拉普拉斯算子(2)

在数学以及物理中, 拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符(Laplace operator 或 Laplacian)是一个微分算子,通常写成 Δ 或 ;这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。

拉普拉斯算子有许多用途,此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。

在物理中,常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。

在静电学中,拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中,其代表薛定谔方程式中的动能项。

在数学中,经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数;拉普拉斯算子是霍奇理论的核心,并且是德拉姆上同调的结果。

定义

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子,定义为梯度()的散度()。因此如果 f 是二阶可微的实函数,则f的拉普拉斯算子定义为:

(1)

f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数:

(2)

作为一个二阶微分算子,拉普拉斯算子把 Ck 函数映射到 Ck-2 函数,对于k ≥ 2。表达式(1)(或(2))定义了一个算子Δ : Ck(Rn) → Ck-2(Rn),或更一般地,定义了一个算子Δ : Ck(Ω) → Ck-2(Ω),对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹:

坐标表示式

二维空间

其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标另外极坐标的表示法为:

三维空间

笛卡儿坐标系下的表示法

圆柱坐标系下的表示法

球坐标系下的表示法

N 维空间

在参数方程为(其中以及)的N 维球坐标系中,拉普拉斯算子为:

其中是N − 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。

恒等式

如果f和g是两个函数,则它们的乘积的拉普拉斯算子为:

f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ),是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量,而角函数的梯度与径向向量相切,因此:

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数:

因此:

推广

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间,这时它就有可能是椭圆型算子,双曲型算子,或超双曲型算子。

在闵可夫斯基空间中,拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子:

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号,而在欧几里德空间中则是正号。因子 c 是需要的,这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量;如果 x 方向用寸来衡量,y 方向用厘米来衡量,也需要一个类似的因子。

拉普拉斯-贝尔特拉米算子

主条目:拉普拉斯–贝尔特拉米算子

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子(也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子)。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法,是通过拉普拉斯–德拉姆算子,它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

参考文献

Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M(1970年).“Chapter 12: Electrostatic Analogs”,The Feynman Lectures on Physics.Addison-Wesley-Longman.  Gilbarg, D and Trudinger, N(2001年).Elliptic partial differential equations of second order.Springer.ISBN 978-3540411604.  Schey, H. M.(1996年).Div, grad, curl, and all that.W W Norton & Company.ISBN 978-0393969979.

[编辑] 外部链接

MathWorld: Laplacian Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates by Swapnil Sunil Jain


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