求函数值域的7类题型和16种方法
一、函数值域基本知识
1．定义：在函数y =f (x ) 中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则
①当函数y =f (x ) 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；
②当函数y =f (x ) 用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；
③当函数y =f (x ) 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数y =f (x ) 由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地，常见函数的值域：
1. 一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R.
⎡4ac -b 2⎫2. 二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)，当a >0时的值域为⎢, +∞⎪，当a
⎣4a ⎭
2
⎛4ac -b 2⎤
的值域为 -∞, . ， ⎥4a ⎦⎝
3. 反比例函数y =4. 指数函数y =a
x
k
(k ≠0)的值域为{y ∈R y ≠0}. x
(a >0且a ≠1)的值域为{y y >0}.
5. 对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的值域为R.
[-1,1]三、求解函数值域的7种题型
题型一：一次函数y =ax +b (a ≠0)的值域（最值）
1、一次函数：y =ax +b (a ≠0) 当其定义域为R ，其值域为R ；
2、一次函数y =ax +b (a ≠0)在区间[m , n ]上的最值，只需分别求出f (m ), f (n )，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(-∞, n ]或[m , +∞)等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二：二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的值域（最值）
1、二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ， 当其 定义域为R 时，其值域为
⎧4ac -b 2y ≥ (a >0)⎪⎪4a
⎨2
⎪y ≤4ac -b (a
2、二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 在区间[m , n ]上的值域(最值) 首先判定其对称轴x =-（1）若-
b
与区间[m , n ]的位置关系 2a
b b
∈[m , n ], 则当a >0时，f (-) 是函数的最小值，最大值为f (m ), f (n )
2a 2a
b
) 是函数的最大值，最大值为中较大者；当a
f (m ), f (n ) 中较小者。
（2）若-
b
∉[m , n ], 只需比较f (m ), f (n ) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
特别提醒：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②若给定的区间形式是[a , +∞), (-∞, b ], (a , +∞), (-∞, b )等时，要结合图像来确函数的值域；
③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
2
例1：已知 f -x -2x 的定义域为[-3, +∞)，则f (x )的定义域为 (-∞,1]。
()
例2：已知f (x -1)=x +1，且x ∈(-3,4)，则f (x )的值域为 (1, 1)7。
2
题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数y =2、形如：y =
k
(k ≠0) 的定义域为{x x ≠0}，值域为{y y ≠0} x
cx +d
的值域： （多多注解：且d ，b 皆不为零）
ax +b
（1）若定义域为⎨x ∈R x ≠-⎬时（分母不为零），其值域为⎨y ∈R y ≠
⎧⎩b ⎫a ⎭
⎧⎩
c ⎫⎬
a ⎭(反函数
x =
定义域等于原函数值域可用
d -by
ay -c 推证)
（2）若x ∈[m , n ]时，我们把原函数变形为x =有界性），便可求出函数的值域。
d -by
，然后利用x ∈[m , n ]（即x 的
ay -c
2x -3
例3：函数y =的值域为 x
3 2-1
1⎤⎛-∞, [3+∞, )x ∈[1,2]时，其值域为 ⎥3⎦⎝
⎡11⎤
-, ⎥。 ⎢⎣511⎦
例4：当x ∈(-3, -1]时，函数y =
1-3x
的值域 2x +1
3⎫⎡-4, -⎪。 （2）已知⎢2⎣⎭
6⎤⎛
-∞, - ⎥5⎦⎝
f (x +1)=
x -3
，且x ∈[-3,2)，则f (x )的值域为 2-x
例5：函数的值域为 -∞, ⎥⋃[3, +∞)；若x ∈⎢, ⎪，其值域为 ⎢-, ⎪。
522⎝⎦⎣⎭⎣23⎭
⎛1⎤⎡π3π⎫⎡12⎫
dx 2+ex +c
题型四：二次分式函数y =2的值域
ax +bx +c
一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在；③分子、分母必须是既约分式。
x 2+x -12⎤⎛
例6：y =2； (1, +∞)⋃ -∞, ⎥
x +x -67⎦⎝
x 2+x -2
例7：y =； {y ∈R y ≠1} 2
x -13x ⎡33⎤
例8：y =2； ⎢-, ⎥
x +4⎣44⎦
x -1
x ∈(-1, +∞)的值域 例9：求函数y =2
x +2x +1
2
解：由原函数变形、整理可得：yx +(2y -1)x +y +1=0
求原函数在区间(-1, +∞)上的值域，即求使上述方程在(-1, +∞)有实数解时系数y 的取值范围
当y =0时，解得：x =1∈(-1, +∞) 也就是说，y =0是原函数值域中的一个值 …① 当y ≠0时，上述方程要在区间(-1, +∞)上有解，
⎧ ≥0
1⎪
即要满足f (-1)
8⎪-2y >-1
⎩
⎡1⎤
综合①②得：原函数的值域为：⎢0, ⎥
⎣8⎦
题型五：形如y =ax +b 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某
区间上求值域问题，然后求其值域。
例10： 求函数y =2x +4-x 在x ∈[-8,1]时的值域 [-4,4]
题型六：分段函数的值域：
一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11： y =x -+x +2 [3, +∞) 例12： y =-x 2+4x +1 (-∞,5] 题型七：复合函数的值域
对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。 例13：
y =例14
：y =
-1≤x ≤1) [0,2] ⎡5⎤
⎢0, ⎥
⎣2⎦
四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名分析观察法）：
有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量x 的范围出发，推出y =f (x ) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。
例1：已知函数y =(x -1)-1，x ∈{-1, 0, 1, 2}，求函数的值域。 {-1,0,3}
2
例2
：求函数y =例3：
求函数y =例4
：求函数y =
1的值域。 [1,+∞)
+∞ (x ≥1)的值域。
)
[1, +∞)
（2）配方法：
二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如y =ax +bx +c (a ≠0)或
2
F (x )=a ⎡⎣f (x )⎤⎦+bf (x )+c (a ≠0)类的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1．求函数y =
2
-2x -x 2+3的值域。
-(x +1) 2+4，于是：
2
分析与解答：因为-2x -x +3≥0，即-3≤x ≤1，y =
0≤-(x +1) 2+4≤4，0≤y ≤2。
x 2+2x +41
例2．求函数y =在区间x ∈[, 4]的值域。
4x
⎛42⎫x 2+2x +4
x -⎪分析与解答：由y =配方得：y =x ++2= ⎪+6， x x x ⎭⎝141
≤x ≤2时，函数y =x ++2是单调减函数，所以6≤y ≤18； 4x 4
4
当2≤x ≤4时，函数y =x ++2是单调增函数，所以6≤y ≤7。
x
11
所以函数在区间x ∈[, 4]的值域是6≤y ≤18。
44
当
（3）最值法：
对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。 例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。
解：由3-2x -x 2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］
例2：求函数y =2，x ∈[-2,2]的值域。 ⎢, 4⎥
⎣4⎦
x
2
⎡1⎤
例3：求函数y =-2x +5x +6的值域。 -∞,
2
⎛⎝73⎤⎥ 8⎦
（4）反函数法（逆求或反求法）：
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围。对于形如y =
cx +d
(a ≠0) 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过ax +b
求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
1-2x
例1：求函数y =的值域。
1+2x
1-y 1-2x x
2=解：由y =解得， x
1+y 1+2
∵2>0，∴
x
1-y
>0，∴-1
1-2x
∴函数y =的值域为y ∈(-1,1) 。 x
1+2
（5）分离常数法：
分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数y =
ax +b
(c ≠0) ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的
cx +d
要求）内，值域为⎨y y ≠
⎧⎩a ⎫
，采用部分分式⎬；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）
c ⎭
ad
a (ad ≠bc ) ，用复合函数法来求值域。 法将原函数化为y =+
c cx +d 1-x
例1：求函数y =的值域。
2x +5
177-(2x +5) +
1-x =-1+， 解：∵y ==2x +52x +522x +57
1
∵≠0，∴y ≠-，
22x +5
1-x 1
∴函数y =的值域为{y |y ≠-。
2x +52
b -
（6）换元法（代数/三角）：
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
对形如y =
1
的函数，令f (x )=
t ；形如f x =t ；
y =ax +b a , b , c , d 均为常数, ac ≠0) 的函数，
的结构的函数，可利用三角代换，令x =a cos θ, θ∈[0, π]，或令x =a sin θ, θ∈⎢-
例1
：求函数y =2x
⎡ππ⎤
, ⎥. 22⎦⎣
1-t 2
解：令t =t ≥0），则x =，
2
22
∴y =-t +t +1=-(t -) +
125 4
135
，即x =时，y max =，无最小值。
284
5
∴函数y =2x (-∞, ]。
4
∵当t =
例2．求函数y =(x -5x +12)(x -5x +4) +21的值域。
2
2
95⎫9⎛
分析与解答：令t =x 2-5x +4= x -⎪-，则t ≥-。
42⎭4⎝
2
y =t (t +8)+21=t 2+8t +21=(t +4)+5，
2
91⎫1⎧⎛9⎫
当t ≥-时，y min = -+4⎪+5=8，值域为⎨y |y ≥8⎬
416⎭16⎩⎝4⎭
例3．求函数y =x +x -x 2-23的值域。 分析与解答：由y =x +x -x 2-23=x +
2
2
2-x -5，令x -5=2cos θ，
2
因为2-(x -5)≥0⇒2-2cos 2θ≥0⇒-1≤cos θ≤1，θ∈[0, π]，则
2-x -5=2sin θ，
2
于是y =
ππ5ππ⎫⎛
2sin θ+2cos θ+5=2sin θ+⎪+5，θ+∈[, ]，
4444⎭⎝
-
2π⎫⎛
≤sin θ+⎪≤1，所以5-2≤y ≤7。 24⎭⎝
把函数转化成关于x 的二次方程F (x , y ) =0；通过方程有实数根，判别式∆≥0，从
（7）判别式法：
a 1x 2+b 1x +c 1而求得原函数的值域。对形如y =（a 1、a 2不同时为零）的函数的值域，2
a 2x +b 2x +c 2
通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即∆≥0从而求得y 的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。
注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。
x 2-x +3
例1：求函数y =2的值域。
x -x +1
x 2-x +3
解：由y =2变形得(y -1) x 2-(y -1) x +y -3=0，
x -x +1
当y =1时，此方程无解；
当y ≠1时，∵x ∈R ，∴，∆=(y -1) -4(y -1)(y -3) ≥0 解得1≤y ≤
2
1111，又y ≠1，∴1
x 2-x +311
∴函数y =2的值域为{y |1
3x -x +1
（8）函数单调性法：
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，
f (x )=ax +
题。
b
可考虑利用函数的单调性解(a >0, b >0). 当利用不等式法等号不能成立时，
x
例1
：求函数y =x
解：∵当x 增大时，1-2x 随x
的增大而减少，x 的增大而增大，
∴函数y =x (-∞, ]上是增函数。
12
∴y ≤
11=，
22
1
2
∴函数y =x (-∞, ]。 例2．求函数y =x +
1
在区间x ∈(0, +∞)上的值域。 x
分析与解答：任取x 1, x 2∈(0, +∞)，且x 1
f (x 1)-f (x 2)=
(x 1-x 2)(x 1x 2-1)，因为0
x 1x 2
1
0，
当1≤x 10，则f (x 1)>f (x 2)；
当0
1
在区间x ∈(0, +∞)上的值域为[2, +∞) 。 x
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。 例3：求函数f (x )=+x +-x 的值域。 分析与解答：因为⎨
⎧1+x ≥0
⇒-1≤x ≤1，而+x 与-x 在定义域内的单调性
⎩1-x ≥0
不一致。现构造相关函数g (x )=+x --x ，易知g (x ) 在定义域内单调增。
g m a x =g (1)=2，g min =g (-1)=-2，⇒g (x ≤2，0≤g 2(x )≤2，
又f
2
(x )+g 2(x )=4，所以：2≤f 2(x )≤4，2≤f (x )≤2。
（9）基本不等式法
利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时
要求和为定值。
利用基本不等式a +b ≥“一正，二定，三相等”.
如利用a +b ≥求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①a >0, b >0; ②
a +b (或ab )为定值；③取等号成立的条件a =b . 三个条件缺一不可。此外，有时需要合理
地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 比如求函数y =x +
k
(k >0, n ∈N ) 的值域。 n x
x +1的值域.
例1 求函数y =解:
y =
x +2x +1
=x +1+
x +1
≥2, 当且仅当x =1时" =" 成立. 故函数的值域为
y ∈[2, +∞) .
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
2x 2-x +1⎛1⎫
例2：求函数的值域：y =x > ⎪.
2x -1⎝2⎭
1
2x -x +1x (2x -1)+1111
解：y ===x +=x -++
2x -12x -12x -12x -12
2
11
x >, ∴x ->0
22
2
∴x -
1+≥12x -21当且仅当x -
1
时，即x =
=
12x -
2
1∴y ≥
1⎡1⎫，所以元函数的值域为⎢+∞⎪. 2⎣2⎭
的值域。
例3. 求函数解：原函数变形为：
当且仅当即当
时
，等号成立
的值域。
故原函数的值域为：例4. 求函数解：
当且仅当由
可得：
，即当
时，等号成立。
故原函数的值域为：（10）函数有界性法：
利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如y =
a sin x +c
，由于正余弦函数
b cos x +d
都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。
x 2-1
例1：求函数y =2的值域。
x +1
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得
(y -1) x 2=-(y +1) ，
∵y ≠1，∴x =-
2
y +1
（x ∈R ，y ≠1）， y -1
∴-
y +1
≥0，∴-1≤y
x 2-1
∴函数y =2的值域为{y |-1≤y
x +1
形如sin α=f (y ), x 2=g (y ), sin α≤1, x 2≥0可解出Yr 范围, 从而求出其值域或最值。
2x -1
例2．求函数y =x 的值域
2-12x -1y -1x
解： 由y =x 得2=
y -12-1 22>0, ∴
y -1
>0⇒y >1或y
2cos x +1
的值域。
3cos x -2
例3：求函数y =
1⎤⎛-∞, ⋃[3, +∞) ⎥5⎦⎝
⎡1⎤
,3⎥ ⎢3⎣⎦
例4：求函数y =（11）数型结合法：
2-sin x
的值域。
2+sin x
如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由两点(x 1, y 1)与(x 2, y 2)连线的斜率或距离。
例1：求函数y =|x +1|+|x -2|的值域。
y 1-y 2
可联想到
x 2-x 1
⎧-2x +1(x
解法1：将函数化为分段函数形式：y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y |y ≥3}。
解法2（几何法或图象法）：∵函数y =|x +1|+|x -2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]。如图
）
例2
．求函数y =
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f (x ) =
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位正方形。设HK =x
, 则
EK =2-x , KF =2+x , AK
KC
由三角形三边关系知，AK +KC ≥AC =5。当A 、K 、C 三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。 例3．求函数y =+x +-x 的值域。
22
解析：令u =+x ，v =-x ，则u ≥0, v ≥0，u +v =2，u +v =y ，原问22
题转化为：当直线u +v =y 与圆u +v =2在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时，求
直线的截距的取值范围。
由图1知：当u +v =y 经过点(0, 2) 时，y min =当直线与圆相切时，y max =OD =所以，值域为2≤y ≤2
例4. 求函数y =
2；
=2。
2OC =
2)
2
解：将函数变形为y =
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点B (-2,1) 到点P (x ,0) 的距离之差。即y =AP -BP
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P '，
则构成∆ABP '，
根据三角形两边之差小于第三边，有AP -BP
=
即
的交点时，
有
AP -BP =AB =综上所述，可知函数的值域为(
注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
（12）复合函数法：
对函数y =f (u ), u =g (x ) ，先求u =g (x ) 的值域充当y =f (u ) 的定义域，从而求出
y =f (u ) 的值域的方法。
1、求函数y =3x
例3x +1
的值域
（复合函数法）设3x
+1=t ，
则y =3x +1-111
3x +1=1-3x
+1=1-t (t >1) t >1∴0
t
∴0
∴原函数的值域为(01)
例2：求函数y =log ⎡49⎫
1(-2x 2+5x +3) 的值域。 2⎢⎣8, +∞⎪⎭
（13）非负数法
根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
(1)求函数y =-x 2
的值域。 (2)求函数y =x 2例1、-3
x 2+1
的值域。
解析：(1) 0≤16-x 2
≤16， ∴0≤-x 2≤4 故 所求函数的值域为 y ∈[0，4]。
(2) x 2
+1>0，∴原函数可化为 y (x 2+1) =x 2-3，即 x 2
(1-y ) =y +3，y ≠1时，x 2=
y +32
y +31-y ， x ≥0，∴
1-y
≥0，解得-3≤y ≤1 又 y ≠1， 所以 -3≤y
故 所求函数的值域为 y ∈[-3，1）。
（不等式性质法）
例2：求下列函数的值域：
（1）y =62x 2+4x 6x +2 （2）y =+10
2； x 2+2x +2
； （3）y =2sin x -1
当
（4）y
（2）y =-3() +4(x ≤-1) ； （3）y =log 2(x +)(x >（14）导数法
12
x 2
141) 2
若函数f 在(a , b ) 内可导, 可以利用导数求得f 在(a , b ) 内的极值, 然后再计算f 在
a , b 点的极限值. 从而求得f 的值域.
例1： 求函数f (x ) =x 3-3x 在(-5, 1) 内的值域.
分析:显然f 在(-5, 3) 可导，且f '(x ) =3x 2-3. 由f '(x ) =0得f 的极值点为
x =1, x =-1.
f (-1) =2, f (1-0) =-2. f (-5+0) =140.
所以, 函数f 的值域为(-2, 140) .
（15）“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等. 每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域. 本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.
1. 适合函数特征
设f (x ) （x ∈D ）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：
（1）f (x ) 的值总是非负，即对于任意的x ∈D ，f (x ) ≥0恒成立；
（2）f (x ) 具有两个函数加和的形式，即f (x ) =f 1(x ) +f 2(x ) （x ∈D ）； （3）f (x ) 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即
， f 2(x ) =[f 1(x ) +f 2(x )]2=c +g (x ) （x ∈D ，c 为常数）
其中，新函数g (x ) （x ∈D ）的值域比较容易求得.
2. 运算步骤
若函数f (x ) （x ∈D ）具备了上述的三个特征，则可以将f (x ) 先平方、再开方，从而
得到f (x ) x ∈D ，c 为常数）. 然后，利用g (x ) 的值域便可轻易地求出f (x ) 的值域. 例如g (x ) ∈
[u , v ]，则显然f (x ) ∈.
3. 应用四例
能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举, 这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.
例1
求函数f (x ) =x ∈[a , b ]，a
解：首先，当x ∈[a , b ]时，f (x ) ≥0；
其次，f (x
) 是函数f 1(x )
与f 2(x ) =的和；
最后，f 2(x ) =b -a +=b -a + 可见，函数f (x ) 满足了采用“平方开方法”的三个特征. 于是，对f (x
) 平方、开方得f (x ) （x ∈[a , b ]）. 这里
，g (x ) =a b
（x ∈[a , b ]）. 对g (x ) 根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g (x ) 的值域为[0,b -a ]. 于是，f (x
) 的值域为.
a b
例2
求函数f (x ) =（x ∈[, ]，a 0）的值域.
k k
解：显然，该题就是例1的推广，且此题的f (x ) 也满足了采用“平方开方法”的三个特a b
征. 于是，对f (x
) 平方、开方得f (x ) =x ∈[, ]）.
这里，
k k a b
g (x ) =x ∈[, ]）. 对g (x ) 根号下面的二次函数采用“配方法”，即
k k 可求得g (x ) 的值域仍为[0,b -a ]. 于是，f (x
) 的值域也仍为.
例3 求函数f (x ) =|sin x |+|cos x |（x ∈R ）的值域.
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的f (x ) 也满足了采用“平方开方法”的三个特征. 于是，对f (x
) 平方、开方得f (x ) =x ∈R ）. 这里，g (x ) =|sin 2x |（x ∈R ）. 易知，g (x ) 的值域为[0,1]. 于是，f (x
) 的值域为[1.
例4 求函数f (x ) =sin x +cos x +sin x -cos x （x ∈R ）的值域.
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的f (x ) 也满足了采用“平方开方法”的三个特征. 于是，对f (x ) 平方、
开方得f (x ) x ∈R ）. 这里，g (x ) =2|cos 2x |（x ∈R ）. 易知，g (x ) 的值域为[0,2]. 于是，f (x
) 的值域为.
例5 求函数y =
x -3+5-x 的值域
解：（平方法）函数定义域为：x ∈[3, 5]
y 2=(x -3) +(5-x ) +2-x 2+8x -15
由x ∈[3, 5], 得-x 2+8x -15∈[0, 1]∴y ∈[2, 4]
2
∴原函数值域为2, 2
]
平方法）函数定义域为：x ∈[3, 5]
y 2=(x -3) +(5-x ) +2-x 2+8x -15
由x ∈[3, 5], 得-x 2+8x -15∈[0, 1]∴y ∈[2, 4]
2
∴原函数值域为2, 2
（16）一一映射法
]
原理：因为y =ax +b (c ≠0) 在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道
cx +d
一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例1. 求函数y =1-3x 的值域。
2x +1
11⎫解：∵定义域为⎧⎨x |x -⎬ 22⎭⎩
由y =1-3x 得x =
2x +1
1-y 2y +3
故x =
1-y 1-y 11
>-或x =
解得y -3
22
3⎫⎛3⎫故函数的值域为⎛ -∞, -⎪ -, +∞⎪
2⎭⎝2⎝⎭
（17）其他方法
其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。
例1. 求函数y =
x +2的值域。 x +3
解：令t =x +2(t ≥0) ，则x +3=t 2+1 （1）当t >0
y =时，
t 11
=≤当且仅当t =1，即x =-1时取等号，所以0
2
t
（2）当t =0时，y =0。
1
综上所述，函数的值域为：⎡0, ⎤
⎢2⎥⎣⎦
注：先换元，后用不等式法
234
1+x -2x +x +x 例2. 求函数y =的值域。
24
1+2x +x
⎛1-x 2⎫x +x x 解：y =1-2x +x + ⎪=+2⎪2
1+2x 2+x 41+2x 2+x 4 ⎝1+x ⎭1+x
2
⎛⎫β1-x 令x =tan ，则 ⎪=cos 2β 1+x 2⎪2⎝⎭
2
243
2
x 1
=sin β 2
21+x
111⎫17⎛
∴y =cos β+sin β=-sin 2β+sin β+1=- sin β-⎪+
4⎭1622⎝
2
2
∴当sin β=1时，y
4
max
=
17
16
当sin β=-1时，y min =-2
17此时tan β都存在，故函数的值域为⎡-2, ⎤ ⎢16⎥2⎣⎦
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin β的有界性。 例3. 求函数 y =2x (x ≤0) 的值域 解：（图象法）如图，值域为(0, 1]
例4. 求函数y = ⎪
⎛1⎫
⎝3⎭
-x 2+2x
的值域
t
⎛1⎫
解（复合函数法）：令t =-x 2+2x =-(x -1) 2+1，则y = ⎪(t ≤1)
⎝3⎭
由指数函数的单调性知，原函数的值域为⎢, +∞⎪ 例5. 求函数y =x +-x 2的值域 解（三角代换法）：
⎡1
⎣3⎫⎭
-1≤x ≤1 ∴设x =cos θθ∈[0, π]
y =cos θ+sin θ=cos θ+sin θ=2sin(θ+) ∈-1, 2
4
∴原函数的值域为-1, 2
π
[]
[]
小结：
（1）若题目中含有a ≤1，则可设
a =sin θ, -
π
2
≤θ≤
π
2
2
(或设a =cos θ, 0≤θ≤π)
2
（2）若题目中含有a +b =1 则可设a =cos θ, b =sin θ
，其中0≤θ
（3）若题目中含有-x 2，则可设x =cos θ，其中0≤θ≤π （4）若题目中含有+x 2，则可设x =tan θ，其中-（5）若题目中含有
π
2
π
2
x +y =r (x >0, y >0, r >0) ，则可设
⎛π⎫2
x =r c o θs , y =r s i 2θn 。其中θ∈ 0, ⎪
⎝2⎭
x 2-1
例6、求函数y =2 的值域
x +1
解法一：（逆求法） x =
2
1+y
≥01-y
∴-1≤y
∴原函数的值域为[-11) 解法二：（复合函数法）设x +1=t ， 则 y =1-
2
22
=1-(t ≥1)
t x 2+1
2≤2∴-1≤y
t
(-1, 1]∴原函数值域为 t ≥1∴0
解法三：（判别式法）原函数可化为 (y -1) x +0⋅x +y +1=0 1） y =1时 不成立
2） y ≠1时，∆≥0⇒0-4(y -1)(y +1) ≥0⇒-1≤y ≤1
2
∴-1≤y
综合1）、2）值域{y |-1≤y
解法四：（三角代换法） x ∈R
⎛ππ⎫
∴设x =tan θθ∈ -, ⎪，则
⎝22⎭
1-tan 2θy =-=-cos 2θ 2θ∈(-π, π)∴cos 2θ∈(-1, 1] 2
1+tan θ
∴原函数的值域为{y |-1≤y
小结：
ax 2+bx +c 22
已知分式函数y =(a +d ≠0) ，如果在其自然定义域内可采用判别2
dx +ex +f
式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
y =
二次式一次式
(或y =) 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数
一次式二次式
a
(x ≠0) 的单x
的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y =x +调性去解。
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin β的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
五、与函数值域有关的综合题
例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2, 画面的宽与高的比为λ(λ
如果要求λ∈［,
23
］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 34
解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2, 则S =(x +16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x +160, 将x =
22λ
5
代入上式得 S =5000+44 (8λ+
5
λ
),
8cm
当8λ=
λ
, 即λ=(
5588
此时高 x =
4840
λ
5
=88 cm, 宽 λx=×88=55 cm
8
5cm
5cm
8cm
2323
如果λ∈［, ］，可设≤λ1
3434
则由S 的表达式得
S (λ1) -S (λ2) =44(81+=44(λ1-λ2)(8-
5
5
1
)
-8λ2-
5
λ2
)
1λ2
又λ1λ2≥
525
>0, >, 故8－
381λ2
∴S (λ1) －S (λ2)
23
］内单调递增 34
232
］, 当λ=时，S (λ) 取得最小值
334
232
］, 当λ=
334
答 画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［, 时，所用纸张面积最小
x 2+2x +a
例2已知函数f (x )=, x ∈［1,+∞)
x
1
(1)当a =时，求函数f (x ) 的最小值
2
(2)若对任意x ∈［1,+∞) , f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围
11时，f (x )=x ++2 22x
∵f (x ) 在区间［1，+∞) 上为增函数，
解 (1) 当a =
∴f (x ) 在区间［1，+∞) 上的最小值为f (1)=(2)解法一 在区间［1，+∞) 上，
7 2
x 2+2x +a f (x )= >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立
x
设y =x 2+2x +a , x ∈［1,+∞)
∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，
∴当x =1时，y min =3+a , 当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3 解法二 f (x )=x +
a
+2,x ∈［1,+∞) x
当a ≥0时，函数f (x ) 的值恒为正；
当a
当且仅当f (x ) min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3
例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log3(x 2－4mx +4m 2+m +
1
) m -1
(1)证明 当m ∈M 时，f (x ) 对所有实数都有意义；反之，若f (x ) 对所有实数x 都有意义，则m ∈M
(2)当m ∈M 时，求函数f (x ) 的最小值
(3)求证 对每个m ∈M , 函数f (x ) 的最小值都不小于1
(1)证明 先将f (x ) 变形 f (x )=log3［(x －2m ) 2+m +
当m ∈M 时，m >1,∴(x －m ) 2+m +
故f (x ) 的定义域为R 1］, m -11>0恒成立， m -1
1>0,令Δ＜0, 即16m 2
m -1反之，若f (x ) 对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +
－4(4m 2+m +1) ＜0, 解得m >1,故m ∈M m -1
1(2)解 设u =x 2－4mx +4m 2+m +, m -1
∵y =log3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x ) 最小 而u =(x －2m ) 2+m +1, m -1
1, m -1显然，当x =m 时，u 取最小值为m +
此时f (2m )=log3(m +1) 为最小值 m -1
11(3)证明 当m ∈M 时，m +=(m －1)+ +1≥3, m -1m -1
当且仅当m =2时等号成立
∴log 3(m +1)≥log33=1 m -1