第21卷 第3期曲 靖 师 范 学 院 学 报Vol.21 No.3
2002年5月JOURNALOFQUJINGTEACHERSCOLLEGEMay2002
高斯定理应用问题的探讨
施传柱
(曲靖师范学院初等教育系,云南曲靖 655000)
摘 要:高斯定理是静电学中的一个重要定理,应用高斯定理时,常把电荷或电场的对称性作为应用高斯定理求电场强度的条件,但实际并非如此,以高斯定理的数学表达式为基础可以阐明:对称性不是应用高斯定理求场强的条件.
关键词:高斯定理;静电场;电场强度
中图分类号:O441.1 文献标识码:A 文章编号:1009-8879(2002)03-0034-03
1 问题的提出
高斯定理是静电学中的一个重要定理.其内容为:通过一个任意闭合曲面S的电通Υe等于该面所包围的所有电荷电量的代数和q除以ε0,与闭合面外的电荷无关[1].用公式表示则有:
ΥE·dS=∑qi/εe= 0
S
(1)
(1)式中 表示沿任一闭合曲面S的积分,∑qi
s为闭合曲面S所包围的所有电荷的电量的代数和.
一般电磁学教材中认为,高斯定理的应用有两方面:一是在给定闭合曲面上,所有各点处E都已知时,可用高斯定理求该闭合面内的电荷;二是如果电荷的分布很对称,以致我们可以通过适当选择高斯面,那么就可用高斯定理求电场强度E[2].笔者认为,上述说法具有一定的片面性,不利于对高斯定理的掌握和理解.首先,上述第二点说法往往使人误解为电荷或电场的对称性是利用高斯定理求电场强度的条件,即电荷或电场分布具有对称性时就一定能用高期定理求场强,而不具有对称性时就一定不能用高斯定理求场强.甚至有些教材已明确说明:能够直接运用高斯定理求出场强的情形,都必须具有一定的对称性
[3]
2 对称性不是高斯定理求场强的条件
如前所述,一般教材中认为:在电荷或电场具有对称性的情况下,可用高斯定理求电场强度.这种说法是片面的、不恰当的,容易使人误解为对称性是应用高斯定理求场强的条件.但从下面两方面可以清楚看出,实际情况并非如此.2.1 某些对称性问题不能应用高斯定律
从高斯定理的数学表述式(1)可以看出,能否应用高斯定理求电场强度E的关键取决于(1)式左边的积分能否进行,这是一个数学问题.从数学的角度看,即使电荷或电场分布具有对称性,但若(1)式左边不能进行积分,则无法求出电场强度E.
例1 两点电荷,电量都是+q,相距为r,能否应用主斯定理求两点电荷联线延长线上任一点A的场强?
分析 在本例中,电荷及电场显然对两电荷中点O是对称分布的.若以O为球心,以OA为半径过A作一高斯球面(如图1所示),根据高斯定理有Υe= E·dS=2q/ε0,但是,在高期面SS上各点E的大小、方向不同,除了A、A′点E和dS方向相同外,其余各点E和dS方向不同,所以 E·dS≠ EdS,另外,除了A、A′点的场强E的SS大小相等外,球面上其余各点的E的值不等,因而 EdS≠E dS.因此,本例中虽然电荷和电场S分布具有对称性,但由于(1)式左边的积分不能进
.但
实际情况并非如此,并非所有对称情况都能应用高斯定理;也并非所有不对称情况均不能应用高斯定理.只不过由于对称性的存在可使能利用高斯定理的问题计算得以简化.
收稿日期:2002-03-16(1965,,,,.
第3期 施传柱:高斯定理应用问题的探讨·35·
行,因此,不能应用高斯定理求电场强度
.看(1)式左边的积分能否进行.过分强调对称性,往往导致忽视应用高斯定理求场强的数学条件,造成对高斯定理的误解.
3 对称性的存在可简化计算
图1
2.2 某些非对称情况可应用高斯定理
只要(1)式左边的积分能够进行,即使是非对称情况,同样可用高斯定理求电场强度.
例2 一任意形状带电导体处于静电平衡状态,若这个导体上任一点的面电荷密度为δ(一般δ是逐点变化的),求导体表面附近某点的场强.解 在这个问题中,一方面带电导体的形状是任意的,另一方面电荷的分布也不均匀,因此,带电体附近的场强分布不具有对称性,也即,本例是一个非对称性问题,但只要注意到带电导体处于静电平衡的特征,并选取恰当的高斯面,仍可用高斯定理求出场强
.
为何在一般教材中都特别强调对称性问题,且在应用高斯定理求解电场强度时往往首先要对电荷或电场的对称性作分析呢?其原因有二:一是一般教材中讲高斯定理的应用时,所涉及的例子基本都是可应用高斯定理求解并且有某种对称性;二是对称性的分析可使高斯定理中所涉及的积分简化,从而计算较为方便.归结起来,若能够应用高斯定理求场强,电荷或电场分布又具有对称性,则计算较为简便.
例3 设均匀带电球电荷体密度为P,半径为R,试求球体内外的场强分布.
解:对于均匀带电球体,电荷和电场分布均具有球对称性,即场强方向均沿球的半径向外辐射,而在与球面同心的任意球面上,各点场强大小均相等,即E的大小为一固定值.作一半径为r的同心高斯球面,根据前分析有:高斯面上E处处大小相等,方向与dS方向相同.于是根据高斯定理有:
图2
根据静电平衡条件:导体表面是等位面,而电
力线处处与等位面垂直,因此,导体表面附近的场强处处与等位面垂直[4].如果导体所带电荷为正,则E的方向由导体表面指向外,反之则反.根据上述分析,我们可在导体表面上取一足够小的面元■S,并作如图2所示的高斯圆柱面,且使圆柱侧面与■S垂直,下底在导体内.由于■S足够小,可认为其上的面电荷密度δ是均匀的.于是根据高斯定理有:
Υe= E·dS= EdScosθSS
= EdScosθ+ EdScosθ+ EdScosθ上底下底侧面= EdScosθ=EΔS上底=δΔS/ε
即E=δ/εn/εn为垂0,考虑方向后应为E=δ0.直导体表面的法线单位矢量.
由前面的讨论可知:对称性不是应用高斯定
图3 图4
当r
= EdS=E dS=4πr2E=q/ε.SS
而q33
πrρ,即4πr2Eπrρ/ε.33 E=ρr/3εE=ρr/3ε0 0.
当r>R(图4)时:
Υe= E·dS= EdScosθ= EdS=E dSSSSS
=4πr2E=q/ε.
而q323
πRρ,即4πrEπRρ/ε.33
23
E=ρR3/3εE=ρR3r/3ε0r 0r.
:
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E=ρr/3ε(r
3E=ρR3r/3ε0r
(2)(3)
(r>R)
4 结论
根据以上讨论,关于高斯定理的应用,我们可
以得出如下结论:(1)应用高斯定理求电场强度的关键是 E·dS能否进行积分,若积分能进行,则无论电荷或电场分布是否具有对称性,均能应用高斯定理求电场强度,即对称性不是应用高斯定理求场强的条件.(2)对于具有对称性,具能应用高斯定理求场强的问题,由于具有对称性,总可选择合适的高斯面而使计算较为简便.
参考文献:
[1][3]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].北京:高等教育出版
社,1985.55、61.
[2]D·哈里德,R瑞斯尼克(美).物理学.第二卷第一册[M].北京:科学出版社,1985.56.
[4]梁绍荣,刘昌年.电磁学[M].北京:高等教育出版社,
1988.111.
在本例中,由于具有球对称性,利用(1)式进行计算时,E与dS之间夹角处处为0°,从而使
Edscosθ= EdS,且E在所取高斯面上处处大小相等.故 Eds=E dS,使计算较为简单.其实,对于具有对称性的所有问题,在可利用高期定理进行计算时,选择闭合高斯面时总是按这样的原则来选取:一是高斯面上场强大小处处相等,且E与dS之间的夹角为恒定值如0°或180°.如高斯球面就是这种情况.二是闭合高斯面由几部分组在:其中有的面场强虽然各点大小不等,但与dS之间夹角为90°;可使 E·dS=0;有的面场强处处为零,可使 E·dS=0;而有的面则是场强大小处处相等,且与dS之间夹角为恒定值,这样可使 E·dS=Ecosθ dS.如我们经常选择的高斯圆柱面就是这种情况.根据上述原则选择高斯面的目的就是简化计算.
AProbeintotheApplyingofGaussTHeorem
SHIChuan-zhu
(PrimaryEducationDepartmentQujingTeacherscollege,Qujing655000,China)
Abstract:Gauss'Theoremisanimportantlawinelectrostatics.WbenapplyingGauss'lawpeopleoftenregardthesymetryofelectricchargeorelectricfieldastheconditionforgettingelectricfieldstrengthbyemployingGauss'Theorem.ButthefactisthatthemathematicalformulaofGauss'Theoremshows:symmetryisnottheconditionforgettingelectricfieldstrengthbyemployingGaussTheorem.
Keywords:Gauss'Theorem;Electrostaticsfield;Electricfieldstrength
[责任编辑:谭 昆]