量子力学周世勋习题解答第四章

第四章习题解答

4.1.求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元。

pr13pr

ˆzzpˆy)ed 解：(Lx)pp()e(yp

2

ii

pr13pr



()e(ypzzpy)ed

2

ii

13prpr

()e(i)(pzpy)ed

2pypz

i

i

r13pp）

(i)(pzpy)()ed

pypz2



i(pypz)(pp)

pzpy*2

(x)Ld ) (L2xpppxppr13pr2

ˆˆ ()e(ypzzpy)ed

2

ii

pr13pr

ˆzzpˆy)(ypˆzzpˆy)ed ()e(yp

2

ii

13prpr

ˆzzpˆy)(i)(py ()e(yppz)ed

2pzpy

i

i

i

pr13pr

ˆzzpˆy)ed (i)(pypz)()e(yp

pzpy2

r213pp）2

(pypz)()ed

pzpy22

2(pypz)(pp)

pzpy

#

4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。

2n

解：基矢：un(x)sinx

aa22n2

能量：En 2

2aa2m

axdx 对角元：xmmxsin2

0aa22amx)x(sin)dx 当时，mn xmn(sin

0aaa

i



ii



1a(mn)(mn)

xcosxcosa0aa



xdx

a

1a2(mn)ax(mn)[cosxsinx]22

a(mn)a(mn)a0

a

a2(mn)ax(mn)

[cosxsinx] 22

a(mn)a(mn)0a11

2(1)mn12(mn)2(mn)



4mnmn

(1)12222

(mn)

a2mdn*

ˆun(x)dxisinpmnum(x)pxsinxdx

0aadxa

2namni2sinxcosxdx

0aaa

na(mn)(mn)i2sinxsinxdx

aaa0



a



na(mn)a(mn)

i2cosxcos

a(mn)aa(mn)11mn

1](mn)(mn)(1)



i2mn

(1)mn12

(mn2)ainaa2

x 0

a





#

4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

解：定态薛定谔方程为

2

1p222d C(p,t)C(p,t)EC(p,t) 222dp

21p222d 即 C(p,t)(E)C(p,t)0 222dp2

两边乘以，得



1



1

d22Ep2

C(p,t)()C(p,t)0 2

dp



令 

1



p p, 

1



2E



d2

2C(p,t)(2)C(p,t)0

d

跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

En(n2)

1i

2p2Ent

C(p,t)Nne2Hn(p)e

式中Nn为归一化因子，即



Nn(1/2n)1/2

2n!

#

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

12122122ˆˆx 解：Hp2x2 2222x2

ˆ(x)dx H*(x)H

pp



pp

pxpx122122

e(x)edx 222x2

(pp)x(pp)x2i121212 (p)edxxedx 2222

i

i

ii

2

(pp)xp21212 (pp)()edx 2222ip2

p2122 (pp)()22ip2

i





1





e

i

(pp)x

dx

2

p2122 (pp)(pp) 22p2

2p2122 (pp)(pp) 222p

#

ˆ和Lˆ的矩阵分别为 ˆ2和Lˆ的共同表象中，算符L4.5 设已知在LZxy

0i0010

2

Lxi0i 101 Ly

220i0010

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。

解：Lx的久期方程为



2

02

0320

20

2

10，2，3

ˆ的本征值为0，， ∴L

x

ˆ的本征方程 Lx

a1010a1



101a a2 22a010a33a1

ˆ的本征函数Lˆ2和Lˆ共同表象中的矩阵 其中a2设为LZx

a3

当10时，有

010a10



101a20

2010a30a20

a1a30 a3a1，a20

20a2

a1

∴ 00

a1

由归一化条件

a12**

100(a1,0,a1)02a1

a1

取 a1

12

12

ˆ的本征值0 。 对应于L 00x

1

2

当2时，有

a1010a1



101a a2 22a010a331

a22aa22a111 (a1a3)a2a22a3



aa1

1a33

a22

a1

∴ 2a1

a1

由归一化条件

a12***

1(a1,2a1,a1)2a14a1

a1

1

取 a1

2

121

ˆ的本征值 ∴归一化的对应于Lx

212

当2时，有

a1010a1



101a2a2

2a010a33

 





2aa22a1

11

(a1a3)a2a22a3 2aaa3131

a2



2

a1

∴ 2a1

a1

由归一化条件

a12***

1(a1,2a1,a1)2a14a1

a1

1

取 a1

2

121ˆ的本征值 ∴归一化的对应于Lx

212

ˆ表象的变换矩阵为 ˆ2和Lˆ的共同表象变到L 由以上结果可知，从LZx

1a1

111



222

11

 S0 22

111

222



∴对角化的矩阵为LSLxS x

 Lx

2

121212

01212



11

20102

1

10102

01011

22

1

21212



212121

111

220002

1111

10 

22222

111111

22222

000000



2000 0

200200

按照与上同样的方法可得 ˆ的本征值为0，， Ly

ˆ的归一化的本征函数为 L

y

11

1222ii 00   22111

2

22

ˆ2和Lˆ的共同表象变到Lˆ表象的变换矩阵为 从LZy

S



1201

12i212

121

S2

2112212i

0ii2

121 212

2

ˆ对角化 利用S可使Ly

2

000



L0 ySLyS0

00

#

4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为



J ti

(**) ∴ J2

i

而 J(**)

2i

(2**2)

21ˆ**Tˆ) (TiˆTˆ*) (*T ∴ it(*)ˆTˆ*) i(*T

t

写成矩阵形式为

ˆTˆi()Tt

ˆ(Tˆ)**0i()Tt #

《量子力学》考试大纲

一．绪论（3）

1．了解光的波粒二象性的主要实验事实；

2．掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 二．波函数和薛定谔方程（12）

(1)理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念 。 (2)掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性．

(3)理解态叠加原理以及任何波函数Ψ(x，t)按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义．

(4)了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位；薛定谔方程和定态薛定谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系．

(5)对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法． (6)关于一维定态问题要求如下：

a．掌握一维无限阱的求解方法及其物理讨论；

b．掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点： c．了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释． 三．力学量用算符表达（17）

(1)掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算符．

(2)掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数，它们的归一性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式．

(3)电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例，学生应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法，特别是分离变量法．

ˆ的本征函数展开 (4)掌握力学量平均值的计算方法．将体系的状态波函数Ψ(x)按算符F

是这些方法中常用的方法之一，学生应掌握这一方法计算力学量的可能值、概率和平均值．理

ˆ同时具有确定ˆ和Gˆ具有确定值以及在什么条件下，两个力学量F解在什么状态下力学量F

值．

(5)掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能量．

(6)掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动量、角动量、宇称等．

四．态和力学量的表象（10）

(1)理解力学量所对应的算符在具体的表象下可以用矩阵来表示；厄米算符与厄米矩阵相对应；力学量算符在自身表象下为一对角矩阵；

(2)掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本征值、本征矢的矩阵方法． (3)理解狄拉克符号及占有数表象

五．微扰理论（16）

(1)了解定态微扰论的适用范围和条件：

(2)对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算．

(3)对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算． (4)掌握变分法的基本应用；

(5)关于与时间有关的微扰论要求如下：

a．了解由初态i 跃迁到末态f的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达

式；

b．理解由微扰矩阵元Hfi≠0可以确定选择定则； c．理解能量与时间之间的不确定关系：ΔEΔt∽

d．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由i态跃迁到f态的辐射强度均与矩阵元rfi 的模平方∣rfi∣ 成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则．

(5)了解氢原子一级斯塔克效应及其解释．

*六、散射问题（8）

七．自旋和全同粒子（15）

(1)了解斯特恩—格拉赫实验．电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率．

(2)掌握自旋算符的对易关系和自旋算符的矩阵形式(泡利矩阵)．与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法． (3)了解简单塞曼效应的物理机制．

(4)了解L-S藕合的概念及碱金属原子光谱双线结构和物理解释．

(5)根据量子力学的全同性原理、多体全同粒子波函数有对称和反对称之分．掌握玻色子体系多体波函数取交换对称形式，费米子体系取交换反对称形式，以及费米子服从泡利不相容原理．

(6)理解在自旋与轨道相互作用可以忽略时，体系波函数可写为空间部分和自旋部分乘积形式．对于两电子体系则有自旋单重态和三重态之分．前者自旋波函数反对称，空间波函数对称；后者自旋波函数对称，空间波函数反对称．

(7)作为一个具体的实例:了解氦原子能谱有正氦和仲氦之分的物理机制．



2

教材：《量子力学教程》（周世勋）