平面向量应用举例

平面向量应用举例

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题 2．平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→

(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．( √ )

(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．( √ ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．( √ )

→→

(4)在△ABC中，若AB·BC

→(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP＝

设向量

运算

还原

→→→

OA＋t(AB＋AC)，tR，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.( √

)

1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 B

→→

解析 ∵AB＝(2，－2)，CB＝(6,6)， →→∴AB·CB＝12－12＝0，

→→

∴AB⊥CB，∴△ABC为直角三角形．

π

2．(2014·山东)已知向量a＝(13)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为则实数m等于( )

6A．23 3 C．0 D．－3 答案 B

解析 ∵a·b＝(13)·(3，m)＝3＋m， π又a·b12＋32×3＋m×cos ，

6π

∴33m12＋32×3＋m×cos ，

6∴m＝3.

y→→0，，3．平面上有三个点A(－2，y)，BC(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为__________． 2答案 y2＝8x (x≠0)

yy→→

2，－，BC＝x，， 解析 由题意得AB＝22→→→→

又AB⊥BC，∴AB·BC＝0，

yy2，－·x，＝0，化简得y2＝8x (x≠0)． 即22

4．已知平面向量a＝(1，cos θ)，b＝(1,3sin θ)，若a与b共线，则tan 2θ的值为________． 3答案 4

解析 由a∥b得3sin θ－cos θ＝0， 1

∴tan θtan 2θ＝

3

3141－923

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

题型一 向量在平面几何中的应用

例1 如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.

思维点拨 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．

证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0

，λ)， 22

22

λ)，Fλ，0)， 22

2222→→

∴PA＝(－λ，1－)，EF＝λ－1，－λ)，

2222→

∴|PA|＝ →|EF|＝

222

λ＋1λ2＝λ2－2λ＋1， 22

22

－12＋－λ2＝λ2－2λ＋1， 22

→→

∴|PA|＝|EF|，即PA＝EF.

思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．

→→

(1)在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则AC·AE等于

( ) 3＋3

A.

33

9B.294

→→

→→

(2)在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB

＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积的比值是( )

1123A. B. 3234答案 (1)D (2)A

解析 (1)建立如图平面直角坐标系，则A(－1－)． 2∴E点坐标为31，－， 44

33

，0)，C，0)，B(0，22

1→→3∴AC＝(3，0)，AE＝()，

44339→→

∴AC·AE＝3×44→→

(2)由已知可得PC＝2AP，

∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)， 1

易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.

3题型二 向量在三角函数中的应用

例2 已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且p与q是共线向量． (1)求A的大小； (2)求函数y＝2sin2B＋cos解 (1)∵p∥q，

∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A) ＝0，

33∴sin2A＝，sin A＝

42

∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°. (2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos

C－3B

2

C－3B

2取最大值时，B的大小．

180°－B－A－3B2

＝2sin2B＋cos(2B－60°) ＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)

＝1－cos 2B＋cos 2Bcos 60°＋sin 2Bsin 60° 13

＝1B＋sin 2B＝1＋sin(2

B－30°)，

22

当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.

思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．

(1)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n

＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为( ) ππA. 63ππ 36

2ππB.36ππ33

(2)△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(3a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________． 5π

答案 (1)C (2)

6

解析 (1)由m⊥n得m·n＝0， 即3cos A－sin A＝0， π

A＋＝0， 即2cos6ππ7π

∵

又acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A ＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝c＝csin C， π∴sin C＝1，C＝

2πππ

∴B＝π－－.

326(2)∵m∥n，

∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C3a＋c)＝0， abc＝

sin Asin Bsin C则化简得a2＋c2－b23ac，

a2＋c2－b235π

∴cos B＝，∵0

→→→

例3 (1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k

当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.

思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．

(1)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n

＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为( ) ππA. 63

ππ 362ππB.36ππ33

(2)△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(3a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．

5π答案 (1)C (2) 6

解析 (1)由m⊥n得m·n＝0， 即3cos A－sin A＝0，

πA＋＝0， 即2cos6ππ7π∵

πππ∴A＋＝，即A623

又acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A

＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝c＝csin C，

π∴sin C＝1，C＝ 2

πππ∴B＝π－－. 326

(2)∵m∥n，

∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C3a＋c)＝0，

abc＝ sin Asin Bsin C

则化简得a2＋c2－b23ac，

a2＋c2－b235π∴cos B＝，∵0

题型三 平面向量在解析几何中的应用

→→→例3 (1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k

若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．

→→(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM·CM＝0，

y则＝________. x

答案 (1)2x＋y－3＝0 3

→→→解析 (1)∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，

→→→→→BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，

∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，

解得k＝－2或k＝11.

当k

→→(2)∵OM·CM＝0，∴OM⊥CM，

∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx， 由|2k|y，得k＝，即＝x1＋k思维升华 向量的共线和数量积在解析几何中可以解决一些平行、共线、垂直、夹角及最值问题，在解题中要充分重视数量积及其几何意义的作用．

跟踪训练3 (2013·湖南改编)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为________．

答案 2＋1

解析 方法一 ∵a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.

又a·b＝0，∴a⊥b，∴|a＋b|＝2.

∴|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1.

∴c2－2c·(a＋b)＋1＝0.

∴2c·(a＋b)＝c2＋1.

∴c2＋1＝2|c||a＋b|cos θ(θ是c与a＋b的夹角)．

∴c2＋1＝22|c|cos θ≤22|c|.

∴c2－2|c|＋1≤0. ∴2－1≤|c|≤2＋1.

∴|c|2＋1.

方法二 建立如图所示的直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单

→→→位向量，∴可设OA＝a＝(1,0)，OB＝b＝(0,1)，OC＝c＝(x，y)．

∴c－a－b＝(x－1，y－1)，

∵|

c－a－b|＝1，

∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，

即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆．

而|c|x＋y，

∴|c|的最大值为|OM|＋1，

即|c|max2＋

1.

三审图形抓特点

→→典例：如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB

→＋yAC，则x＝________，y＝________.

审题路线图

图形由一副三角板构成

↓(注意一副三角板的特点)

令|AB|＝1，|AC|＝1

↓(一副三角板的两斜边等长)

|DE|＝|BC|＝2

↓(非等腰三角板的特点)

|BD|＝|DE|sin 60°＝236＝ 22

↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°)

→→AD在AB上的投影即为x

↓x＝|AB|＋|BD|cos 45°＝1＋

→→↓AD在AC上的投影即为y

↓y＝|BD|·sin 45°＝63222623＝1＋222

→→→→→解析 方法一 结合图形特点，设向量AB，AC为单位向量，由AD＝xAB＋yAC知，x，y分别

→→→为AD在AB，AC上的投影．又|BC|＝|DE|＝2，

6→→∴|BD|＝|DE|·sin 60°＝. 2

→→∴AD在AB上的投影

x＝1＋6623

cos 45°＝1＋×1， 2222

→→AD在AC上的投影ysin 45°＝22

→→→→→→方法二 ∵AD＝xAB＋yAC，又AD＝AB＋BD，

→→→→∴AB＋BD＝xAB＋yAC，

→→→∴BD＝(x－1)AB＋yAC.

→→→→→又AC⊥AB，∴BD·AB＝(x－1)AB2.

→→→设|AB|＝1，则由题意|DE|＝|BC|＝2.

又∠BED＝60°，

6→→→∴|BD|＝显然BD与AB的夹角为45°. 2

→→→∴由BD·AB＝(x－1)AB2， 得61×cos 45°＝(x－1)×12. 2

3＋1. 2∴x3→→→同理，在BD＝(x－1)AB＋yAC两边取数量积可得y＝. 2

答案 1＋33 22

温馨提醒 突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)

．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二较方法一略显繁杂.

方法与技巧

1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．

2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．

失误与防范

1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．

2．注意向量共线和两直线平行的关系．

3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况.

A组 专项基础训练

(时间：45分钟)

1．(2014·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内

→→→→任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( )

→A.OM

→C．3OM

答案 D

解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行

→→→→→→→→→→→四边形法则知OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.

→→→→→2．平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是( )

A．矩形

C．正方形

答案 D

→→→→→→→→→→解析 AB＋CD＝0⇒AB＝－CD＝DC⇒四边形ABCD是平行四边形，(AB－AD)·AC＝DB·AC→→＝0⇒DB⊥AC，所以平行四边形ABCD是菱形．

→→→→23．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是( )

A．等边三角形

C．直角三角形

答案 C

→→→→2解析 由(BC＋BA)·AC＝|AC|，

→→→→得AC·(BC＋BA－AC)＝0，

→→→→→→即AC·(BC＋BA＋CA)＝0,2AC·BA＝0，

→→∴AC⊥BA，∴A＝90°.

→→又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，

故△ABC一定是直角三角形．

→→4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2－6，则点P的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆 B．等腰三角形 D．等腰直角三角形 B．梯形 D．菱形 →B．2OM →D．4OM

C．双曲线

答案 D D．抛物线

→→解析 PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，

→→∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，

∴y2＝x.

π5.若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|

→→M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，

则A等于( )

π777A. π C.π D. 61263

答案 B

π7解析 由题意知MA)，N(，－A)， 1212

→→π7又OM·ON＝×π－A2＝0， 1212

∴A＝7 12

15→→6．已知在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b

答案 150°

→→解析 ∵AB·AC

115又S△ABC＝a||b|sin∠BAC＝. 24

1∴sin∠BACBAC＝150°. 2

7．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．

答案 2π3

解析 设向量a与b的夹角为θ，

由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，

即4|b|2＋4·2|b|·|b|cos θ＝0，

12π∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝23

8．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式0→→→→→→≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1，则z＝OQ·OP的最大值为

________．

答案 3

→→→解析 ∵OP＝(x，y)，OM＝(1,1)，ON＝(0,1)，

→→→→∴OP·OM＝x＋y，OP·ON＝y，

0≤x＋y≤1，即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，当x＝0，y＝1时，0≤y≤1

zmax＝3.

9．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.

证明 建立如图所示的直角坐标系，

设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．

a∵D是BC的中点，∴D(0，)． 2

→→又∵AE＝2EB，

即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，

x－a＝－2x，a2∴解得x＝y. 33y＝2a－2y，

aa→∵AD＝(0，－(a,0)＝(－a，)， 22

→→a2OE＝CE＝(a)， 33

a2a→→∴AD·CE＝－a×a× 332

112＋a2＝0. 33

→→∴AD⊥CE，即AD⊥CE.

π3π10．已知A，B，C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，其中α()． 22

→→(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值．

π→→(2)若AC·BC＝－1，求tan(α＋)的值． 4

→解 (1)∵AC＝(cos α－3，sin α)，

→BC＝(cos α，sin α－3)，

→∴|AC|＝cos α－3＋sinα ＝10－6cos α，

→|BC|＝10－6sin α.

→→由|AC|＝|BC|得sin α＝cos α，

π3π5又α∈(，，∴α＝π. 224

→→(2)由AC·BC＝－1，

得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，

2π2∴sin α＋cos α＝，∴sin(α＋＝343

π3πα 22

3πππ7∴

π14故tan(α＋＝－. 47

B组 专项能力提升

(时间：20分钟)

x，x≥y，y，x≥y，11．(2014·浙江)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，y，x

则( )

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2

D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

答案 D

解析 由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错．当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b||a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.

112．(2013·浙江)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，4

→→→→恒有PB·PC≥P0B·P0C，则( )

A．∠ABC＝90°

C．AB＝AC

答案 D

解析 设BC中点为M， B．∠BAC＝90° D．AC＝BC

→→→→→→PB则PB·PC＝＋PC2－PB－PC2 22

1→→＝PM2－2， 4

1→→→→同理P0B·P0C＝P0M2－2， 4

→→→→∵PB·PC≥P0B·P0C恒成立，

→→∴|PM|≥|P0M|恒成立．

即P0M⊥AB，

1取AB的中点N，又P0B＝AB， 4

则CN⊥AB，∴AC＝BC.故选D.

→→→13．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则

实数m的取值范围是________．

311答案 (－，)∪(，＋∞) 422

→→→解析 由已知得AB＝OB－OA＝(3,1)，

→→→AC＝OC－OA＝(2－m,1－m)．

→→若AB∥AC，则有3(1－m)＝2－m，

1解得m＝2

→→由题设知，BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m)．

∵∠ABC为锐角，

→→∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，

3可得m>4

1→→由题意知，当m＝AB∥AC. 2

311故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是(－)∪(，＋∞)． 422

14．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，→→则|PA＋3PB|的最小值为________．

答案 5

解析 方法一 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图

所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x

.

∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，

→→PA＝(2，－x)，PB＝(1，a－x)，

→→∴PA＋3PB＝(5,3a－4x)，

→→|PA＋3PB|2＝25＋(3a－4x)2≥25，

→→∴|PA＋3PB|的最小值为5.

→→方法二 设DP＝xDC(0

→→∴PC＝(1－x)DC，

→→→→→PA＝DA－DP＝DA－xDC，

→→→→1→PB＝PC＋CB＝(1－x)DC. 2

→→5→→∴PA＋3PB＋(3－4x)DC， 2

25→5→→→→→|PA＋3PB|2＝2＋2×(3－4x)DA·DC＋(3－4x)2·DC2 42

→＝25＋(3－4x)2DC2≥25，

→→∴|PA＋3PB|的最小值为5.

15．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，向量n＝(2－sin A，cos A)，若|m＋n|＝2.

(1)求内角A的大小；

(2)若b＝2，且c＝2a，求△ABC的面积．

π解 (1)|m＋n|2＝(cos A2－sin A)2＋(sin A＋cos A)2＝4＋2(cos A－sin A)＝4＋4cos(4

A)．

π∵4＋A)＝4， 4

π∴cos(＋A)＝0. 4

πππ∵A∈(0，π)，∴＋A＝，A＝. 424

(2)由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccos A，

π即a2＝2)2＋(2a)2－2×42×2acos， 4

解得a＝42，∴c＝8.

12∴S△ABC＝42×8＝16. 22