小学奥数难题汇编50道精选 (二) （11-20）
11. 特殊值
有些数学题，按一般思路不易求解，若从给出的特殊值入手，紧扣条件和问题之间的联系，将会优化解题思路，很快找到解题捷径。
例1 如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分为两部分，S △DBC 比S △ABD 大10cm2。BC 与AD 的和为5cm ，差为5cm ，求S 梯
?
一般是借助“辅助线”解。其实只要仔细分析题意，利用给出的特殊条件可简捷求解。
底，它们等高，由BC=2AD，知△BDC=2△ABD 。所以
S 梯=10×(2+1)=30(cm２) 。
例2 设直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，用四个这样的直角三角形拼成如图所示正方形，求大正方形的边长。
此题用勾股定理求解＝10。通过观察可以发现，大正方形和阴影部分小正方形的面积是条件和问题的联系纽带。小正方形的边长为直角三角形两条直角边之差8-6=2(cm)，大正方形面积为四个直角三角形的面积和小正方形面积的和。
1/2×8×6×4+(8-6)2=100(cm2)。
这个面积是一个特殊值100=10×10，所以大正方形的边长为10cm 。
例3 四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大正方形(如图) 大正方形的面积是49平方米，小正方形面积是4平方米。问长方形的短边长度是几米?(第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题)
因为 4=2×2， 49=7×7，所以小正方形边长2cm ，大正方形边长7cm 。
长方形长宽之和为7cm ，差为2cm ，即
从而可求得，宽为2.5cm 。
例4 1992年奥林匹克决赛题：一个正方形(如图) ，被分成四个长方形，他们的面积分别
是
图中阴影部分是一个正方形，那么它的面积是多少平方米。
大正方形边长为1米。仔细观察还可发现小正方形的边长与长方形Ⅰ、Ⅲ的长和宽有关。只要求出Ⅲ的长和Ⅰ的宽即可求得小正方形的边长了。
12. 特殊结论
有些题目按照一般的思考方法解答，或者较麻烦，或者不能获得正确答案。用特殊结论解题，思路清楚，方法简便。
例1 周长为28cm 的长方形，如果长和宽都增加1cm ，这个长方形的面积增加多少
?
增加部分的面积=(半周长+增加数)×增加数。分析示意图，不难发现。
(28÷2+1)×1=15(cm2)
例2 周长为28cm 的长方形，长增加1cm ，宽增加2cm ，面积增加24cm2，求原长方形的面积。
思路一：假设长和宽都增加1cm ，根据以上结论，这个长方形的面积增加：(28÷2+1)×1=15(cm2)，因实际宽比假设多增加1cm ，而面积多增加24-15=9(cm2)如图，所以原长方形的长为9÷1-1=8(cm)。宽为 28÷2-8=6(cm)。
面积是8×6=48(cm2)
思路二：假设长和宽都增加2cm ，根据以上结论，面积增加：
与题给条件24cm2相差8cm2这是因为长没增加2cm ，只增加1cm ，假设比实际多
的部分的面积如图中阴影部分的面积。所以，原长方形的宽为8÷1-2=26(cm)，长为28÷2-6=8(cm)。 面积为8×6=48(cm2)
例3 如图，已知S 阴影=6.28cm2，求空白部分的圆面积。
S 圆=6.28×2
=12.56(cm２) 根据：
结论——任意一个圆心角为90°的扇形面积，等于以这个扇形的半径为直径的圆的面积。
证明：
设有一圆心角为90°，半径为R 的扇形。
则它的面积为
直径为R 的圆的面积为
结论，得证。
13. 特殊数题1
(1)21-12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外) 交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。 因为这样的两位数减法，最低起点是21-12，差为9，即(2-1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89，都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小) 十倍、百倍、千倍„„，常数9也相应地扩大(或缩小) 相同的倍数，其差不变。如
210-120=(2-1)×90=90，
0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。
(2)31×51
个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
若十位数字的和满10，进1。如
证明：(10a+1)(10b+1)
=100ab+10a+10b+1
=100ab+10(a+b)+1
(3)26×86 42×62
个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a+c)(10b+c)
=100ab+10c(a+b)+cc
=100(ab+c)+cc (a+b=10)。
(4)17×19
十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
原式=(17+9)×10+7×9=323
证明：(10+a)(10+b)
=100+10a+10b+ab
=[(10+a)+b]×10+ab。
(5)63×69
十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
原式=(63+9)×6×10+3×9
=72×60+27=4347。
证明：(10a+c)(10a+d)
=100aa+10ac+10ad+cd
=10a[(10a+c)+d]+cd。
(6)83×87
十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如
证明：(10a+c)(10a+d)
=100aa+10a(c+d)+cd
=100a(a+1)+cd(c+d=10)。
(7)38×22
十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式=(30+8)×(30-8)
=302-82=836。
(8)88×37
被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10; 是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。
(10)125×101
三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125+1=126。
原式=12625。
再如348×101，因为348+3=351，
原式=35148。
(11)84×49
一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
原式=8400÷2-84
=4200-84=4116。
14. 特殊数题2
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、„。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。 原式
=8500-85=8415
不难看出这类题的积：
最高位上的两位数(或一位数) ，是被乘数与1的差;
最低位上的两位数，是100与被乘数的差;
中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b 、十位数字为a(a≠0)，则
如果被乘数的个位数是1，例如
31×999
在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
71×9999=709999-70=709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式，其积为
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式=0.[***********]。
根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小) 若干倍，商反而缩小(或扩大) 相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
(1)先用0.1÷2=0.05。
(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除
如此除到循环为止。
仔细分析这个算式：
加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
除数末位是9，都可用此法计算。
例如1÷29，用0.1÷3计算。
1÷399，用0.1÷40计算。
15. 顺推
例1 永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB; 过了1小时见第二块里程碑上的数是BA; 又过了1小时，见第三块里程碑上的数是A0B 。经研究很快明白了，这三块里程碑上的数分别是16、61、106。试说明算理?
思路一 BA与AB 的差，只能是两位数或一位数。车匀速前进，B 必大于A 。A0B 与BA 的差必等于BA 与AB 的差，不会是三位数。
A 只能是1，若是2以上的数，则A0B 与BA 的差肯定是三位数了。
由下表知：
思路二：由速度一定知BA-AB=A0B-BA。写成十进数，化简
(10B+A)-(10A + B)=(100A + B)-(10B+A)
10B+A-10A-B=100A+B-10B-A
9B-9A=99A-9B
B=6A
B 是一位数，且只能是一位数。故A=1，B=6。A 和B 的数字确定了，其它随之出现。
例2 美国小学数学奥林匹克(1982～1983) 第二次 2题：1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，同样价格下，2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。问1个面包多少钱。
由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元，可知，1个面包和2个鸡蛋价值 2.40÷2=1.20(元) 。
又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，知4个鸡蛋价值1.80-1.20=0.60(元) 。
所以1个面包价值(2.40-0.60)÷2=0.90(元) 。
16. 数字的双重作用
例 美国小学数学奥林匹克，第一次(1980年11月) 题2：时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推。从1点至12点这12小时共敲了( )下。
由“首尾之和”知
例2 第二次(1980年12月)2题：如果全体自然数如下表排列，数到1000应在哪个字母的下面。( )
A B C D E F G
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17„„„„„„
„„„„„„„„„„
1、2、3、4、5、6既是列的序数，又是对应列以下各数除以7的余数; 而7既是列的序数，本列除以7余数为0。
1000÷7=142余6
所以1000与6位于同一列，即在字母F 的下面。
17. 竖式填空之巧填除法例题1
奥数难题：竖式填空之巧填除法例题1
例1 一个三位数，其十位数字是0，且能被一个一位数整除；如果被另一个一位数除则余3。请填上所有适合的情况。
根据所有条件，全面分析，有序思考：
式(1)中，由除数与商的首位数之积是一个数字，知被除数的百位数字为1；
式(2)中，由余数是3，且除数与商的末位数的积是一位数和“余数必小于除数”，知除数只能为4、5、6，被除数的前两位数为10，除数只能为5，被除数的末位数字为8，这个数为108；
因为108能被2、3、4、6、9整除，但除数为2不符合式(1)的书写形式。答案为：
18. 竖式填空之巧填除法例题2
例2
由第一乘积和第一余数，知除数是35; 商的十位数字可能是6或4。
商是62不合题意，则除数是35，商为42。
例3 下式可整除，请在□中填进适当的数。
对比联想，逆向思考——转除为乘。
显然，A 位只能为7。
B=5，是一定的。C 只能是2，到此整个算式解开。
19. 竖式填空之巧填除法例题3
例4 第五册数学思考题：
首尾观察：
观察式(1)，知商的百位上是6; 再观察式(2)，知商的个位上是2。则被除数为4816。
例5 美国小学数学奥林匹克，第四次(1981年 2月) 题 5：在右边的除法算式中，方格表示擦掉的数字，A 和B 表示商的数字。求A 和B 的值。 A B A B
由B×5□=432，知B=8;进而知A×54=□6□，A=3。
20. 竖式填空之巧填乘法例题1
奥数难题：竖式填空之巧填减法例题1
例1 式中的字母各代表什么数。
M 不能大于3，如果是4、则4×4＝16。也不能小于3，如果是2，则2×2＝4，都不符合积的要求。M ＝3。 3×N＝21，N ＝7；P ＝0。即