第六章 实数
考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类
(1)开方开不尽的数,如7, 2等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如π+8等;
3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001„等;
(4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现)
判断一个数是否是无理数,不能只看形式,要看运算结果,如
3、有理数与无理数的区别
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数; (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义
(1)如果一个正数x 的平方等于a ,即
,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
,那么x 叫做a
(2)如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。如果的平方根。
(3)如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。如果叫做a 的立方根。 2、运算名称
(1)求一个正数a 的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 (2)求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号
(1)正数a 的算术平方根,记作“a ”。 (2)a(a≥0) 的平方根的符号表达为
。
,那么x
(3)一个数a 的立方根,用4、运算公式
表示,其中a 是被开方数,3是根指数。
4、开方规律小结
(1)若a ≥0,则a
的平方根是a
中正的那个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。
实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。
(2)若a
。
(3)正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
考点三、实数的性质
有理数的一些概念,如倒数、相反数、绝对值等,在实数范围内仍然不变。 1、相反数
(1)实数a 的相反数是-a ;实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零)
(2)从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。 2、绝对值
(1)要正确的理解绝对值的几何意义,它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离,数轴分为正负两半,那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。 (2)若|a|=a,则a ≥0;若|a|=-a,则a ≤0,零的绝对值是它本身。
(3)
⎧a (a ≥0) ⎨
⎩-a (a
3、倒数
(1)如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。实数a 的倒数是1/a(a ≠0) (2)倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质
1、在实数范围内,正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式
(1)任何一个实数a 的绝对值是非负数,即|a|≥0; (2)任何一个实数a 的平方是非负数,即
≥0;
(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即 () 。
3、非负数具有以下性质 (1)非负数有最小值零;(2)非负数之和仍是非负数; (3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.
考点五、实数大小的比较
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的反而小; (2)实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大; (3)两个数比较大小常见的方法有:求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法。
(4)对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围,要想正确估算需记熟0~20之间整数的平方和0~10之间整数的立方.
考点六、实数的运算
(1)在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 (2)有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
(3)实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同,先乘方、开方、再乘除,最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里。
(4)在实数的运算中,当遇到无理数时,并且需要求结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算。
二、典例剖析,综合拓展 知识点1:算术平方根 1.
11111的算术平方根为( ) (A ) (B )- (C )± (D )([1**********]91
的算术平方根可表示为 ,即 = 169
1
有算术平方根吗?8的算术平方根是-2吗? 169
)
2
算术平方根的定义: 2.
算术平方根的表示方法: (用含a 的式子表示) 3. -
算术平方根具有 性,即⑴被开方数a 0,⑵4、已知5+跟踪练习: ① 式子
a 本身 0,必须同时成立
的小数部分为m ,5-的小数部分为n ,则m +n =
x +3有意义,x 的取值范围
x -5+5-x +3,求xy 的值 3-a +-4=0,求a+b的值
② 已知:y=
知识点2:平方根
1. 49 ,算术平方根是 ,它的平方根可表示为 ; 2、的平方根是
3、快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴1
9
⑵|-5| ⑶0.81 ⑷(-9) 16
2
平方根的定义: 平方根的表示方法 (用含a 的式子表示)
平方根的性质: 4、如果一个数的平方根是a +1和2a -7,求这个数
5. 用平方根定义解方程
⑴16(x+2)=81 ⑵4x -225=0
6、下列说法正确的是( )
A 、的平方根是±4 B、-6表示6的算术平方根的相反数
2
C 、 任何数都有平方根 D、-a 一定没有平方根 知识点3:立方根
1. -8的立方根是 ,表示为 立方根的表示方法: (用含a 的式子表示) 2. 说出下列各式表示的意义并求值: ⑴
2
2
-0. 512⑵--729⑶(-2) 3
⑷(
)=
3
3. 如果
x -2有意义,x 的取值范围为3
4. 用立方根的定义解方程
⑴x -27 =0 ⑵2(x+3)=512
拓展提高: 1、已知
(1)≈ ;(2)0. 3≈ ; ≈1. 732,≈5. 477,
3
(3)0.03的平方根约为 ;(4)若2、已知
x ≈54. 77,则x =
≈1. 442,≈3. 107,≈6. 694,求(1)0. 3≈;
(2)3000的立方根约为 ;(3)知识点4:重要公式 x ≈31. 07,则x =
公式一: ∵
22
= =
32
=
=
42
=
=
(-2) 2
∴
(-3) 2(-4) 2
a 2
有关练习: 1.
1
(-) 2= 2
7
(a -3) 2(a -3) 2
=
2. 如果如果
=a-3,则a 的取值范围是; =3-a,则a 的取值范围是3. 数a,b
公式二:
∵(
∴(
(a -b ) 2
+|c+a|
4)= ()= (25)=
2
2
2
a ) 2= (a≥0)
综合公式一和二,可知,当满足a 条件时,
a 2=(a ) 2
公式三: ∵
23
33
43
=
(-2) 3
∴
= (-3) 3
= (-4) 3
a 3
= ;
随堂练习:化简:当1<a <3时,
公式四: ∵ (
∴((1-a ) 2
+(a -3) 3
)= (27)= ()=
3
3
3
a ) 3综合公式三和四,可知,当满足a 条件时,公式五:
a 3=(a ) 3
-a =
知识点五:实数定义及分类
无理数的定义: 实数的定义: 实数与 上的点是一一对应的 1、判断下列说法是否正确:
(1)实数不是有理数就是无理数。 ( )(2)无限小数都是无理数。 ( ) (3)无理数都是无限小数。 ( )(4)根号的数都是无理数。 ( )
一、选择题(每题3分, 共36分) 1. 下列等式正确的是( )
2
(A )(-3) =-3 (B )=±12 (C )-8=-2 (D )-25=-5
2. 算术平方根等于3的是( )
(A )3 (B )3 (C )9 (D )
3. 下列说法:(1)任何数都有算术平方根;(2)一个数的算术平方根一定是正数;(3)a 2的算术平方根是a ;(4)(π-4)2的算术平方根是π-4;(5)算术平方根不可能是负数。其中不正确的有( ) (A )5个 (B )4个 (C )3个 (D )2个 4. 若一个数的平方根与它的立方根完全相同,则这个数是( )
(A )0 (B )1 (C )-1 (D )±1, 0 5.
,则实数x 是( )
(A)负实数 (B ) 所有正实数 (C )0或1 (D )不存在 6.
,则实数a 在数轴上的对应点,一定在( )
(A)原点左侧 (B )原点右侧 (C )原点或原点左侧 (D )原点或原点右侧 6. 在实数0.3,0 ,,(A)2
(B )3
π
,0.123456„中,无理数的个数是( ) 2
(C )4
(D )5
7. 下列各式中,无意义的是( ) (A). -3
2
(B ). (-3) 3
(C ). (-3) 2
(D ).
-3
8.4、226、15三个数的大小关系是( ) (A).4
(B )226
9. 化简(-2) 4的结果是( ) (A). -4 (B ).4
(C )±4 (D )无意义
二、填空题(每题3分, 共24分) 10. 如果x +3=2,那么(x +3)2=______
11. 若2a -2与|b +2|是互为相反数,则(a -b ) 2=______.
13. 一个正方形的面积扩大为原来的100倍,则其边长扩大为原来的 倍。16. 点A 在数轴上和原点相距个单位,点B 在数轴上和原点相距3个单位,且点B 在点A 左边,则AB 之间的距离为________
14. 一个三角形的三边分别是a ,b ,c
=.
15.a 是一个两位数的十位数字,b 是它的个位数字,则这个数可表示为 . 16. (±4)的算术平方根是______
______,—8的立方根是_______.
2
17. 已知│a+2│
0, . 三、解答题(共60分) 18. 计算:(共18分) (1)
6-2+2-1-3-6 (2)6(
1
-6) 6
(3)
(5)64x
19. (8分)①已知y =
3
3
+0-
+
3
-
2
()2y -3-64=0 (4)
-125=0 (6)(x -1)3=64
x -2+2-x +3,求y x 的平方根.
②已知a
, b
,
求a (b 2的值.
2
20. (8分)已知a 、b 满足2a +8+b -=0,解关于x 的方程(a +2)x +b =a -1。