自考04183概率论与数理统计(经管类) 笔记-自考概率论与数理统
§1.1 随机事件
1. 随机现象：
确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象：
随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等； 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2. 随机试验和样本空间 随机试验举例：
E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况。 E 2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E 3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E 4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E 5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E 6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作举例：掷骰子：
＝{1，2，3，4，5，6},
。所有样本点的集合称为样本空间，记作
。
＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
的单点子集{
}称为基本事件。
3. 随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C, „表示。只包含一个样本点
必然事件：一定发生的事件，记作
不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4. 随机事件的关系和运算
由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。 （1）事件的包含和相等
包含：设A ，B 为二事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含事件A ，或事A 包含于事件B ，记作
，或
。
性质：
。
例：掷骰子，A ：“出现3点”，B ：“出现奇数点”，则注：与集合包含的区别。 相等：若（2）和事件
且
，则称事件A 与事件B 相等，记作A ＝B 。
或A ＋B 。
概念：称事件“A 与B 至少有一个发生”为事件A 与事件B 的和事件，或称为事件A 与事件B 的并，记作解释：性质：①
包括三种情况①A 发生，但B 不发生，②A 不发生，但B 发生，③A 与B 都发生。
，
；②若
；则
。
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和
举例：A ：“掷骰子出现的点数小于3”与B ：“掷骰子点数大于4”则A ∪B{1，2，5，6} （3）积事件
概念：称“事件A 与事件B 同时发生”为事件A 与事件B 的积事件，或称为事件A 与B 的交，记作A ∩B 或AB 。 如需精美完整排版，请QQ: 1273114568
解释：A ∩B 只表示一种情况，即A 与B 同时发生。 性质：①
，
；② 若
，则AB ＝A 。
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。
举例：A ：“掷骰子出现的点数小于5”与B ：“掷骰子点数大于2”则AB ＝
{3, 4}
（4）差事件
概念：称“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件，记作A －
B.
性质：① A－
；② 若
，则A －B ＝
。
举例：A ：“掷骰子出现的点数小于5”与B ：“掷骰子点数大于2”则A －B ＝{1，2} （5）互不相容事件
概念：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB ＝
，则称事件A 与事件B 互不相容。
推广：n 个事件A 1，A 2，„，A n 两两互不相容，即A i A j ＝，i ≠j ，i ，j ＝1，2，„n 。 举例：A ：“掷骰子出现的点数小于3”与B ：“掷骰子点数大于5”则A 与B 互不相容。 （6）对立事件：
概念：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件，记做.
解释：事件A 与B 互为对立事件，满足：①AB ＝ф；②A ∪B ＝Ω
举例：A ：“掷骰子出现的点数小于3”与B ：“掷骰子点数大于2”则A 与B 相互对立 性质：①②
，
； ；
③A －B ＝＝A －AB ；如需精美完整排版，请QQ: 1273114568
注意：教材第5页的第三条性质有误。
④A 与B 相互对立A 与B 互不相容.
小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立； 运算：和，积，差，对立. （7）事件的运算性质
①（和、积）交换律 A ∪B ＝B ∪A ，A ∩B ＝B ∩A ；
②（和、积）结合律 （A ∪B ）∪C ＝A ∪（B ∪C ），（A ∩B ）∩C ＝A ∩（B ∩C ）；
③（和、积）分配律 A ∪（B ∩C ）＝（A ∪B ）∩（A ∪C ）；A ∩（B ∪C ）＝（A ∩B ）∪（A ∩C ） ④对偶律
；. 例1 习题1.1，5（1）（2）
设A ，B 为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：
证明：
证明：
例2. 习题1.1，6
请用语言描述下列事件的对立事件：
（1）A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 答案：
：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。
（2）B 表示“生产4个零件，至少有1个合格”。 答案：
：“生产4个零件，没有1个是合格的”。
§1.2 概率
1. 频率与概率
（1）频数与频率：在相同条件下进行n 次试验，事件A 发生n A 次，则称n A 为事件A 发生的频数；而比值n A /n称为事件A 发生的频率，记作f n （A ）.
（2）f n （A ）的试验特性：随n 的增大，f n （A ）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P （A ）. （3）由频率的性质推出概率的性质
①②
，
推出①
推出②P （ф）＝0，P （Ω）＝1
③A ，B 互不相容，推出③P （A ∪B ）=P（A ）＝P （B ），可推广到有限多个和无限可列多个. 如需精美完整排版，请QQ: 1273114568
2. 古典概型
概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型： ①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点； ②每个基本事件发生的可能性相同。 计算公式：
例3.P9 例1－8。
抛一枚均匀硬币3次，设事件A 为“恰有1次出现正面”，B 表示“3次均出现正面”，C 表示“至少一次出现正面”，试求P （A ），P （B ），P （C ）。
解法1 设出现正面用H 表示，出现反面用T 表示，则样本空间Ω={HHH，THH ，HTH ，HHT ，TTH ，THT ，HTT ，TTT}，样本点总数n=8，又因为
A={TTH，THT ，HTT}，B={HHH}，
C={HHH，THH ，HTH ，HHT ，TTH ，THT ，HTT}， 所以A ，B ，C 中样本点数分别为 r A =3，r B =1，r c =7，
则
3
解法2 抛一枚硬币3次，基本事件总数n=2，事件A 包含了3个基本事件：“第i 次是正面，其他两次都是反面”，i ＝1，2，3，而且r A =3。
显然B 就是一个基本事件，它包含的基本事件数r B =1 它包含的基本事件数r C =n-rB =23-1=7，
故
例4.P10 例 1－12。
一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况： （1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件； （2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。
试分别针对上述两种情况，求事件A “第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。
解：（1）
（2） 3. 概率的定义与性质
（1）定义：设Ω是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为 P （A ），称P （A ）为事件A 的概率，如果它满足下列条件： ①P （A ）≥0； ②P （Ω）＝1； ③设
，
，„，
，„是一列互不相容的事件，则有
.
（2）性质
①
，
；
；
；
②对于任意事件A ，B 有③
④.
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设P （A ）=0.7，P （B ）=0.6，P （A －B ）＝0.3，求解：（1）P （A －B ）＝P （A ）－P （AB ） ∴P （AB ）＝P （A ）－P （A －B ） ＝0.7－0.3＝
0.4
例6. 习题1.2 13
设A ，B ，C 为三个随机事件，且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝，P （AB ）＝P （BC ）＝（1）A ，B ，C 中至少有一个发生的概率； （2）A ，B ，C 全不发生的概率。 解：
（1）“A ，B ，C 至少有一个发生”表示为A ∪B ∪C ，则所求概率为
P （A ∪B ∪C ）＝P （A ）+P（B ）+P（C ）-P （AB ）－P （AC ）－P （BC ）+P（ABC ）
，P （AC ）＝0。求：
§1.3 条件概率
1. 条件概率与乘法公式
条件概率定义：设A ，B 为两个事件，在已知事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，称为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率，记做P （A|B）.
例7 P13例 1－17.
某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问： （1）该职工技术优秀的概率是多少？
（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？
解：设A 表示“选出的职工技术优秀”，B 表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：
（1）
（2）
计算公式：设AB 为两个事件，且P （B ）>0，则
乘法公式：当P （A ）>0时，有P （AB ）＝P （A ）P （B|A）； 当P （B ）>0时，有P （AB ）＝P （B ）P （A|B）. 推广：
①设P （AB ）>0，则P （ABC ）＝P （A ）P （B|A）P （C|AB） ②设
，则
。
例8 P15例 1－22.
盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。 解：设A i （i=1，2，3）表示“第i 次取到黑球”，于是所求概率为
2. 全概率公式与贝叶斯公式 （1）划分：设事件①②当
，
，„，
，
，„，
，
，„，互不相容，且，即
，
，„，
满足如下两个条件：
，i ＝1，2，„，n ；
至少有一个发生，则称
，
，„，
为样本空间Ω的一个划分。
为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。
（2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω，
，
，„，
为样本空间Ω的一个划分，B 为如需精美完整排版，请QQ: 1273114568
证明：
注意：当0
盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取球取到白球的概率。 解：设A 表示“第一次取球取到白球”，B 表示“第二次取球取到白球”，则
例10 P16 例1－25
在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，并且在各自的产品中废品率分别为5%，4%，3%，求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率。
解：设A 1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”，A 2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”，A 3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”，B 表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”，则 如需精美完整排版，请QQ: 1273114568
由全概率公式得
＝30%×5%+35%×4%+35%×3%=3.95%
，
，„，
为样本空间Ω的一个划分，B 为任意一个事件，且P （B ）>0，则
（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，
，i ＝1，2，„，n.
注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P （B ）； ②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义. 例题11 P17 例1－28
【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。 解：由贝叶斯公式，
例题12 P17 例1－29
【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？ 解：设A 表示“某人患这种病”，B 表示“化验呈阳性反应”，则 P （A ）=0.01，由全概率公式得
，P （B|A）=0.9，
=0.01×0.9+0.99×0.55=0.0585
再由贝叶斯公式得
§1.4 事件的独立性
1. 事件的独立性
（1）概念：若P （AB ）＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立，简称A ，B 独立。
解释：事件A ，B 相互独立的含义是：尽管A ，B 同时发生，事件A 发生的概率对事件B 发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。
（2）性质：① 设P （A ）>0，则A 与B 相互独立的充分必要条件是证明：
② 若A 与B 相互独立，则A 与证明： 只证
，B 相互独立
=P（B ）-P （AB ）
=P（B ）-P （A ）P （B ） =P（B ）[1-P（A ）
]
从而得证。 例题1.P19
【例1－30】两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率。 解
设A 表示“甲射中目标”，B 表示“乙射中目标”，C 表示“目标被击中”，则C=A∪B 。 P （C ）=P（A ∪B ）
如需精美完整排版，请QQ: 1273114568 由题意，A ，B 相互独立 ∴P （AB ）=P（A ）P （B ）
=1-0.1×0.2=0.98
注：A ，B 相互独立时，概率加法公式可以简化为。 例题2.P19
【例1－31】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。
解：设A 表示“第一次取球取到白球”，B 表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A 与B 是相互独立的。所求概率为 P （AB ）=P（A ）P （B ）=×= 点评：
有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。
不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。 注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。
（3）推广：① 3个事件相互独立：设A ，B ，C 为3个事件，若满足
P （AB ）＝P （A ）P （B ）， P（AC ）＝P （A ）P （C ）， P（BC ）＝P （B ）P （C ）， P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ）
则称A ，B ，C 相互独立，简称A ，B ，C 独立。
② 3个事件两两相互独立：设A ，B ，C 为3个事件，若满足
P（AB ）＝P （A ）P （B ）， P（AC ）＝P （A ）P （C ）， P（BC ）＝P （B ）P （C ）， 则称A ，B ，C 两两相互独立。
显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。
③ n个事件相互独立：设A 1，A 2，„，A n 为n 个事件，若对于任意整数k （1≤k ≤n ）和任意k 个整数1≤i 1
则称A 1，A 2，„，A n 相互独立，简称A 1，A 2，„，A n 独立。 例题3.P21
【例1－34】3门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1，0.2，0.3，求敌机恰中一弹的概率。 解：设A i 表示“第i 门炮击中敌机”，i=1，2，3，B 表示“敌机恰中一弹”。
其中，
互不相容，且A 1，A 2，A 3相互独立，则
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3 =0.398
，
与B ，
与
都相互独立。
。
则只需证
2.n 重贝努利试验
（1）概念：如果一次试验只有两个结果：事件A 发生或不发生，且P （A ）＝p （0
，k ＝0，1，2，„，n 。
事实上，A 在指定的k 次试验中发生，而在其余n-k 次试验中不发生的概率为 例题4.P22
【例1－36】一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设在任一时刻t ，每台机器出故障的概率为0.1，问在同一时刻 如需精美完整排版，请QQ: 1273114568
（2）至多有一台机器出故障的概率是多少？
解：在同一时刻观察5台机器，它们是否出故障是相互独立的，故可看做5重贝努利试验，p=0.1，q=0.9。设A 0表示“没有机器出故障”，A 1表示“有一台机器出故障”，B 表示“至多有一台机器出故障”，则B=A0∪A 1。于是有： （1）所求概率P （A 0）=P5（0）= =0.59049；
（2）所求概率P （B ）= P（A 0）+ P（A 1）==P5（0）+=P5（1）==0.91854。 例题5.P22
【例1－37】转炉炼钢，每一炉钢的合格率为0.7，现有若干台转炉同时冶炼。若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99%，问同时至少要有几台转炉炼钢？
解：设有n 个转炉同时炼钢，各炉是否炼出合格钢是独立的，可看做n 重贝努利试验，p=0.7，q=0.3， {}={全不合格} P{至少一炉合格}=1-P{全不合格} =1-Pn （0）
=1-qn =1-（0.3）n ≥0.99
如需精美完整排版，请QQ: 1273114568 nlg0.3≤-2 n ≥4
本章小结：
一、内容 二、试题选集
1. （401）设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误的是（ ） A.P （A ）＝1－P （） B.P （AB ）＝P （A ）P （B ） C.P （）＝1 D.P （A ∪B ）＝
1 答案：B
2. （402）设A ，B 为两个随机事件，且P （A ）>0，则A.P （AB ） B.P （A ） C.P （B ）
D.1
答案：D
（ ）
3. （701）从标号为1，2，„，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的概率是（ ） A.50/101 B.51/101 C.50/100 D.51/100 答案：A
4. （702）设事件A ，B 满足P （A A.0.12
）＝0.2，P （A ）＝0.6， 则P （AB ）＝（ ）
B.0.4 C.0.6 D.0.8 答案：
B
5. （704）设每次试验成功的概率为p （0
23
D.p ＋p ＋p 答案：
A
6. （411）设事件A ， B相互独立，且P （A ）=O.2， P（B ）=0.4，则P （A ∪B ）＝____________。 答案：0.52
解析：P （A ∪B ）=P（A ）+P（B ）-P （AB ） 如需精美完整排版，请QQ: 1273114568
7. （414）一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，由乙厂生产的占品的概率为___________。
如需精美完整排版，请QQ: 1273114568
解析：设A 1表示“甲厂生产”，A 2表示“乙厂生产” B ：“次品”
8. （427）设P （A ）＝0.4， P（B ）＝0.5， 且P （答案：0.05
）＝0.3， 求P （AB ）。
，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次
解析：
=0.05
9. （1014）20件产品中，有2件次品，不放回地从中连续取两次，每次取一件产品，则第二次取到正品的概率为__________。 答案：
解析：{第二次取正品}={一次且二正}∪{一正且二正} P{二正}=P{一次且二正}+P{一正且二正
}
=