子
充要条件是
∂M ∂N
-∂y ∂x
=f (xy )
Ny -Mx
此时，积分因子为u (x , y ) =e ⎰
f (xy ) d (xy )
.
例4 求方程ydx +(x -3x 3y 2) dy =0的积分因子及通解
解 这里M =y , N =x -3x 3y 2, 在xy 平面上有连续偏导数，这时
∂M
=1, ∂y
因为
∂N
=1-9x 2y 2, (不是恰当微分方程) ∂x
∂M ∂N
-=9x 2y 2 ∂y ∂x
Ny -Mx =-3x 3y 3
∂M ∂N -
3∂y ∂x
=- 与xy 有关， 所以
Ny -Mx xy
积分因子为μ(xy ) =e
⎰xy d (xy )
-3
=
1
， 将积分因子同时乘以方程两边得 3
(xy )
1x -3x 3y 2
dx +() dy =0 3233
x y x y
此时是恰当微分方程. 即
d (
因此，方程的通解为
1
+3ln y ) =0 22
2x y
1
+3ln y =c 22
2x y
这里c 为任意常数.
（4） μ(x , y )=μ(x ±y ) 有关的积分因子 充要条件是
∂M ∂N
-∂y ∂x
=f (x ±y )
N M
此时，积分因子为u (x , y ) =e ⎰
(x ±y ) d (x ±y )
.
例5 求方程(x 2-xy -2y 2) dx +(2x 2+xy -y 2) dy =0的积分因子及通解. 解 这里M =x 2-xy -2y 2, N =2x 2+xy -y 2, 在xy 平面上有连续偏导数，这时
∂M
=-x -4y , ∂y
因为
∂N
=4x +y , (不是恰当微分方程) ∂x
∂M ∂N
-=-5x -5y =-5(x +y ) ∂y ∂x
N -M =x 2+2xy +y 2=(x +y ) 2
∂M ∂N
-
-5∂y ∂x -5(x +y )
==所以 与x +y 有关， 2
N -M (x +y ) x +y
积分因子为μ(x +y ) =e
⎰x +y d (x +y )
-5
=
1
， 将积分因子同时乘以方程两边得 5
(x +y )
x 2-xy -2y 22x 2+xy -y 2() dx +() dy =0 55
(x +y ) (x +y )
此时是恰当微分方程. 所以
x 2-xy -2y 2u (x , y ) =⎰dx +ϕ(y ) 5
(x +y )
(x +y ) 2-3y (x +y ) =⎰dx +ϕ(y ) 5
(x +y )
=⎰=
13y
dx -dx +ϕ(y ) 34
(x +y ) (x +y )
-1y
++ϕ(y ) 23
2(x +y ) (x +y )
∂u (x , y ) 1x -2y 2x 2+xy -y 2'
=++ϕ(y ) =又， 345
∂y (x +y ) (x +y ) (x +y )
那么
ϕ' (y ) =0
则
ϕ(y ) =0，
故
u (x , y ) =
因此，方程的通解为
-1y
， +23
2(x +y ) (x +y )
-1y
+=c 23
2(x +y ) (x +y )
这里c 为任意常数.
(5) μ(x , y )=μ(x 2±y 2)形式的积分因子[5] 充要条件为
∂M ∂N
-∂y ∂x
=f (x 2±y 2)
2(Nx My )
(x ⎰此时，积分因子为u (x , y ) =e
2
±y 2) d (x 2±y 2)
.
例6 求方程(x 2+y 2+y )dx -xdy =0 的积分因子及通解.
解 这里M =x 2+y 2+y ， N =-x ，在xy 平面上有连续偏导数，M 、N 均为x 、
y 的多项式，这时
∂M
=2y +1, ∂y
因为
∂N
=-1, (不是恰当微分方程) ∂x
∂M ∂N
-=2y +2∂y ∂x
Nx -My =-x 2-x 2y -y 3-y 2=-(x 2+y 2)(y +1)
∂M ∂N
-
2(y +1) 1∂y ∂x 22
=-=-所以 与有关， x +y 2222
2(Nx -My ) 2(x +y )(y +1) x +y
积分因子为μ=e
⎰-x 2+y 2d (x
1
2
+y 2
)
=
1
将积分因子同时乘以方程两边得 22
x +y
y x
dx -dy =0 x 2+y 2x 2+y 2
此时是恰当微分方程. 凑微分将方程为
1
d (ln(x 2+y 2)) =0 2
因此，方程的通解为
1
ln(x 2+y 2) =c 2
这里c 为任意常数.
（6） μ(x , y )=μ(x y ）（α、β为待定常数）有关的积分因子的充要条件是
α
β
∂M ∂N αβ
-=N -M ∂y ∂x x y
且积分因子为u (x , y ) =x y （α、β为待定常数）.
α
β
此结论适用于M 、N 均为x 、y 的多项式.
例7 求方程(3y +4xy ) dx +(2x +3x y ) dy =0的积分因子及通解.
解 这里M =3y +4xy ), N =2x +3x y , 在xy 平面上有连续偏导数，M 、N 均为x 、y 的多项式，这时
2
2
2
2
∂M
=3+8xy , ∂y ∂N
=2+6xy , (不是恰当微分方程) ∂x
∂M ∂N
-=1+2xy 因为 ∂y ∂x
∂M ∂N αβ-=N -M ∂y ∂x x y
所以
⎧2α-3β=1
⎨
⎩3α-4β=2
解得
⎧α=2
⎨
⎩β=1
积分因子为μ=x 2y ，将积分因子同时乘以方程两边得
(3x 2y 2+4x 3y 3) dx +(2x 3y +3x 4y 2) dy =0
此时是恰当微分方程. 凑微分将方程为
d (x 3y 2+x 4y 3) =0
因此，方程的通解为
x 3y 2+x 4y 3=c
这里c 为任意常数.
（7）分组组合法[6]. 分组组合方法的原理：若方程（2.1）可进行下列分组组合
[M 1(x , y ) dx +N 1(x , y ) dy ]+[M 2(x , y ) dx +N 2(x , y ) dy ]=0
并且 μ1(x , y )(M 1(x , y ) dx +N 1(x , y ) dy ) =du 1(x , y ) μ2(x , y )(M 2(x , y ) dx +N 2(x , y ) dy ) =du 2(x , y )
寻找适当的可微函数ϕ1(t ) 和ϕ2(t ) 使得μ1(x , y ) ϕ1(u ) =μ2(x , y ) ϕ2(u ) ，则原方程的积分因子为μ1(x , y ) ϕ1(u ) =μ2(x , y ) ϕ2(u ) .
例8 求方程(x y 2-2y ) dx +x dy =0的积分因子及通解 解 将方程重新组合为
(x ydx +x dy ) -2y dx =0， （1）
3
4
2
3
2
4
11
前一组有积分因子3和通积分xy =c ，后一组有积分因子2和通积分x =c ，
y x
可为函数G 1(xy ) 和G 2(x ) 使
11
G (xy ) =G 2(x ) ， 312x y
取
G 1(xy ) =
11，， G (x ) =2225
x y x
1
从而得到方程的积分因子 μ=52，
x y
将积分因子同时乘以（1）两边，得到
(
即
112dx +dy ) -dx =0 22225
x y x y x
y 1
d () +4dx =0 x 2x
因此，方程的通解为
y 1
+4=c x 2x
这里c 为任意常数.
3 常见一阶微分方程的积分因子解法
根据微分方程
μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0
μ=μ(x , y ) 为分方程的积分因子的充要条件是
∂μ∂μ∂M ∂N
. (N -M ) =-
μ∂x ∂y ∂y ∂x 1
积分因子的形式各异，用形式简单、易行的方法解出常见的一阶微分方程，相比传统的解法更快捷、省时. 下面给出常见的几种一阶微分方程的积分因子存在形式.
3.1 一阶线性方程的积分因子解法
形如
dy
3.1） +p (x ) y =f (x ) （
dx
的方程为一阶线性微分方程. 将方程改为对称式为
[p (x ) y -f (x ) ]dx +dy =0
令p (x ) y -f (x ) =P (x , y ), Q (x , y ) =1， 那么
∂P ∂∂y -Q ∂x
Q
=p (x ) 是关于x 的函数, 此时，积分因子为μ(x ) =e ⎰p (x ) dx .
例9 求方程
dy dx +y x =
cos x
x
的积分因子及通解 解 这里p (x ) =
1
x
, 在xy 平面上有连续偏导数，这时积分因子 μ(x ) =e ⎰
p (x ) dx
1=e ⎰
x
=x
将积分因子同时乘以方程两边得
xdy +ydx -cos xdx =0
凑微分得
d (xy ) -d (sinx ) =0
两边积分得
xy -sin x =c
因此，方程的通解为
x 3y 2+x 4y 3=c
这里c 为任意常数.
3.2 伯努力微分方程的积分因子解法
形如
dy
dx
=P (x ) y +Q (x ) y n 的方程，称为伯努力微分方程，这里P (x ) ，Q (x ) 为x 的连续函数， 方程两边同时乘以y -n
(y ≠0) 并令z =y
-n
得
（3.2）
n ≠0,1是常数.
dz
+(n -1) P (x ) z =(1-n ) f (x ) （3.3）
dx
由线性方程的积分因子知方程（3-3）的积分因子为
μ(x , y ) =y -n e
(n -1) ⎰
p (x ) dx
例10 求方程
dy
dx
+y =(sinx -cos x ) y 2的积分因子及通解 解 这里P (x ) =-1, 在xy 平面上有连续偏导数，这时积分因子
μ(x , y ) =y -2e 1⎰
-dx
=y -2e -x
将积分因子同时乘以方程两边，并化对称式为：
y -2e -x dy +y -1e -x dx =(sinx -cos x ) e -x dx
凑微分得
d (-e x y -1) =d (-e -x sin x )
两边积分得
-e -x y -1=-e -x sin x
因此，方程的通解为
-e -x y -1+e -x sin x =c
这里c 为任意常数.
3.3 可分离变量方程的积分因子解法
形如
p 1(x ) q 1(y ) dx +p 2(x ) q 2(y ) dy =0 用观察法可以求得可分离变量方程的积分因子，方程两边同时乘以1
p 2(x ) q 1(y )
得
p 1(x ) q (y )
p x ) dx +2q dy =0 2(1(y )
这里P (x , y ) =
p 1(x ) p (x ) , Q (x , y ) =q 2(y ) q (y )
213.4）
（
因此
∂P ∂Q ==0 ∂x ∂y
1
p 2(x ) q 1(y )
可分离变量方程的积分因子为
μ(x , y ) =
例11 求方程(xy +x -y -1) dx +(xy -x ) dy =0的积分因子及通解. 解 将方程变形为(x -1)(y -1) dx +x (y -1) dy =0 方程的积分因子为
μ(x , y ) =
1p x ) q y ) =1
x (y +1)
2(1(将积分因子同时乘以方程两边，并化为：
x -1x dx +y -1
y +1
dy =0 凑微分得
d (x -ln x ) -d (y +ln(y +1)) =0
两边积分得
x -ln x -y -2ln(y +1) =0
即
x -y -ln x (y +1) =0
因此，方程的通解为
x -y -ln x (y +1) =c
这里c 为任意常数.
3.4 齐次方程的积分因子的解法
设
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0 的方程为齐次方程. 将方程化为：
-P (x , y ) x
Q (x , y ) =f (y ) dy y
（形如dx =f (x
) ） 3.5）
3.6） （（
将方程（3-6）两边同时乘以
1y
，并令μ=代入得
Q (x , y ) x
[u -f (u ) ]d x +
（3.7） x d =u 0
方程（3-7）为可分离变量方程，其积分因子为：μ=
1
x [u -f (u )]
1y
将μ=代入并乘以得齐次方程（3-5）的积分因子为：
Q (x , y ) x
μ=
注：当
1
xP (x , y ) +yQ (x , y )
dx x
=g () 时有相同的积分因子. dy y
x
y
例12 求方程(1+2e ) dx +(1-解 方程的积分因子为
x
) dy =0的积分因子及通解. y
1x +2ye
x y
1
μ(x , y ) ==
xP (x ) +yQ (y )
将积分因子同时乘以方程两边得
x y x y
1+2e
dx +
x
2e (1+)
y x +2ye
x y
x y
dy =0
x +2ye
取(x 0, y 0) =(0,1) 因此，由全微分公式得
u (x , y ) =⎰P (x , y ) dx +⎰Q (x , y ) dy
1
x y
=⎰
x
1+2e
x y x y x y
x +2ye
dx +⎰
y
1
22y
x y
=ln(x +2ye ) +ln y
=ln(x +2ye ) -ln 2
因此，方程的通解为
x y
ln(x +2ye ) -ln 2=ln c 1
即
x y
x y
x +2ye =c （c =2c 1）
这里c 是任意常数.
一般说来, 对于以上常见的四种类型的微分方程, 均可以找到以上类型的积分因子从而化为全微分方程求解.
参考文献
[1]王高雄，朱思铭，周之铭，王寿松. 常微分方程第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]周义仓，靳祯，秦军林. 常微分方程及其应用-方法、理论、建模、计算机[M].北京：科学出版社，2003.
[3]窦霁虹. 常微分方程考研教案第二版[M].西安：西北工业大学出版社，2006. [4]阎淑芳. 积分因子的存在条件及求法[J].河北：邯郸师专学报，2004，（14）. [5]李君士. 积分因子的求法[J].九江师专学报：自然科学版，1989，8（2）：64-68 [6]孙清华，李金兰，孙昊. 常微分方程 内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.