人造卫星教案
（一）高考目标：II 类。能够运用万有引力定律解决人造卫星问题。 （二）教学目标：熟练掌握万有引力定律与卫星结合的各种问题.
（三）教学重点和难点：1、重点：人造卫星各种相关量的求解.2、难点：第一宇宙速度的理解. 预练题: 如图所示，图1a 的圆心在地球自转的轴线上，圆b 、c 、d 的圆心均在地球的地心上，对绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星而言 ( ) A ．卫星的轨道可能为a B ．同步卫星的轨道可能为b C ．卫星的轨道可能为c D ．卫星的轨道可能为d
小结:①人造卫星绕地球做圆周运动视做匀速圆周运动, 地球引力提供向心力提供向心力. ②人造卫星轨道平面必过地心.
例题1：已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转图1
的影响。
（1）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，求卫星的运行周期T 。 （2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，求卫星运行的最小周期T min =?
（3）推导第一宇宙速度v 1的表达式(卫星在中心天体表面附近绕天体中心运行的速度即为第一宇宙速度v 1) ?
小结:①天体的第一宇宙速度与哪些因素有关? ②其他未知天体的第一宇宙速度如何求?
例题2⑴已知地球的一颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T, 轨道半径为r 求地球
质量M=?
⑵已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，地面处有一质量为m 的物体, 万有引力常量为G, 求地球质量M=? 求地球的平均密度ρ=?
巩固题1:已知地球半径为R ，月球半径为r ，地球与月球中心之间的距离为s 。月球公转周期为T 1，地球自转周期为T 2，地球公转周期为T 3，万有引力常量为G ，由以上条件可知利用下列哪组数据，可以计算出地球质量 （ ） A. 已知地球的半径和地面的重力加速度
B. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径和周期 C. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径和线速度 D. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和周期
2
思维总结：①是根据地球表面的物体，利用黄金代换的关系得出的g=
GM R 2或M=gR
G
. ②是根据绕中心天体运转的卫星的周期和轨道半径求出中心天体的质量.
巩固题2:把火星和地球都视为质量均匀分布的球体。已知地球半径约为火星半径的2倍，地球
质量约炒火星质量的10倍。由这些数据可推算出
（ ）
A ．地球表面和火星表面的重力加速度之比为5：1 B ．地球表面和火星表面的重力加速度之比为10：1 C ．地球和火星的第一宇宙速度之比为5:1
D ．地球和火星的第一宇宙速度之比为：1
小结: ①求其他未知天体的表面处的重力加速度g ’ ②卫星在轨道上的受力特点 F GM
万=F合=F向=mg
r 2
=a=a向=g ．例题3 （2010全国卷2）已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A ．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时
巩固题3:（2010安徽卷）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G 。仅利用以上数据，可以计算出 A ．火星的密度和火星表面的重力加速度 B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C ．火星的半径和“萤火一号”的质量
D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
人造卫星作业
1．关于第一宇宙速度，下面说法中正确的是 ( ) A ．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B ．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度 C ．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度 D ．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度
2．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 [ ] A ．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆 B ．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 D ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 3利用下列哪组数据，可以计算出地球质量 （ ） A. 已知地球的半径和地面的重力加速度
B. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径和周期 C. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径和线速度 D. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和周期
4．某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运转，若计算该行星的密度，惟一需要测出的一个物理量是(G为已知) ( )
A ．行星的半径 B ．卫星轨道半径 C ．卫星运行的线速度 D ．卫星运行的周期
5．如下图所示，a ，b ，c 是地球的三颗人造卫星，a 和b 质量相同，且小于c 的质量，可以得出结论是 ( )
A ．a 所需向心力最小
B ．b 与c 周期相等，且大于a 的周期
C ．b 与c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度大小
D ．b 与c 的角速度相等，且大于a 的角速度
图4 6设想嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得其周期为T
。飞船在月球上着陆后，
自动机器人用测力计测得质量为m 的仪器重力为P 。已知引力常量为G ，由以上数据可以求出的量有
A．月球的半径 B.月球的质量
C ．月球表面的重力加速度 D. 月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
7．宇宙飞船绕地心做半径为r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m 的人站在称量体重的台秤上，用R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g ′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N 表示人对台秤的压力，下面说法中正确的是（ ）
A ．g ′=R 2 g /r 2 B ．g ′=o c.N ＝m g R2 /r 2
D.N ＝o 8．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，
地球表面附近的重力加速度为g ，地球的半径为R ．由此可判断出在此星球表面附近绕星球做匀速圆周B 动的卫星的
9．在某星球表面以初速度v 0竖直上抛一个物体，若物体中受该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h ，已知该星球的直径为d ，如果要在这个星上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为
A ．
2π
v dh
B ．
π
d 2πh 0
v 0
h
C ．
v 0
d
D ．
π
v dh
10．设宇航员在月球表面附近高为h 处以水平速度v 0抛出一物体，经时间t 落到月球表面，已
知月球半径为R ，引力常量为G ，忽略月球自转，下列判断正确的是 （ ）
A ．月球的质量为R 2v 0
B ．月球的质量为2R 2h
Gt
Gt
2
C ．月球的“第一宇宙速度”为
v 0R t
D ．月球的“第一宇宙速度”为
2Rh
t
11某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R ，地面的重力加速度为g ，则下列正确的是 ( )
A ．人造地球卫星的最小周期为 B ．人造地球卫星的最小环绕速率为
C ．人造地球卫星在距地面高尺处的绕行速度为
D ．人造地球卫星在离地面高R 处的加速度为g 4
12．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2, 设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则
4/3
4/3
22
A ．g 1=⎛ T 1⎫ B ． g 1⎛T ⎫
g ⎝T ⎪
22⎭
g = 2⎪
C ． g 1⎛T ⎫g ⎛T ⎫2⎝T 1⎭
g = 1⎝T ⎪ D ． 1g = 2⎪
22⎭2⎝T 1⎭
14．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R ，地面的重力加速度为g ，则下列正确的是 ( )
A ．人造地球卫星的最小周期为 B ．人造地球卫星的最小环绕速率为
C ．人造地球卫星在距地面高尺处的绕行速度为
D ．人造地球卫星在离地面高R 处的加速度为g
4
13．某星球半径为R ，在此星球表面以初速度v 0竖直上抛一物体，没有空气阻力的影响，经过时间t 落回抛出点．这个星球表面处的重力加速度g 为 , 要在这个星球上发射一个环绕其表面的轨道匀速圆周运动的卫星，卫星的速度为 .
14．若在相距很远的两颗行星A 和B 的表面各发射一颗卫星a 和b ，它们都在行星表面附近圆周运动．测得a 绕行星A 的周期为T a ，b 绕行星B 的周期为T b ．则这两颗行星的密度之比ρA ：ρB = 巩固题:关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是
A ．第一宇宙速度又叫环绕速度 B ．第一宇宙速度又叫脱离速度
C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关
15. 某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面飞行的航天器的周期为T ，试证明ρT 2为一个常数.
16. 用火箭把宇航员送到月球上，如果他已知月球的半径，那么他用一个弹簧测力计和一个已知质量的砝码，能否测出月球的质量？应该怎样测定？
（北京卷）16．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
4π131π13π1
Ａ．(3G ρ) 2 Ｂ．(4πG ρ) 2 Ｃ．(2
G ρ) Ｄ．(G ρ
) 2
（新课标卷）20. 太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道. 下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像. 图中坐标系的横轴是lg(T /T O ) ，纵轴是lg(R /R O ) ; 这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T O 和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径. 下列4幅图中正确的是
14．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R ，地面的重力加速度为g ，则下列正确的是 ( )
A ．人造地球卫星的最小周期为 B ．人造地球卫星的最小环绕速率为
C ．人造地球卫星在距地面高尺处的绕行速度为
D ．人造地球卫星在离地面高R 处的加速度为
g 4
（山东卷）18．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和运地点N 的高度分别为439km 和2384km ，则
A．卫星在M 点的势能大于N 点的势能
B．卫星在M 点的角速度大于N 点的角速度 C．卫星在M 点的加速度大于N 点的加速度 D．卫星在N 点的速度大于7．9km/s 答案：BC
13．某星球半径为R ，在此星球表面以初速度v 0竖直上抛一物体，没有空气阻力的影响，经过时间t 落回抛出点．这个星球表面处的重力加速度g 为 , 要在这个星球上发射一个环绕其表面的轨道匀速圆周运动的卫星，卫星的速度为 .
14．若在相距很远的两颗行星A 和B 的表面各发射一颗卫星a 和b ，它们都在行星表面附近圆周运动．测得a 绕行星A 的周期为T a ，b 绕行星B 的周期为T b ．则这两颗行星的密度之比ρA ：ρB =
15. 某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面飞行的航天器的周期为T ，试证明ρT 2为一个常数.
16. 用火箭把宇航员送到月球上，如果他已知月球的半径，那么他用一个弹簧测力计和一个已知质量的砝码，能否测出月球的质量？应该怎样测定？
（全国卷1）25．（18分）如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。
⑴ 求两星球做圆周运动的周期。
⑵ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上
述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【答案】⑴T =2πL 3
G (M +m )
⑵1.01
【解析】 ⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有
m ω2r =M ω2R ，r +R =L ，连立解得R =
m m +M L ，r =M
m +M L
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得
GMm L 2=m (2πT ) 2M
M +m L T =2πL 3
化简得G (M +m )
L 3
⑵将地月看成双星，由⑴得T 1=2πG (M +m )
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
GMm L 2
=
m (2π2
T ) L
T L 3
化简得2=2πGM
所以两种周期的平方比值为(T 22m +M 5. 98⨯1024+7. 35T ) ==⨯1022
24
=1. 01 1M 5. 98⨯10
（全国卷2）21. 已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密
度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A ．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时 【答案】B
【解析】地球的同步卫星的周期为T 1=24小时，轨道半径为r 1=7R1，密度ρ1。某行星的同步卫星周期为T 2，轨道半径为r 2=3.5R2，密度ρ2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有
Gm 4
3
1⨯ρ1πR 1 32π2r 2
=m 1() r 1 1
T 1Gm 42⨯ρ2
πR 32
2π2r 2
=m 2
() r 22T 2 两式化简得T T
12=2
=12小时
【命题意图与考点定位】牛顿第二定律和万有引力定律应用于天体运动。
（新课标卷）20. 太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道. 下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像. 图中坐标系的横轴是lg(T /T O ) ，纵轴是lg(R /R O ) ; 这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T O 和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径. 下列4幅图中正确的是
答案：B
解析：根据开普勒周期定律：周期平方与轨道半径三次方正比可知T 2
=kR 3
,
23T 2
=kR
3
00两式相除后取对数，得：
lg
T T
2=lg
R =3lg
R 0
R
3，整理得：2lg
T 0
T 0
R ，选项B 正确。0
（北京卷）16．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
111
Ａ．(4π13G ρ) 2 Ｂ．(34πG ρ) 2 Ｃ．(π3πG ρ) 2 Ｄ．(G ρ
) 2
答案：D
【解析】赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物
G 4
πR 3m
体随天体转动所需要的向心力，有⎛2π22=m ⎫⎪R ，
化简得T =R ⎝T ⎭
正确答案为D 。（海南卷）10．火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。根据以上数据，以下说法正确的是 A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B ．火星公转的周期比地球的长
C ．火星公转的线速度比地球的大 D ．火星公转的向心加速度比地球的大 答案：AB
（上海物理）15. 月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ，设月球表面的重力加速度大小为g 1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g 2，则 （A ）g 1=a （B ）g 2=a （C ）g 1+g 2=a （D ）g 2-g 1=a 解析：
根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，选B 。 本题考查万有引力定律和圆周运动。难度：中等。这个题出的好。
（上海物理）24. 如图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M m 1, M m 2）. 在C 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比r a :r b =1:4, 则它们的周期之比T a :T b =______;从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了____次。
【解析】根据G Mm 4π2r ，得T =4π2r 3
T 12=m 2GM
, 所以a r T T =，
b 8在b 运动一周的过程中，a 运动8周，所以a 、b 、c 共线了8次。 本题考查万有引力和圆周运动。难度：中等。
（江苏卷）6、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆
形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
（A ）在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度
（B ）在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C ）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
（D ）在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度
答案：ABC
解析：逐项判断
A ．根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，A 正确； B ．由I 轨道变到II 轨道要减速，所以B 正确；
C ．根据开普勒定律，R 3
T
2=c ，R 2
D ．根据a =
GM
R 2
, 应等于，D 错误； 本题选ABC 。本题考查万有引力和开普勒定律。难度：中等。
（山东卷）18．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和运地点N 的高度分别为439km 和2384km ，则
A．卫星在M 点的势能大于N 点的势能 B．卫星在M 点的角速度大于N 点的角速度 C．卫星在M 点的加速度大于N 点的加速度 D．卫星在N 点的速度大于7．9km/s 答案：BC 解析：
A ．根据E Mm
P =-G r
，因为r M ＜r N ，所以E PM ＜E PN ，A 错误； B ．根据ω=
v
r ，因为v M ＞v N ，且r M ＜r N ，所以ωM ＞ωN ，B 正确； C ．根据a =GM
r
2，因为r M ＜r N ，所以a M ＞a N ，C 正确；
D
．根据v =r M ＞R ，R 为地球半径，所以v M ＜7．9km/s，D 错误。
本题选BC 。
本题考查万有引力定律和圆周运动。 难度：中等。
（重庆卷）16. 月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为 A 1：6400 B 1：80 C 80：1 D 6400：1 【答案】C
【解析】月球和地球绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O 始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有m ω2
r =M ω2
R ，所以
v V =r R =M m
，线速度和质量成反比，正确答案C 。 （四川卷）17.a 是地球赤道上一幢建筑，b 是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.6⨯106
m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方（如图甲所示），经48h ，a 、b 、c 的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.4⨯106
m ，地球表面重力加速度g=10m/s 2
，
π
答案：B
【解析】b 、c 都是地球的卫星，共同遵循地球对它们的万有引力提供向心力，是可以比较的。a 、c 是在同一平面内有相同奇偶奥速度转动的，也是可以比较的，在某时刻c 在a 的正上方，则以后永远在正上方。对b 有
GMm ⎛2
R 2
=m 2π⎫⎪R ，GM=R2
b ，化简得
b ⎝T b ⎭
T =2=25
b =2⨯10s 在48小时内b 转动的圈数为n =
t 48⨯3600
T =
=8.64，所以B 正确。 b 20000
（安徽卷）17．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G 。仅利用以上数据，可以计算出
A ．火星的密度和火星表面的重力加速度 B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C ．火星的半径和“萤火一号”的质量
D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
答案：A
解析：由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有
22
G Mm ⎛2π(R +h 2=m ⎫⎪(R +h 1) ；G Mm
2
=m ⎛ 2π⎫⎪(R +h 2) ，可求得火星的质量1) ⎝T 1⎭(R +h 2) ⎝T 2⎭
4π2(R +h 3M =1) 4π2(R +h 2) 3
GT 2=
2
和火星的半径R =1GT 2
，根据密度公式得：
ρ=
M Mm V =M 3M
4=4πR 。在火星表面的物体有G =mg ，可得火星表面的重力加速度3πR 33
R 2g =GM
R
2，故选项A 正确。
（浙江卷）20. 宇宙飞船以周期为T 绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日
全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，地球处置周期为T 。太阳光可看作平行光，宇航员在A 点测出的张角为α，则
A. 飞船绕地球运动的线速度为
2πR
αT sin()
B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0 C. 飞船每次“日全食”过程的时间为aT 0/(2π) D. 飞船周期为
答案：AD
同步卫星周期为T 1，加速度为a 1，向心力为F 1；地球表面附近的卫星周期为T 2，加速度为a 2，向心力为F 2；地球赤道上物体随地球自转的周期限为T 3，向心加速度为a 3，向心力为F 3，则如下关系正确的是：
A ．a 2＜a 3 B．F 1＜F 2=F3 C．a 1＜a 2 D．T 1=T3＞T 2
同步卫星离地球球心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度大小为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则（ ） A ．a 1：a 2=r：R B ．a 1：a 2= R2 ：r 2 C ．v 1：v 2= R2 ：r 2 D ．v 1：v 2=R ：r