一阶微分方程的初等解法

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一阶微分方程的初等解法

呼和浩特职业学院计算机信息学院

沈宇春

梁俊兰

[摘要]这里总结了一阶微分方程的一些初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题。[关键词]变量分离常数变易法恰当方程一阶隐方程一、变量分离方程(一)可分离变量方程类型

定义1形如dy =f(x)g(y)的一阶微分方程,成为可分离变量的微分

dx

方程。

解法:(1)分离变量,将方程的两端化为分别含有一个变量的函数及其微分的形式,

1dy=f(x)dx(2)两边同时积分,

1dy=f(x)dxg(y)(3)求出积分,得通解G(y)=F(x)+C,其中G(y)和F(x)分别是1和f(x)

的一个原函数。

(二)可化为分离变量方程二中情形的求解1、情形一形如dy =g(y ) (1.1)

g(u)是u 的连续函数。对该类型微分方程的的方程,称为齐次方程,

解法是:

(1)令u=y (1.2)

(2)由(1.2)得y=ux,两边同时求导可得dy =xdu +u(1.3)

)将(1.2)(1.3)式代入到(1.1)中,得(3

x du +u=g(u)dx

整理可得1du=1dx (1.4)

此时就可以按照可分离变量方程类型求解了。2、情形二形如dy =a 1x+b1y+c1(2.1)

222

该方程的求解需根据常数a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2的取值分三种情况进行讨论:

(1)当c 1=c2=0时

a 1+b1y

dy x+by =g(y ) a )式可变形为=11=(2.1

22a +b22

dy =xdu +u=g(u),令u=y 得,y=ux于是可得

1du=1dx 此时又可按照情形一的解法求解了。

a 1b 1

(2)当=0,即a 1=b 1时

a 2b 222

设a 1=b 1=k,方程(2.1)可化成dy =k(a2x+b2y)+c1=f(a2x+b2y)

22222

令a 2x+b2y=u,则du =a2+b2dy =a2+b2f(u)

1于是此时又可采用情形一求解了。du=dx,22a 1b 1

(3)当≠0,及c 1,c 2不全为零时

a 2b 2

a 1x+b1y+c1=0

解方程组(2.1.1)

a 2x+b2y+c2=0

得两直线的交点x=b 2c 1-b 1c 2=α,y=a 1c 2-a 2c 1=β

21122112

(这里α≠0或β≠0,这是由c 1,c 2不全为零决定的。)

X=x-α

(2.1.2)令

Y=y-β

a X+bY=0≠a X+bY=0

12

12

则(2.1.2)带入(2.1.1)可化为

从而方程(2.1)就可转化成了齐次方程dY =a X+bY =g(Y ) ,就可

X dX a 2X+b2Y

以利用齐次方程的求解方法来解决该种情形。

二、线性方程与常数变易法定义2形如dy +P(x)y=Q(x)(2.2)的方程称为一阶线性微分方程,其中P(x)和Q(x)是已知连续函数。

1、一阶齐次线性微分方程

称为一阶齐次线性微分方程。当dy +P(x)y=Q(x)中Q(x)=0时,

该类型方程的求解显而易见,采用变量分离即可完成,通解为

y=Ce2、一阶非齐次线性微分方程当dy +P(x)y=Q(x)中Q(x)≠0时,称为一阶非齐次线性微分方程。下面给出一阶非齐次线性微分方程的解法:设一阶非齐次线性方程的解为y=C(x)e

两边同时求导

P(x)dx-乙P(x)dx

dy =dC(x)e -乙-C(x)P(x)e)和(2.2.2)代入到(2.2)中得将(2.2.1

P(x)dx-乙P(x)dx-乙P(x)dx

dC(x)e -乙-C(x)P(x)e+P(x)C(x)e=Q(x)--

乙P(x)dx

乙P(x)dx

(2.2.1)

(2.2.2)

也就是dC(x)e

即dC(x)=Q(x)e

-

乙P(x)dx乙P(x)dx

=Q(x)dx

-

-

两边同时积分

乙dC(x)=乙Q(x)e

-

乙P(x)dx

dx

(2.2.3)

得C(x)=Q(x)e

-

乙P(x)dx

dx+C

将(2.2.3)代入(2.2.1)就可得到一阶非齐次线性方程的通解y=e

乙P(x)dx

(C+Q(x)e

-

乙P(x)dx

dx)

这种求解一阶非齐次线性微分方程的方法称为常数变异法。

定理(一阶非齐次线性微分方程解的结构)

一阶非齐次线性微分方程dy +P(x)y=Q(x)(Q(x)≠0) 的通解等于对应

齐次微分方程的通解与一阶非齐次线性微分方程的一个特解之和。

三、恰当方程

定义具有对称形式的一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,若M(x,y),N(x,y)在某矩形区域内是x,y 的连续函数,且具有连续的一阶偏导,如果式子的左端恰好是某二元函数u(x,y)的全微分,即

M (x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)

=鄣u dx+鄣u dy (3.1)称M (x,y)dx+N(x,y)dy=0为恰当方程。通解为u(x,y)=C。恰当方程的求解例:求(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0的通解。解M =3x2+6xy2,N=6x2y+4y3鄣M =12xy,鄣N =12xy此方程时恰当方程。

设u(x,y)满足如下两个方程

—543—

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形式一F(x,y')=0

此类方程的解法如下:令p=y'=dy ,于是(4.3)变形为F(x,p)=0

dx

设x=φ(t),p=ψ(t),将(4.3.1)转化成适当的参数方程因(4.3)恒满足dy=pdx,于是dy=ψ(t)φ' (t)dt 两边同时积分,得y=ψ(t)φ' (t)dt+C

于是,方程(4.3)的参数形式通解为x=φ(t)

(4.3)(4.3.1)

鄣u =3x2+6xy2

(3.1.1)

鄣u =6x2y+4y3

(3.1.2)

(3.1.3)对x 积分,得u=x3+3x2y 2+φ(y)(3.1.3)(3.1.3)对y 求导,并带入到(3.1.2)中,得鄣u =6x2y+d φ(y)=6x2y+4y3d φ(y)于是两边同时积分可得φ(y)=y4,将其带入(3.1.3)得=4y3,u=x3+3x2y 2+y4

所以方程的通解为x 3+3x2y 2+y4=C四、一阶隐方程1、可以解出y(或x) 的方程形式一y=f(x,dy ) (4.1)

2

例:求方程y=(dy ) 2-x dy +x 的解。

2

解令dy =p,得y=p2-xp+x (4.1.1)

得dy =2pdp -x dp -p+x即(dp -1)(2p-x)=0两边对x 求导,dp 令-1=0可解得p=x+C带入(4.1.1)得方程的通解2

y=x +Cx+C2

令2p-x=0可解得p=x 带入(4.1.1)得方程的一个解

2

2y=x 形式二y=f(y,dy ) (4.2)

例:求方程(dy ) 3+2xdy -y=0的通解。

3

dy y-p 解令=p,得x=(4.2.1)对y 求导,得

p(1-3p 2dp )-(y-p 3) dp 1=即pdy+ydp+2p2dp=0

4

积分可得2yp+p4=C即y=C-p ,带入(4.2.1)求得

C-p 4-p 3

4

x==C-3p 鄣鄣x=C -3p 2鄣鄣故方程的通解是鄣(p≠0) 3鄣

鄣y=c -p 鄣

2、不显含y(或x) 的方程(上接第542页)逐级排查进行故障定位。3.1独立电源、去除保护,排查负载引起的故障开关电源和线性稳压电源不同,空载情况易击穿开关管,因此,开关电源损坏进行独立维修时, 将负载和保护电路全部断开的同时,须在主负载供电组电源上带一只假负载。假负载的选取根据电源功率及实验条件,可用白炽灯或电烙铁芯,曾有人撰文说白炽灯作假负载时由于冷态电阻很小,开关管启动电流大,易造成开关管损坏一说缺少实验和理论的支持,实验和理论证明开关电源稳压范围宽,不会出现开关管损坏的现象,且白炽灯的亮暗有指示器功能,值得推广。假负载接入后电源若能正常工作,适当改变负载大小或输入电压,电源能有稳定的输出,则可判定电源完好,故障在于负载;反之,故障在电源再做第二步排查。

3.2独立振荡电路,排查稳压电路模块引起的故障目前开关电源为解决“热底”问题,大量采用并联型光耦控制稳压式开关电源,当怀疑稳压电路出现问题使开关电源停止工作时,可将光耦件热地端的两控制脚断开,并在原引脚处接一10K 的可变电阻器,这样独立了振荡电路,排除稳压电路对开关电路的影响,但应采用低压供电的安全方式,即将供电电源经一自耦式变压器降至70V 左右进行维修,这种维修方法可完全避免因电路存在隐患而再度损坏元件的现象,当开关电源能正常起动且有电压输出时,则可排除振荡电路出现故

(乙

y=ψ(t)φ' (t)dt+C

C 为任意常数。

形式二F(y,y')=0(4.4)该类型方程的解法如下:令p=y',于是(4.4)变形为F(y,p')=0(4.4.1)设y=φ(t),p=ψ(t),将(4.4.1)转化成适当的参数方程因dy=pdx,可得φ'(t)dt=ψ(t)dx,即dx=φ' (y)dt

ψ(t)

于是x=φ' (y)dt+C

ψ(t)

所以,方程(4.4)的参数形式通解为x=φ' (y)dt+C

(C 为任意常数)y=φ(t )

则y=k也是方程的解。同时可以验证,若F(y,0)=0有实根y=k,

22

例:求解方程y (1-y')=(2-y') 。解设2-y'=yt,带入原方程消去y' ,得y 2(yt-1)=y2t 2由此可得y=1+t,并且可得y'=1-t 2

因此dx=dy =-1dt (原微分方程的参数形式)

积分得x=1+C

(鄣x=1+C鄣鄣于是方程参数形式的通解为鄣

鄣鄣y=1+t 鄣

t 鄣

消去t 得y=x+1-C (C 为任意常数)

原方程变为y 2=4,于是y 2=±2也是方程的解。且当y'=0时,

(参考文献

[1]王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松《. 常微分方程》(第二版). 高等教育出版社,1983,9

[2]邹豪思,冯尚《. 高等数学下册》(第二版). 内蒙古大学出版社,2008,7障的可能,故障点在稳压电路中,问题多半是比较IC 和光耦件损坏所致(比较IC 损坏多数会引起光耦件同时损坏), 如果没有电压输出则表明振荡电路部分有问题。

3.3逐步恢复保护电路,排查保护电路模块引起的故障

过压保护、欠压保护、过热保护安全保护开关电源引入过流保护、

了开关电源本身,同时也避免因开关电源故障而损坏其它工作电路。过流保护电路其过流取样点, 大部分都是在主振功率管的发射极电位上。过压保护电路的取样点一般取自220V 交流经整流滤波后的电压或主负载供电电压, 通过一个齐纳二极管(稳压管) 来进行取样判别。短路保护电路的取样点一般在稳压电源输出的低压组电源上,通过一个二极管来进行判别取样,在IC 式开关电源中, 有部分机所采用的电源IC 内

“闩锁电路”, 这个“闩锁电路”实际上是一个保护执行电路, 各取部设有

样点送来的信号, 通过它执行对电路的停振控制, 其保护方式均是使电路停振。通过对振荡电路、稳压电路的排查并保证其正常工作后可逐一加入各种保护,直到保护起动,由此可判定电源由何种保护电路引入的故障。

参考文献[1]李雄杰. 彩色电视机开关电源原理与维修集萃[M ]. 北京:电子工业出版社,2000.

544


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