在面积教学中渗透转化的数学思想
----------《三角形的面积》教学案例
【教学内容】
人教版《义务教育课程标准实验教科书·小学数学》五年级上册第84—87页。
【设计理念】根据新课标的要求，数学教学不仅要让学习知识，更要学生关注学生的数学思考，本节课的教学主要是让学生在已有的知识经验的基础上，亲自经历新知识的形成过程，获得数学思想与方法，体验成功的喜悦，进而培养学生的数学思考能力。
【教材与学情分析】
《三角形的面积》是在学生掌握了三角形的特征，以及长方形、平行四边形面积计算的基础上进行教学的。教材的编排加强了学生的动手操作，一方面启发学生设法把研究的图形转化为已经会计算面积的图形，另一方面主动探索研究的图形与已学过的图形之间有什么联系，从而找出面积的计算方法。这样既使学生在理解的基础上掌握了三角形面积计算公式，培养了学生的思维能力和动手操作能力，同时又加强和落实了学生的转化思想，进一步感悟转化的数学思想，感受数学方法的内在魅力。
【教学目标】
1、通过操作、观察、比较、讨论、归纳等探索活动，深刻体验并掌握三角形面积计算的推导过程，并能正确计算三角形的面积，应用公式解决简单的实际问题。
2、进一步体会转化方法的价值，感知转化的数学思想和运用转化思想思考问题的方法。
3、让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】理解并掌握三角形面积的计算公式。
【教学难点】理解三角形面积计算公式的推导过程。
【教具、学具准备】
课件，完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形（等腰直角三角形）各两个.单个任意三角形两个（拼成长方形、正方形、平行四边形的都有）
【教学过程】
课前交流：问一问学生喜不喜欢看动画片？放“曹冲称象”的故事，曹冲用了转化的思想解决了问题，你能不能用转化的方法解决数学问题呢？
一、复习旧知、建立认识基础
1、（出示课件）请说出它们的面积及计算方法。（单位：厘米）
2、把这些图形沿对角线对折，让学生说出对折后是什么图形，面积是多少？（课件演示，如下图）
评析：渗透正方形、长方形、平行四边形与三角形的内在联系，为把三角形面积计算转化为平行四边形面积计算作铺垫，看似无心，实是匠心独具。
3、课件出示下列各图，让学生指出下列三角形各是什么样的三角形？说出它们的底和高各是多少厘米？（单位：厘米）
评析：观察两种图形的高特别是三角形的外高是学生易错的问题，针对这个问题引导学生看图讲条件，不仅为新课教学作了必要铺垫，也有利于培养学生的视图能力。
4、小结导入新课。
我们已经学会了正方形、长方形、平行四边形的面积计算，知道了三角形的特征以及它的底和高，那么怎样计算三角形的面积呢？今天我们就来研究、学习它。板书三角形面积的计算。
评析：提问抓住了关键，过渡自然，激发了学生探究的兴趣与求知欲，为下面教学三角形面积创设了最佳情境。
二、学习新知、动手操作、探索规律
1、数方格求三角形面积
（1）课件把复习第3题中的3个三角形上画上方格，如图。
（2）分组数，全班分成三组，每组数一个三角形。不满一格的都数半格。
（3）说出3个三角形的面积各是多少？
（4）师把数出的结果显示到3个图形下面。
2、质疑激思
这3个三角形的底和高都相等，它们的面积也应该相等，但同学们数的结果不一样，这就说明用数方格的方法不容易求得准确的结果。那么怎样才能准确地计算出它们的面积呢？能不能把三角形转化成已学过的图形，再计算它的面积呢？下面，我们就来研究这个问题。
评析：通过引导学生看一看、数一数、想一想，让学生用数方格求出三角形的面积后，再激发他们求公式的积极性，为下面的操作研讨创设良好的情境。
3、推导三角形面积公式
（1）用直角三角形推导。
①请大家拿出已经准备好的两个完全一样的直角三角形。用这两个直角三角形可以拼成哪些图形？
②让学生把拼出的长方形、平行四边形和三角形贴在黑板上。提问：拼出的这些图形中，哪些图形的面积我们会计算？
生答后，师指着图形接着问。
每个直角三角形的面积与拼成的长方形的面积有什么关系？
生答：每个直角三角形的面积是拼成的长方形的面积的一半。 每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 生答：每个直角三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
（2）用锐角三角形推导。
师问：两个完全一样的锐角三角形能不能拼成一个平行四边形呢？
①请大家看书第76上的说明图，书上把两个完全一样的锐角三角形拼成了一个什么图形？你会拼吗？
②师在黑板上演示a.先把两个完全一样的锐角三角形重叠起来；b.再以三角形右下角的顶点为中心，把上面一个三角形旋转180°，到两个三角形底边成一条直线为止；c.把右边的三角形向上沿着左边三角形的右边平移至拼成一个平行四边形为止。如图：
同学们，你们会这样拼吗？
评析：用实物直观，形象的演示以上图形，既省时又能准确的展示教学思路，适时渗透旋转、平移思想，开拓学生的思路，从中认清“变与不变”的道理，有利于培养学生的思维创造力，这样在形式上新颖、有趣，能吸引学生活跃课堂气氛，提高教学效果。
③请大家用学具中两个完全一样的锐角三角表拼成一个平行四边形。一个学生用教具拼，并把拼成的平行四边形贴到黑板上。
④师指着图问：每个锐角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
（3）用钝角三角形推导
你能像刚才一样把两个完全一样的钝角三角形用旋转、平移的方法拼成一个平行四边形吗？
请大家用学具中的两个完全一样的钝角三角形拼一拼。一个学生用教具拼，拼好后贴到黑板上。
师指着图问：这个钝角三角形的面积是拼成的平行四边形面积的多少？
4、观察比较，归纳规律
（1）讨论
①提问：通过以上的实验，两个完全一样的三角形都可以拼成一个什么图形？
②师指着图问：这个平行四边形的底与三角形的底有什么关系？这个平行四边形的高与三角形的高有什么关系？
这个三角形的面积与拼成的平行四边形面积有什么关系？
③平行四边形的面积＝底×高，那么三角形的面积怎样求呢？ 评析：让学生通过操作、观察、讨论、概括、推导出三角形面积公式，符合学生的认知规律，体现了老师由引到放的过程，有利于培养学生的操作能力，观察能力，思维能力和语言表达能力。
（2）指名汇报讨论结果，根据讨论过程板书
平行四边形的面积＝底×高
两个三角形的面积＝底×高
三角形的面积＝底×高÷2
评析：板书有条有理，再现了知识的形成过程。
（3）请同学们议一议：为什么三角形面积等于底乘以高再除以2呢？然后指名回答。
评析：进一步强化对三角形面积公式的理解。
（4）如果用“S”表示三角形的面积，用“a”表示三角形的底，用“h”表示三角形的高，你能用字母公式表示三角形的面积计算公式吗？
生答，师板书：S＝ah÷2
三、运用公式，求三角形的面积
1、出示书上的例题，读题后，两个学生板演，其他学生自己做。 订正时，让学生说出：怎样计算红领巾的面积？ 100×33表示什么？再除以2表示什么？
2、课件出示下图：课本86页的练习第1题。
师：你认识这些道路交通警示标志吗？知道它们的具体含义吗？ 交通标志对于维护交通安全有着重要的意义和作用。请大家算一算，这个标志牌的面积大约是多少？
评析：应用所学的知识解决生活中的实际问题，让学生体验数学与实际生活之间的联系，并教育学生要遵守交通规则，注意交通安全。
3、想一想，下面说法对不对？为什么 ？
（1）三角形面积是平行四边形面积的一半。（ ）
（2）一个三角形面积为20平方米，与它等底等高平行四边形面积是40平方米。（ ）
（3）一个三角形的底和高是4厘米，它的面积就是16平方厘米。（ ）
（4）等底等高的两个三角形，面积一定相等。 （ ）
（5）两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。（ ）
4．你能想办法算出下列三角形的面积吗？
5、回顾课前的三个三角形——你觉得下面三个三角形的面积相等吗？渗透变和不变的辩证思想。
评析：通过不同层次的练习，由浅入深，由易到难，使学生尝到学习的快乐，把课堂气氛推到高潮。
五、回顾总结，深化提高
1.这节课我们探究学习了什么？是怎样探究的呢？（渗透数学方法）
2．探究延伸
除了我们发现的方法外，历史上数学家们还想到了很多不同的方法，例如，我国古代数学家刘徽的以盈补虚法、还有折叠法„„（课件） 数学就是这样奇妙！只要你用心探究，你就会发现数学真的很有趣！
六、布置作业：P87—5、6、7
七、板书设计
因为：平行四边形的面积=底×高
三角形面积=拼成的平行四边形面积÷2
所以三角形面积=底×高÷2
S=ah÷2
=100×33÷2
=1650（cm²）
案例评析：
《数学课程标准》指出：“应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换„„”因此，这节课我重视学生动口、动手、动脑，探索三角形面积的计算方法，学生在探究过程中解决了问题，获得了知识，体验了成功。
这节课一系列活动的设计给了学生对新知探讨充足的的时间和空间，让学生通过实际操作和小组讨论尽情地获得知识积累。一位教育家说过：“儿童的智慧就在他的手指尖上。” 因此，课堂教学必须为学生提供更广阔的创新舞台和时空，有利于发展学生的思维，培养学生的创新精神和实践能力。如果把推导三角形面积公式这一环节照本宣科，学生也能理解，但只是按部就班，谈不上对学生创新精神和实践能力的培养，因此本节课在教学思路上重视对学生的学法指导，淡化教师教的痕迹，突出学生学的过程。让学生自己去发现和概括三
角形的面积公式，使学生在拼剪的过程中体验学习的乐趣。为了达到这一目的，利用多媒体课件，从不同的角度进一步验证得出结论，初步概括出三角形的面积公式，这样采用了剪剪拼拼、课件演示的方法，找到了三角形如何转换成长方形、平行四边形的方法，为图形之间的关系架设了桥梁，使知识融会贯通。
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