圆的专题训练初中数学组卷
一．选择题（共15小题）
1．如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）
A ．3 B．4 C ．5 D ．6
2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，⊙O 的半径为5cm ，则圆心O 到弦CD 的距离为（ ）
A ．cm B ．3cm C ．3cm D ．6cm
，则阴影部分的面积为（ ）
3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD=60°，CD=2
A ． B ．π C ．2π D ．4π
4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D=40°，则∠CAB 的度数为（ ）
A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°
5．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）
A ． B ．2 C ． D ．
，则S 阴影=（ ）
6．如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD=30°，CD=4
A ．2π B ．π C ．π D ．π
7．如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ）
A ．15° B ．25° C ．30° D ．75°
8．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A ．100° B ．72° C ．64° D ．36°
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切，与y 轴相交于A （0，2），B （0，8），则圆心P 的坐标是（ ）
A ．（5，3） B ．（5，4） C ．（3，5） D ．（4，5）
10．如图，正方形ABCD 的边AB=1，面积之差是（ ）
和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的
A ． B ．1﹣ C ．﹣1 D ．1﹣
11．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
12．如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A 与BC 相切于点D ，阴影部分的面积为（ ）
A ． B ． C ． D ．
13．如图，某工件形状如图所示，等腰Rt △ABC 中斜边AB=4，点O 是AB 的中点，以O 为圆心的圆分别与两腰相切于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．2﹣π
14．若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ）
A ．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：1
15．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且为半圆的．设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论正确的是（ ）
A ．S 1＜S 2＜S 3 C ．S 2＜S 3＜S 1 D ．S 3＜S 2＜S 1
二．解答题（共10小题）
16．已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，且△AEF 为等边三角形
（1）求证：△DFB 是等腰三角形；
（2）若DA=AF ，求证：CF ⊥AB ．
B ．S 2＜S 1＜S 3
17．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．
18．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O 的半径为2时，求的长．
中点，连接BM ，CM ．
19．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ．
（1）求证：∠1=∠BAD ；
（2）求证：BE 是⊙O 的切线．
20．如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于A ，B ），AD ⊥CD ．
（1）若BC=3，AB=5，求AC 的值；
（2）若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．
21．如图，直角△ABC 内接于⊙O ，点D 是直角△ABC 斜边AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于E ，过点C 作∠ECP=∠AED ，CP 交DE 的延长线于点P ，连结PO 交⊙O 于点F ．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）若PC=3，PF=1，求AB 的长．
22．如图，在△ABC ，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB ．
（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．
23．如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 在⊙O 上且
⊥AF 交AF 的延长线于点D ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若，CD=4，求⊙O 的半径．
，连接AC 、AF ，过点C 作CD
24．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ．
（1）请证明：E 是OB 的中点；
（2）若AB=8，求CD 的长．
25．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD=24，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，联结MB ．
（1）若BE=8，求⊙O 的半径；
（2）若∠DMB=∠D ，求线段OE 的长．
圆的专题训练初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2016•陕西）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）
A ．3 B．4 C ．5 D ．6
【分析】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
【解答】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ，
则BC=2BD，
∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补，
∴∠BOC=2∠A ，∠BOC +∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°，
∵⊙O 的半径为4，
∴BD=OB•cos ∠OBC=4×∴BC=4．
故选：B ．
=2，
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
2．（2016•黔南州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，⊙O 的半径为5cm ，则圆心O 到弦CD 的距离为（ ）
A ．cm B ．3cm C ．3cm D ．6cm
【分析】根据垂径定理知圆心O 到弦CD 的距离为OE ；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC 的长，即可在Rt △OCE 中求OE 的长度．
【解答】解：连接CB ．
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，
∴圆心O 到弦CD 的距离为OE ；
∵∠COB=2∠CDB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt △OCE 中，
OC=5cm，OE=OC•cos ∠COB ，
∴OE=cm ．
故选A ．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
3．（2016•通辽）如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（ ）
A ． B ．π C ．2π D ．4π
【分析】连接OD ，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接OD ．
∵CD ⊥AB ，
∴CE=DE=CD=，
故S △OCE =S△ODE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，
又∵∠ABD=60°，
∴∠CDB=30°，
∴∠COB=60°，
∴OC=2，
∴S 扇形OBD =故选A ．
=，即阴影部分的面积为．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
4．（2016•娄底）如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D=40°，则∠CAB 的度数为（ ）
A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B 及∠ACB 的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣40°=50°．
故选C ．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
5．（2016•达州）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）
A ． B ．2 C ． D ．
【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可．
【解答】解：作直径CD ，
在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，
则OD=tan ∠CDO===4， ，
由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，
则tan ∠OBC=
故选：C ．
，
【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2016•广安）如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD=30°，CD=4
=（ ）
，则S 阴影
A ．2π B ．π C ．π D ．π
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．
【解答】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ，
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
﹣OE ×DE +BE •CE=﹣2+2
=∴S 阴影=S扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC =．
故选B ．
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
7．（2016•自贡）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ）
A ．15° B ．25° C ．30° D ．75°
【分析】由三角形外角定理求得∠C 的度数，再由圆周角定理可求∠B 的度数．
【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，
∴∠C=∠AMD ﹣∠A=75°﹣45°=30°，
∴∠B=∠C=30°，
故选C ．
【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
8．（2016•毕节市）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A ．100° B ．72° C ．64° D ．36°
【分析】连接OA ，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接OA ，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=28°，
∴∠OAB=64°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=64°，
故选：C ．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2016•河池）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切，与y 轴相交于A （0，2），B （0，8），则圆心P 的坐标是（ ）
A ．（5，3） B ．（5，4） C ．（3，5） D ．（4，5）
【分析】过P 作PC ⊥AB 于点C ，过P 作PD ⊥x 轴于点D ，由切线的性质可求得PD 的长，则可得PB 的长，由垂径定理可求得CB 的长，在Rt △PBC 中，由勾股定理可求得PC 的长，从而可求得P 点坐标．
【解答】解：
如图，过P 作PC ⊥AB 于点C ，过P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接PB ，
∵P 为圆心，
∴AC=BC，
∵A （0，2），B （0，8），
∴AB=8﹣2=6，
∴AC=BC=3，
∴OC=8﹣3=5，
∵⊙P 与x 轴相切，
∴PD=PB=OC=5，
在Rt △PBC 中，由勾股定理可得PC===4，
∴P 点坐标为（4，5），
故选D ．
【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键．
10．（2015•黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD 的边AB=1，的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
和都是以1为半径
A ． B ．1﹣ C ．﹣1 D ．1﹣
【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=
无阴影两部分的面积之差，即
﹣1=．
【解答】解：如图：
正方形的面积=S1+S 2+S 3+S 4；①
两个扇形的面积=2S3+S 1+S 2；②
②﹣①，得：S 3﹣S 4=S扇形﹣S 正方形=
故选：A ．
﹣1=．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．
11．（2014•镇江）如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，根据圆周角定理可得出∠BOD=∠A ，再根据勾股定理可求得BD=4，从而得出∠A 的正切值．
【解答】解：过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，
∵OB=5，OD=3，
∴BD=4，
∵∠A=∠BOC ，
∴∠A=∠BOD ，
∴tanA=tan∠BOD=故选：D ．
=，
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点．
12．（2013•江门模拟）如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A 与BC 相切于点D ，阴影部分的面积为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】阴影部分的面积是三角形ABC 的面积减去圆的面积，根据勾股定理可求得BC 的长，连接AD ，由等腰直角三角形的性质可得出AD 等于BC 的一半．
【解答】解：连接AD ，
∵∠A=90°，AB=AC=2cm，
∴由勾股定理得BC=2cm ，
∴AD=BC ，
∴AD=cm ，
﹣=2﹣． ∴S 阴影=S△ABC ﹣S 圆=故选B ．
【点评】本题是一道综合题，考查了扇形面积的计算以及等腰三角形的性质，是中档题．
13．（2011•深圳模拟）如图，某工件形状如图所示，等腰Rt △ABC 中斜边AB=4，点O 是AB 的中点，以O 为圆心的圆分别与两腰相切于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．2﹣π
【分析】本题需先求出直角三角形的边长，再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出四边形CDOE 是正方形，然后分别求出直角三角形ABC 、扇形FOD ，正方形CDOE ，扇形EOG 的面积，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：设AC=BC=x，
则x +x =4 x=2 ∴
设OD=R，则OE=R
∵AC ，BC 与⊙O 相切，
∴OD ⊥AD ，OE ⊥BC
∵∠A=45°
∴∠AOD=45°
∴∠A=∠AOD
∴AD=OD=R
∵AC=2
∵AC=2
∴AD=OD
∵∠C=90°
∴四边形ODCE 是正方形 ∴
∴S 正方形CDOE ==2 22
S 扇形FOD =S扇形EOG =
=
∴阴影部分的面积是2﹣
故选
A
【点评】本题主要考查了扇形面积的求法，在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用．
14．（2006•兰州）若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ）
A ．3：2 B．3：1 C．5：3 D．2：1
【分析】利用轴的截面是一个正三角形，易得圆锥的底面半径和母线长的关系，把相应数值
2代入圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，圆锥底面积=π×半径比较即可．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，
∴S 底=πr ，S 侧=•2r •2πr=2πr ，
∴S 侧：S 底=2πr ：πr =2：1．
故选D ．
2222
【点评】此题主要考查圆锥的轴截面、侧面积与底面积的求法．
15．（2003•海南）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且为半圆的．设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论正确的是（ ）
A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 2＜S 3＜S 1 D ．S 3＜S 2＜S 1
【分析】首先根据△AOC 的面积=△BOC 的面积，得S 2＜S 1．再根据题意，知S 1占半圆面积的．所以S 3大于半圆面积的．
【解答】解：根据△AOC 的面积=△BOC 的面积，得S 2＜S 1，
再根据题意，知S 1占半圆面积的，
所以S 3大于半圆面积的．
故选B ．
【点评】此类题首先要比较有明显关系的两个图形的面积．
二．解答题（共10小题）
16．（2016•株洲）已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，且△AEF 为等边三角形
（1）求证：△DFB 是等腰三角形；
（2）若DA=AF ，求证：CF ⊥AB ．
【分析】（1）由AB 是⊙O 直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF 为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）过点A 作AM ⊥DF 于点M ，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a，
AM=
a ，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC ，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 直径，
∴∠ACB=90°，
∵△AEF 为等边三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°，
∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B +∠FDB ，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB 是等腰三角形；
（2）过点A 作AM ⊥DF 于点M ，设AF=2a，
∵△AEF 是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a ，
在Rt △DAM 中，AD=AF=2a ，AM=，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，
∴AB=AF+BF=8a，
在Rt △ABC 中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，
∴CE=AC﹣AE=2a，
∴∠ECF=∠EFC ，
∵∠AEF=∠ECF +∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE +∠EFC=60°+30°=90°，
∴CF ⊥AB ．
【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．（2016•宁夏）已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C ，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B ，由此推得∠B=∠C ，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE ，由AB 为直径，可证得AE ⊥BC ，由（1）知AB=AC，证明△CDE ∽△CBA 后即可求得CD 的长．
【解答】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C ，
∵∠EDC=∠B ，
∴∠B=∠C ，
∴AB=AC；
（2）方法一：
解：连接AE ，
∵AB 为直径，
∴AE ⊥BC ，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∵△CDE ∽△CBA ， ∴，
∴CE •CB=CD•CA ，AC=AB=4， ∴•2=4CD，
∴CD=．
方法二：
解：连接BD ，
∵AB 为直径，
∴BD ⊥AC ，
设CD=a，
由（1）知AC=AB=4，
则AD=4﹣a ，
在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：
BD 2=AB2﹣AD 2=42﹣（4﹣a ）2
在Rt △CBD 中，由勾股定理可得：
BD 2=BC2﹣CD 2=（2）2﹣a 2
∴42﹣（4﹣a ）2=（2）2﹣a 2
整理得：a=，
即：CD=．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（2016•福州）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O 的半径为2时，求的长．
中点，连接BM ，CM ．
【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=CD， ∴=，
中点， ， =+，即
=， ∵M 为∴∴=+
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O 的半径为2，
∴⊙O 的周长为4π， ∵∴∴=
==
+==， ， 的长=××4π=×4π=π．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
19．（2016•自贡）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ．
（1）求证：∠1=∠BAD ；
（2）求证：BE 是⊙O 的切线．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；
（2）连接BO ，求出OB ∥DE ，推出EB ⊥OB ，根据切线的判定得出即可；
【解答】证明：（1）∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD ，
∵∠1=∠BDA ，
∴∠1=∠BAD ；
（2）连接BO ，
∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD +∠BCD=180°，
∴∠BCO +∠BCD=180°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO ，
∴∠CBO +∠BCD=180°，
∴OB ∥DE ，
∵BE ⊥DE ，
∴EB ⊥OB ，
∵OB 是⊙O 的半径，
∴BE 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
20．（2016•黄石）如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于A ，B ），AD ⊥CD ．
（1）若BC=3，AB=5，求AC 的值；
（2）若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．
【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC 的长即可；
（2）连接OC ，证OC ⊥CD 即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD ，即可得到OC ∥AD ，由于AD ⊥CD ，那么OC ⊥CD ，由此得证．
【解答】（1）解：∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上，
∴∠ACB=90°，
又∵BC=3，AB=5，
∴由勾股定理得AC=4；
（2）证明：连接OC
∵AC 是∠DAB 的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC ，
又∵AD ⊥DC ，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC ∽△ACB ，
∴∠DCA=∠CBA ，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA ，
∵∠OAC +∠OBC=90°，
∴∠OCA +∠ACD=∠OCD=90°，
∴DC 是⊙O 的切线．
【点评】此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
21．（2016•菏泽）如图，直角△ABC 内接于⊙O ，点D 是直角△ABC 斜边AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于E ，过点C 作∠ECP=∠AED ，CP 交DE 的延长线于点P ，连结PO 交⊙O 于点F ．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）若PC=3，PF=1，求AB 的长．
【分析】（1）连接OC ，欲证明PC 是⊙O 的切线，只要证明PC ⊥OC 即可．
（2）延长PO 交圆于G 点，由切割线定理求出PG 即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接OC ，
∵PD ⊥AB ，
∴∠ADE=90°，
∵∠ECP=∠AED ，
又∵∠EAD=∠ACO ，
∴∠PCO=∠ECP +∠ACO=∠AED +∠EAD=90°，
∴PC ⊥OC ，
∴PC 是⊙O 切线．
（2）解法一：
延长PO 交圆于G 点，
∵PF ×PG=PC，PC=3，PF=1，
∴PG=9，
∴FG=9﹣1=8，
∴AB=FG=8．
解法二：
设⊙O 的半径为x ，则OC=x，OP=1+x
∵PC=3，且OC ⊥PC
222∴3+x =（1+x ）
解得x=4
∴
AB=2x=8 2
【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．（2016•新疆）如图，在△ABC ，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠
CBF=∠CAB ．
（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．
【分析】（1）连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC ∽△ABF ，利用比例式求得线段的长即可．
【解答】（1）证明：连接AE ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB ．
∵∠
CBF=∠CAB ，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF +∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB 是⊙O 的直径，
∴直线BF 是⊙O 的切线．
（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于G ．
∵sin ∠
CBF=
∴sin ∠1=， ，∠1=∠CBF ，
∵在Rt △AEB 中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin ∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE=∴sin ∠2=
==，cos ∠2====2， ，
在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC ∥BF ，
∴△AGC ∽△ABF ， ∴
∴
BF= =
【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
23．（2016•南昌校级自主招生）如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 在⊙O 上且
接AC 、AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若，CD=4，求⊙O 的半径．
，连
【分析】（1）连结OC ，由F ，C ，B 三等分半圆，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC ，而∠OAC=∠OCA ，则∠FAC=∠OCA ，可判断OC ∥AF ，由于CD ⊥AF ，所以OC ⊥CD ，然后根据切线的判定定理得到CD 是⊙O 的切线；
（2）连结BC ，由AB 为直径得∠ACB=90°，由F ，C ，B 三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt △ADC 中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt △ACB 中，根据勾股定理求得AB ，进而求得⊙O 的半径．
【解答】（1）证明：连结OC ，如图， ∵，
∴∠FAC=∠BAC ，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA ，
∴∠FAC=∠OCA ，
∴OC ∥AF ，
∵CD ⊥AF ，
∴OC ⊥CD ，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）解：连结BC ，如图，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°， ∵=，
∴∠BOC=×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt △ADC 中，CD=4，
∴AC=2CD=8，
在Rt △ACB 中，BC +AC =AB，
即8+（AB ）=AB，
∴AB=，
．
222222∴⊙O 的半径为
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
24．（2016•西安校级三模）如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ．
（1）请证明：E 是OB 的中点；
（2）若AB=8，求CD 的长．
【分析】（1）要证明：E 是OB 的中点，只要求证OE=OB=OC ，即证明∠OCE=30°即可．
（2）在直角△OCE 中，根据勾股定理就可以解得CE 的长，进而求出CD 的长．
【解答】（1）证明：连接AC ，如图
∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ， ∴
，
∴AC=AD，
∵过圆心O 的线CF ⊥AD ，
∴AF=DF，即CF 是AD 的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD 是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt △COE 中，
∴， ， ∴点E 为OB 的中点；
（2）解：在Rt △OCE 中，AB=8， ∴，
又∵BE=OE，
∴OE=2， ∴
∴．
，
【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
25．（2016•金乡县一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD=24，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，联结MB ．
（1）若BE=8，求⊙O 的半径；
（2）若∠DMB=∠D ，求线段OE 的长．
【分析】（1）根据垂径定理求出DE 的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；
（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B ，根据∠M=∠D ，求出∠D 的度数，根据锐角三角函数求出OE 的长．
【解答】解：（1）设⊙O 的半径为x ，则OE=x﹣8，
∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，
222在Rt △ODE 中，OD =DE+OE ，
222x =（x ﹣8）+12，
解得：x=13．
（2）∵OM=OB，
∴∠M=∠B ，
∴∠DOE=2∠M ，
又∠M=∠D ，
∴∠D=30°，
在Rt △OED 中，∵DE=12，∠D=30°，
∴OE=4．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力．