关于量子力学中表象问题的讨论

关于量子力学中表象问题的讨论

冯小源

华中师范大学物理科学与技术学院2006级基地班

摘要:表象问题是量子力学中一个重要而基本的问题,国内诸多教材对表象

问题,特别是表象变换的具体问题,或点到即止或说法不一,本文针对表象及表象问题作了详细讨论,并对不同教材中关于表象变换表述的分歧作了分析。

关键词 波函数 叠加原理 表象 表象变换

1、表象的引入

量子力学与经典物理在描述物理体系的方法上截然不同,其根本原因在于微 观体系的运动规律具有不确定性和统计规律。de Broglie的波粒二象性学说引导

v

人们找到了描述微观体系状态的恰当方法—状态波函数ψ(r,t)。按照Born 的统计

v

诠释,波函数作为一个复函数,本身没有物理意义,它的意义在于发现粒子处于r 处的概率

2v 【1】

,在此约束条件下,波函数应满足单值,连续,有限的标准条件。如果为dr 3

知道了波函数,粒子处于空间某点的几率,力学量的平均值均可求得,因此说波函数完全描述量子体系的运动状态足叠加原理:

【2】

,因此波函数也称态函数。量子力学的另一基本假设为波函数满

ψ=c 1ψ1+c 2ψ2+⋅⋅⋅+c n ψn (1)

ψn 是体系的可能态(本征态),c k 为发现体系处于相应本征态ψk 的概率,满足:

2

∑c k =1 (2)

k =1

n

2

它的物理意义是,量子体系的一般状态是所有本征态的线性叠加。当我们对某一力学量进行

跟踪测量时,量子态将坍缩为某一本征态,因此,所测得的物理量是这个本征态对应的本政值。

作为一组描述量子体系的本征函数系,函数之间应满足正交,归一,完备性。正是由于本征函数系的这种性质,可以引入Hilbert 空间,将本征函数看做Hilbert 空间的基矢,即态矢。任何非空的Hilbert 空间具有正交归一完备基的最大优势,是对于给定的矢量,通过内积便很容易定出未知系数

【3】

,即叠加原理中的展开系数c k 。

某一力学量的本征函数系所构成的Hilbert 空间就构成了这一力学量的表象。换言之,表象就是Hilbert 空间的“坐标系”,坐标系的基就是力学量的本征矢完备系

【2】

。在量子力

学中研究不同问题需要采用相应的表象,就如同经典物理中适当得选取坐标系研究具体问题一样。表象变换就是Hilbert 空间中的“坐标变换”,是量子力学中的一个基本问题。

2、表象变换

在经典物理中,不同坐标系之间可以互相变换,例如,直角坐标系(x,y,z )和球坐标系之间的变换关系:

⎧x =r sin θcos ϕ⎪

⎨y =r sin θsin ϕ (3) ⎪z =r cos θ⎩

量子力学中,不同表象之间也可以进行相应变换。某一力学量(量子力学中力学

)的表象可表量用算符表示,在以后的讨论中不加区分,且省略算符符号“∧”

⎛ψ1⎞

⎜⎟ψ

示为一个n 行1列矩阵⎜2⎟,而力学量在某一具体表象下对应于某个矩阵,这是一个

⎜M ⎟⎜⎟⎝ψn ⎠

厄米矩阵,如某一力学量在自身表象下是由该力学量本征值所构成的对角矩阵

【4】

,力学量

在不同表象下的矩阵形式是不同的,下面详细讨论一下力学量在不同表象之间的变换问题。

⎛ψ1⎞

⎜⎟⎜ψ2⎟

如果已知力学量G 表象下的态矢i ,i 表示G 的本征函数系⎜M ⎟第i 行本征矢,力

⎜⎟⎜ψi ⎟⎜M ⎟⎝⎠

学量F 和态矢a 在G 表象下的矩阵形式为F ij =i F j , a i =i a (a i 是a 在G 表象下的分量形式)。当然,我们想直接求出F ij ,a i 是不可能的,因为力学量F 和态矢a 对应的矩阵是Hilbert 空间中的抽象矩阵,形式未知,假设我们知道F 和a 在已知表象Q 表象下

⎛ψ1⎞

⎜⎟⎜ψ2⎟

的表达形式F nm =n F m , a n =n a ,n 表示力学量Q 的本征函数系⎜M ⎟的第n 行态

⎜⎟⎜ψn ⎟⎜M ⎟⎝⎠

矢,则问题转化为表象间的变换问题。

由已知条件可得如下表达式:

a i =i a (4) F ij =i F j (5)

利用Q 的本征矢的完备性:

∑n

n

n =1 (6)

插入上两式:

a i =i a =i 1a =∑i n n a =∑i n n (7)

n

n

F ij =i F j =i 1F 1j =∑i n n F m m j =∑i n nm m j (8)

n , m

n , m

令S in =i n , 则如果将所有元素按i 为行n 为列排列,则为一矩阵:

⎛S 11⎜

S =[S in ]=⎜S 21

⎜M ⎝

S 12L ⎞⎛i 1n 1

⎟⎜

S 22L ⎟=⎜i 2n 1

⎜M L ⎟⎠⎝M

【4】

i 1n 2

i 2n 2M

L ⎞⎟

L ⎟ (9) L ⎟⎠

(l n k 代表i =l n =k ),S 是厄米矩阵(4)(5)式变为: (S †) ni =n i ,

%,利用i n ,即S =S

=n i ,则矩阵元

a i =∑S in a n (6)

n

F ij =∑S in F nm (S †) mj (7)

n , m

进一步表示为:

a (G ) =Sa (Q ) (8) F (G ) =SF (Q ) S † (9)

可见矩阵S 即为力学量F 和态矢a 从Q 表象到G 表象的变换矩阵。进一步讨论,力学量G 在自身表象下的本征值方程为:

G i =g i i (10)

左乘n ,插入Q 表象的单位算符1=∑n n ,得:

n

n G i =g i n i n G 1i =g i n i

(11)

m

n m m i =g i n i

即:

⎛n 1G m 1

⎜n 2G m 1⎜M ⎝

n 2G m 2

n 2G m 2

M

L ⎞⎛m 1i ⎞⎛n 1i ⎞⎟⎜⎟⎜⎟

L ⎟⎜m 2i ⎟=g i ⎜n 2i ⎟ (12)

⎟⎜M ⎟L ⎟⎜⎠⎝M ⎠⎝⎠

简写为:

G (Q ) ψi (Q ) =g i ψi (Q ) (13)

⎛n 1i ⎞

⎟(Q ) ⎜上面方程的意义是力学量G 在Q 表象下的本征值方程,ψi =⎜n 2i ⎟为力学量G 在Q 表

⎜M ⎟⎝⎠

象下的本征矢,将其转置变为i n 1

(

i n 2

L ),即G 在Q 表象下的本征矢按行排列,

即为S 矩阵的第i 行。所以,只需在Q 表象下求解G 的本征值方程,并将所得本征矢按行

排列,就得到变换矩阵。

有待商榷的是,有的量子力学教材中的力学量变换矩阵S ′,是将G 在Q 表象下的本征矢按列排列得到的,如文献【2】,这样得到的矩阵S ′与本文中推导所得的矩阵S 是厄米共轭的,即S ′=S ,若以S ′为变换矩阵,(8)(9)式就变为:

a (G ) =S ′†a (Q ) (14) F (G ) =S ′†F (Q ) S ′ (15)

这样会导致一个后果,若以S ′为算符F 的变换矩阵,显然由态矢的变换式得变换矩阵应为

S ′†,态矢变换和力学量的变换描述不统一,而按本文中推导,就避免了这一矛盾,与文献

【4】的描述统一。

3、结束语

量子力学之所以难理解,一方面是由于它的描述方法的特殊,导致许多结论与我们的“经验常识”严重抵触,另一方面就在于表象及表象变换的抽象,波函数的叠加原理是表象及表象变换的基础。要正确理解表象就要求我们深入理解波函数及波函数的叠加原理。

参考文献

【1】 【2】 【3】 【4】

曾谨言著,《量子力学》卷Ⅰ(第四版),科学出版社(2007)。 汪德新著,《量子力学》(第三版),科学出版社(2008).

何卫中,Hilbert 空间在量子力学中的应用,广西工学院学报,1999年3月。 刘连寿主编,《理论物理基础教程》,高等教育出版社(2003)。


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