班级：
姓
名：
学
号：
试题共
５ 页
加白纸 3
张
、
GDOU-B-11-302
广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期
《 高 等 数 学 》课程试题
□A 卷
□√ 闭卷
课程号： 19221101x1
□√ 考试
√ □ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×6=18分）
1. 函数 f (x ) =xe -x
的拐点是(2,2e -2)
2. 设2
f '(ln x ) =x (x >1) ，则 f (x ) =e 2t /2+c .
设ln x =t , 则x =e t
,
f '(t ) =e
2t
f (t ) =e 2t
2
+c
3. 曲线⎧⎨x =1+t 2
在t =2处的切线方程为 y-8=3(x-5) . ⎩y =t
3
dy dx =3t 2
2t
=3t /2k =3
4. 设Φ(x ) =⎰x
0sin tdt ，则Φ' (π
4
) 15. 设x
f (x ) =(1+x ) ，则 f '(1) 等于 1
11
1
x [(1+x ) x
]'=[e
x
ln(1+x ) ]'=e
x
ln(1+x ) 1+x -ln(1+x ) 1
x -ln(1+x ) x 2=(1+x ) x
1+x x
2 二 .计算题（7×6=42分） 1. 求lim
sin 2x -2sin x
x →0
x 3
.
lim
sin 2x -2sin x 2sin x cos x -2sin x 2sin x (cosx -1)
=lim =lim
x →0x →0x →0x 3x
3x 3
x 2
2x (-) 等价
=-1=lim 3x →0x
1
.
sin 3x cos x
2. 求不定积分⎰
3. 已知
f (x ) =(
sin x
是f (x ) 的原函数，求⎰xf ' (x ) dx . x
sin x xco s x -sin x
) '=x x 2
xco s x -sin x sin x 'xf (x ) dx =xdf (x ) =xf (x ) -f (x ) dx =-+c ⎰⎰⎰x x
4. 设方程e x +y -3x +2y 2-5=0确定函数y =y (x ) ，求
方程两边对x 求导:e x +y (1+y ') -3+4yy '=0
3-e x +y
y '=x +y
e +4y
dy
. dx
5. 求f (x ) =e x cos x 的三阶麦克劳林公式.
1214
cos x =1-x +x - 2! 4!
x
e =1+x +
(-1) n 2n +x +o (x 2n ) (2n )!
12
x +2!
+
1n
x +o (x n ) n !
x 2x 3x 2x 3
(1+x +++...)(1-+...) =1+x -+o (x 3)
2326
6. 求由曲线y =In x , y 轴与直线y =Ina 及y =Inb 所围成图形的面积
b >a >0.
解：选为y 积分变量，如图，所求面积为承
b
A =⎰e y d y =[e y ]ln ln a =b -a
ln a ln b
三. 应用及证明题（10×4=40分） 1. 证明：当x >0时， 1+x >+x . 证明
:
设f (x ) =1+
11x f '(x ) =-=22=>0f (x ) 为增函数 得证. 12
故x >0时,f(x)>f(0)=0,
2. 若函数f (x ) 在(a , b ) 内具有二阶导函数，且f (x 1) =f (x 2) =f (x 3)
在(x 1, x 3) 内至少有一点ξ，使得f ' ' (ξ) =0. (a
证明：因为f (x ) 在(a , b ) 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得∃ξ1∈(x 1, x 2) ，∃ξ2∈(x 2, x 3) ，使得f '(ξ1) =f '(ξ2) =0，又
f '(x ) 在[ξ1, ξ2]且满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理，得：
∃ξ∈(ξ1, ξ2) ⊂(x 1, x 3) ，使得f ''(ξ) =0。
3. 当x 为何值时，函数I (x ) =⎰0te -t dt 有极值.
解: I '(x ) =xe 故当x =0时,
-x 2
令
x
2
=0
2
x =0
I ''(0)=1>0
I ''(x ) =e -x -2x 2e -x
2
y 最小值=0
班级：
姓
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学
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试题共 6
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4. 试确定a 的值，使函数f (x ) =⎧⎨e x , x
x ≥0
在(-∞, +∞) 内连续．
⎩a +x , lim x →0-
e x =1
x lim(→0+
a +x ) =a f (0)=a
故a =1
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广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期
《 高 等 数 学 》课程试题
课程号： 19221101x1
□√ 考试
□ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□√ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×6=18分）
6. 函数 f (x ) =xe -x
的拐点是 .
7.
⎰
(1-sin 3x ) dx = .
8. 设) =x 2
f '(ln x (x >1) ，则 f (x ) = 9. 函数y =x +e x 上点(0, 1) 处的切线方程是10. 设Φ(x ) =⎰x
0sin tdt ，则Φ' (π
4
) = .
11. 设f (x ) =x , 则 f '(1) 等于 . 二 .计算题（7×6=42分） 7. x 2cos 1lim
x →0
sin x
.
8. 求定积分⎰11x
2
+x
2
.
9. 已知f (x ) =e x
x
，求⎰xf ' ' (x ) dx .
10. 设参数方程⎧⎨x =ln(1+t 2) =arctan t
确定函数y =y (x ) ，求⎩y
dy
dx .
11. 求f (x ) =Inx 按(x -2) 的幂展开的四阶泰勒公式.
12. 计算曲线y =
三. 应用及证明题（10×4=40分） 5. 证明：当x >4时， 2x >x 2.
1
x (3-x ) 上相应于1≤x ≤3的一段弧的弧长. 3
6. 设f (x ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内可导，且f (1) =0, 求证：存在ξ∈(0, 1) ，使得f ' (ξ) =-
7. 求函数F (x ) =⎰0t (t -4) dt 在[-1, 5]上的最大值与最小值．
x
f (ξ)
ξ
.
班
级：
姓
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学号：
试题共 6
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8. 试确定⎧a 的值，使函数f (x ) =⎪
x 2+a , x ≤0⎨在(-∞, +∞) 内连续． ⎪⎩
x sin 1
x , x >0
GDOU-B-11-302广东海洋大学 2011—2012学年第 一 学期
《 高 等 数 学 》课程试题
课程号： 19221101x1
□√ 考试
□√ A 卷
□√ 闭卷
□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 求下列极限（5×4=20分）
3x +2
12. lim ⎛2x +3⎫
x →∞ ⎝2x -3⎪⎭
2x -36
原式=lim
⎛62(3x +2)
→∞
⎝
1+6⎫
x -3
x 2x -3⎪⎭
=e 9
2.lim
x -arcsin x
x →0
sin x
3
x -arcsin x lim =原式
=x →0x →0x 3
分子有理化
=x →0
=x →2
=-
16
1
⎛x ⎫sin x
3.lim 1-⎪
x →02⎭⎝
2
原式=lim ⎛1+(-x ) ⎫
x →0
-2x 21
-2x sin 2x
2
⎝⎪2⎭
=e
-12
4.lim
⎰
x 0
x 2
t dt
32
x →0+
⎰t (t -sin t )dt
x 32x 洛6x 2洛12x
原式=lim =lim =lim =12
x →0+x (x -sin x ) x →0+1-cos x x →0+sin x
二 .求函数f (x )=
f (x )=
x -1
的间断点并判别其类型。（6分）
x 2-3x +2
x -1
x =1和x =2为间断点
(x -1)(x -2) x -1x -1
lim =-1≠f (1)lim =∞ x →1(x -1)(x -2) x →2(x -1)(x -2) 所以x =1为可去间断点,x=2为无穷间断点.
三．求下列导数或微分（6×4=24分） 1.设y =lncos e 2x ，求
dy
。 dx
dy 12x 2x
=(-sin e ) e 2=...... 2x dx cos e
13.
设函数y =dy
.
y '=
(-2x ) =
y x
dy
。 dx
所以dy =y 'dx =......
3. 求由方程=arctan 所确定的隐函数y =y (x )的导数
⎧y =ln(1+t 2) d 2y
4. 设⎨，求2。
dx x =arctan t ⎩
2t
dy dy /dt 2
解:===2t
1dx dx /dt
1+t 2
d y
=2
dx
2
d (
dy ) /dt =dx /dt
2
=2(1+t 2) 11+t 2
四. 计算下列积分（5×4=20分）
x 2
。9. ⎰1-2x 3
1(x 3) '
1111133
解:原式=⎰3=⎰=-(-2x +1) =-ln -2x 3+c 33⎰1-2x 31-2x 61-2x 6
2.⎰x 2arctan xdx 。
111
原式=⎰arctan xd (x 3) =x 3arctan x -⎰x 3d arctan x
333
13x 3131x =x arctan x -⎰dx =x arctan x -x -dx 33(1+x 2) 33⎰1+x 211x 112=x 3arctan x -[-⎰d (x +1)]233221+x
131x 21
=x arctan x -[-ln(1+x 2)]+c 3322
2
3. ⎰0x .
1
解:设x =sin t 原式=⎰
π/2
dx =cos tdt x =0时t =0x =1时t =
π
2
1π/221π/2
sin 2tdt =1-cos 4tdt ⎰⎰00048π/2π1π/21
=⎰1-cos 4td 4t =(4t -sin 4t ) =
00323216
sin 2t cos t cos tdt =
4. ⎰0
+∞
x
(1+x )
22
.
1+∞1+∞1-1+∞12-222-22
原式=⎰(1+x )dx =⎰(1+x )d (1+x ) ==
202021+x 202
五．证明方程ln x =-1在区间(e -1, e 3)内至少有一个实根。（6分）
x
+1, e
从而在(e-1, e 3) 内连续. 证:设f (x ) =
ln x -f(e-1) =-1-e -2+
1
f (x ) 在(0,+∞) 上连续,
x e
f (e 2) =3-e +1>0
由零点定理, ∃ξ∈(e -1, e 2)
⊂(e
-1, e 3), 使f (ξ) =0
六．求曲线y =(2x -5（8分）
y =(2x -5=2x 5/3-5x 2/3
102/310-1/320-1/310-4/31x -x y ''=x +x =+) =
3399x 得分点x =-1/2x =0y '=
所以，……
七．用拉格朗日中值定理证明不等式：
nb n -1(a -b )a n -b n
na n -1(a -b )，其中0b
a , n 1。（8分）
证明:
设f (x ) =x n , 则f (x ) 在[b,a]上连续, 在(b,a)内可导
a ξ-b ξ
由拉格朗日中值定理得:∃ξ∈(b,a),使f '(ξ) =
a -b
a ξ-b ξa ξ-b ξn -1n -1
即n ξ=, 而b a -b a -b
所以nb n -1(a -b )
八．求由y =x 3, x =2, y =0所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。（8分）
解：如图，绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为
11282
V x =⎰πy d x =⎰πx 6d x =[πx 7]0=π
0077
绕y 轴旋转所得的旋转体的体积为.
2
2
2
V y =2⋅π⋅8-⎰πx d y =32π-π⎰y d y
2
8
2
2
23
364
=32π-[πx 3]8=π 0
55
5
广东海洋大学 2009 — 2010 学年第 二 学期
《 高 等 数 学 》课程试题答案
课程号： 19221101x2
√ □考试
□ 考查
√ □A 卷
□ B 卷
√ □闭卷
□ 开卷
一、 填空（3×8=24分）
∧
1. 设a ={3, -1, -2}，b ={1, 2, -1}，则cos(a , b ) =
3221
2. 同时垂直于向量a ={2, 2, 1}，b ={4, 5, 3}的单位向量为±1{1, -2, 2}
3
3. 曲线y =2mx ，z =m -x （m 为常数）在点(x 0, y 0, z 0) 处的切线方程为
x -x 0y -y 0z -z 0
==12m -1
4.
e xy -1lim =0(x , y ) →(0, 1) 2x +y
5. 函数u =xy 2z 在点(1, -1, 2) 处的梯度为{2, -4, 1} 6. L 为圆周x 2+y 2=a 2（a >0），则L e x ^2+y ^2ds =e a ^22πa
x n 7. 幂级数(-1)
n n =1
∑
∞
n
的收敛半径为1
8. 微分方程y ''=e x 的通解为y =e x +C 1x +C 2 二、 计算下列函数的导数或微分（2×6=12分） 1. 设z =arctan u , u =x +y , v =x -y ，求dz 。
v
解：
∂z
=∂x
11+u 2v
2
1+v
11+u v 2=
-u
u 2v 2
=
v -u u 2+v 2
=
-y x 2+y 2
（3分）
∂z =∂y
11+u
2
1+v
11+u
2
v +u u +v
2
2
v
2
=
x x +y
2
2
（2分）
v 2v 2
dz =
-y x +y
2
2
dx +
x x +y
2
2
dy （1分）
2. 设x =ln z ，求∂z 和∂z 。
z
y
∂x ∂y
解：
F (x . y . z ) =
x z
-ln =0（1z y
分） 则 F x =1，F y
z
=
y z
z y 2
=1，F z
y
=-
x z
2
-
1z
（3
F
分）∂z =-x =z
∂x F z x -z
F y ∂z z 2
=-=
∂y F z y (x +z )
（2分）
三、 计算下列函数的积分（4×7=28分） 1.
⎰⎰xy d σ，其中D :x
D
2
+y 2≤a 2(a >0) 第一象限部分。
4分
4
a
解：原式=2d θr sin θcos θdr =
008
π
⎰⎰
a 3
(3分)
2.
⎰⎰⎰
Ω
x 2+y 2+z 2dV ，其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围的闭区域。
解：原式=⎰3.
2π
π
d θ
⎰
2
d ϕ
⎰0
cos ϕ3
r sin ϕdr =
4分
π
10
（3分）
L
e y ^2dx +xdy ，其中L 为x =±1, y =±1所围成的矩形域边界线的正向。
y ^2
解：原式=⎰⎰(1-2ye
D
D
) dxdy =
3分
⎰⎰1dxdy =4（4分）
D
（由对称性得⎰⎰-2ye y ^2dxdy =0） 4.
其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成xydydz +yzdzdx +xzdxdy ，
∑
的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。 解：原式=⎰⎰⎰(x +y +z ) dV
Ω
3分1
=
⎰0dx ⎰0
1-x
dy
⎰0
1-x -y
(x +y +z ) dz =
3分1
⎰0dx ⎰0
1-x
1分11(x +y ) 2
(-) dy = 228
四、 解下列微分方程（2×7=14分） 1. 求微分方程(y +3) dx +cot xdy =0的通解。
解：dy =y +3，
dx
cot x 1
dy =tan xdx ，（3y +3
分）ln y +3=-ln cos x +C ，（3分）
y =C cos x -3（C 为任意常数）（1分）
2. 求微分方程y ''-y =4e x 的通解。
解：y ''-y =0，r 2-1=0，r =±1，Y (x ) =C 1e x +C 2e -x （3分） 设y *(x ) =axe x ，a =2，y *(x ) =2xe x （3分） y (x ) =Y (x ) +y *(x ) =C 1e x +C 2e -x +2xe x （1分） 五、 级数的应用（2×8=16分）
1. 将f (x ) =ln(4+x ) 展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
11
=解：
4+x 4
1∞(-1) n n =x x 4n =04n 1+
41
∑
x ∈(-4, 4) （3分）
∞
(-1) n 1n +1
ln(4+x ) -ln 4=dx =x n +104+x
n =0(n +1) 4
⎰
x
∑
ln(4+x ) =ln 4+
n =0
∑(n +1) 4n +1x n +1（4分）x ∈(-4, 4]（1分）
∞
(-1) n
2. 将函数f (x ) =1(0≤x ≤π) 展开成正弦级数。
解：f (x ) 作奇延拓展成正弦级数，a n =0, n =(0, 1, 2, 3, ) ，（2分）
⎧4
, n =1, 3, 5, 22⎪
b n =sin nxdx =(1-cos n π) =[1-(-1) n ]=⎨n π（4
π0n πn π⎪⎩0, n =2, 4, 6,
2
⎰
π
分）
f (x ) =
sin(2n -1) x x ∈(0, π) （2分） π∑2n -1
n =1
4
∞
1
六、 证明：lim (
n →∞
b
αn
) n =lim
b
n →∞αn
=
b
α
，（4分）得当b α时发
散。（2分）
班级：
姓
名：
学号：
试题共 4
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广东海洋大学 2010—2011学年第 二 学期
《 高 等 数 学 Ⅱ》课程试题
试
□√ A 卷
□√ 闭卷
课程号： 19221102x2
□√ 考□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（3×8=24分）
14. 多元函数在P 0处有偏导数是该函数在P 0处可微的条件。
12y '+xy =e -x 2
15. 微分方程的通解为 。
2
16. 4⎰0
= 。
F (x ) 是e
-x 2
17. 已知的原函数，⎰F (x ) dx = 。
18. ⎰f '(x ) dx = ， (⎰f (x ) dx ) '= 。 19. 方程5y ''+6y '+5y =0的通解为 。 20. 函数f (x , y ) 具有连续的一阶偏导数是该函数可微的 条件。x
8. lim
⎰0
sin tdt x →0
x 2
= 。
二 .求积分（6×5=30分）
1．⎰(1
x -e x +5) dx
2. ⎰cos 2
x
2
dx
3. ⎰x sin xdx
4. ⎰x 2x +3dx
03
x
5. ⎰-1x 2(x +sin x ) dx 6. ⎰e sin xdx
1
三．求解下列各题（46分）
1. 已知某函数满足方程ydx +(1+y ) xdy =e 求解此函数（10分）。
y
e +e -1
dy ，且当y =1时，x =。
2
2. 已知y =x +ux +sin v , u =e
23
3. 已知曲线y =x 2。
3
x
, v =ln x ，求dy （6分）。
dx
（1）利用定积分求曲线与x =1, x =3及x 轴所围图形的面积.(5分) ； （2）利用二重积分再算该图形的面积（5分）。
4.
计算，其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围
D
成的在第一象限内的闭区域。（10分）
5. 研究函数f (x , y ) =13x 3-12x 2-6x +13y 3+1
2
y 2
10分）。 的极值（
班级：
姓
名：
学号：
试题共 4
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广东海洋大学 2011—2012学年第 二 学期
《 高 等 数 学 Ⅱ》课程试题
□√ 考试
□ A 卷
□√ 闭卷
课程号： 19221107x2
□ 考查
□√ B 卷
□ 开卷
一 . 填空（2×8=18分）
21. 多元函数在P 0处连续是该函数在P 0处可微的条件。
22. 微分方程1
2y '+xy =0的通解为 。
23.
⎰
2
3
dx ⎰0
dy = 。
(x ) 是e
-x 2
24. 已知F 的原函数，⎰F (x ) dx = 。
25. ⎰df (x ) = ， d ⎰f (x ) dx = 。 26. 方程y ''-2y '+y =0的通解为 。 27. 函数f (x , y ) 具有连续的一阶偏导数是该函数可微的 条件。x
t 8. lim
e dt x →0
x
= 。
1
9.= 。
二 .求积分（6×6=36分）
1
1．⎰(-e x +5sin x +x ) dx
2. ⎰(
ln x
+5) dx
x
3. ⎰x cos xdx
5. ⎰2
3-2x (x +cos x ) dx 6.
x
4. ⎰
31
x 2
+5x +6
dx ⎰e x
cos xdx
三．求解下列各题（46分）
2x
y =u +uv , u =e , v =ln x ，求dy （10分）1. 已知。
dx
2. 已知曲线y =ln x 。
（1）利用定积分求曲线与x =1, x =e 及x 轴所围图形的面积.(8分) ； （2）利用二重积分再算该图形的面积（8分）。
22
3. 计算⎰⎰(1+x +y ) dxdy ，其中D 是由圆周x 2+y 2=9及坐标轴所围
D
成的在第一象限内的闭区域。（10分）
5. 研究函数f (x , y ) =13x 3+52x 2+6x +13y 3+1
2
y 2
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10分）。 的极值（
班级：
姓
名：
学
号：
试题共
页
加白纸
张
GDOU-B-11-302
广东海洋大学 2009—2010学年第一学期
《高等数学Ⅱ》课程试题
考试
√ A 卷
√ 闭卷
课程号： 19221102
√□ 考查
□ B 卷
□ 开卷
一. 填空题：（3分⨯9=27分）
1. 当 x →0 时，tan 2x 为sin 5x 的 阶无穷小。
2. 曲线y =2x 2-x +1在(1, 3) 。 3. 假定f '(x f x 0) -f (x 0+2∆x )
0) 存在，则∆lim
x →0
∆x
= 。
4. 函数y =x 2-4
x 2-3x +2
可去间断点为x = 。
⎧e x +a , x ≤05. 设f (x ) =⎪
⎨⎪
sin x ⎩x , x >0，则当a = 时，f (x ) 在x =0 处连续。
6. 函数连续是函数可导的 条件。 7. d (
) =
1
3+x
dx 。 8. y =e 2x +3x , 求y ''= 9. lim(
12n
n →∞
n 2+n 2+3n 2+n
2) =。
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班
级：
姓
名：
二. 计算下列极限 （6分⨯4=24分）
1. lim(1x →∞-2
x ) 3x
2. lim x →+∞
3. lim (sec x -tan x ) x →
π
2
4. lim
tan x -x
x →0
x 2sin x
三. 计算下列函数的导数或微分（7分⨯5=35分）
1. 函数y =f (x ) 由方程y s i n x
-c o x +s (y =确) 定，求y '。
y 'sin x +y cos x +sin(x +y )(1+y
2. 设y =f '(u ) 存在，y =f (sin3x ) , 求dy
dx
。 3.
设y =ln(arctanx ，求dy 。
4. 设y =x tan x (x >0) ，求
dy
dx
。 5. 设⎧⎨x =t 2+1d 2y 3t
，求。 ⎩y =3dx 2
四. 求函数y =x 3-6x 2+9x -5的单调区间与极值。（8分）
五. 证明: 方程x 3-6x 2+12x -1=0在(0,1)区间内有唯一实根. (6分)
GDOU-B-11-302广东海洋大学 2009—2010学年第一学期
《高等数学Ⅱ》课程试题
考试
□ A 卷
√ 闭卷
课程号： 19221102
√□ 考查
√ B 卷
□ 开卷
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一. 填空题：（3分⨯9=27分）
1. 当 x →2 时，x -2为x 2-4阶无穷小。
2. 曲线y =2x 2-x +1在(1, 3) 处的法线方程为。 3. 假定f '(x ) 存在，则lim
h →0
f (x ) -f (x -2h )
=
h
2x -4无穷间断点为x = 。 4. 函数y =
x 2-3x +2
1⎧2
, x >0⎪x sin
5. 设f (x ) =⎨, 则当a =时, f (x ) 在x =0处连续。 x
⎪⎩x +a , x ≤06. 函数可导是函数连续的 条件。 7. d (
) =2
x dx
8. y =ln(1+x ), 求y ''= 。 9. lim(
n →∞
123+++n 2n 2n 2n
) =。 n 2
二. 计算下列极限 （6分⨯4=24分） 1. lim
x →+∞
2. lim(1+
x →∞
12x
) x -2
(sec x -tan x ) 3. lim π
x →
2
4. lim
sin x -x
x →0x 2tan x
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三. 计算下列函数的导数或微分（7分⨯5=35分） 1. 函数y =f (x ) 由方程xy =e x +y 确定，求y '。 2. 设y =f '(u ) 存在，y =f (cos3x ) , 求3.
设y =ln(arctanx ，求dy 。 4. 设y =(1+x 2) tan x (x >0) ，求
dy
。 dx
dy
。 dx
⎧x =3e t d 2y 5. 设⎨，求。 2-t
dx ⎩y =2e
四. 求函数y =2x 3-3x 2+4的单调区间与极值。（8分）
五. 证明： 方程x 3+3x 2+3x -2=0在(0,1)区间内有唯一实根.(6分)
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