数列压轴题
1、 设关于x 的一元二次方程a n x 2-a n +1x +1=0(n ∈N ) 有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3。
（1）试用a n 表示a n +1；
2⎫⎧（2）求证：数列⎨a n -⎬是等比数列； 3⎭⎩
（3）当a 1=
2、已知数列{a n }满足a 1=0，对任意m , n ∈N +有a 2m -1+a 2n -1=2a m +n -1+2(m -n ) 2 a 2=2，
（1）求a 3，a 5；
（2）设b n =a 2n +1-a 2n -1(n ∈N +) ，证明：{b n }是等差数列；
（3）设c n =(a n +1-a n ) q n -1(q ≠0, n ∈N +) ，求数列{c n }的前n 项和S n 。
7时，求数列{a n }的通项公式。 6
1、解：（1）根据韦达定理，得α+β=a n +11，α•β=, 由6α-2αβ+6β=3 a n a n
a 211得 6⋅n +1-=3, 故a n +1=a n + a n a n 23
2
21112（2）证明：因为=1, a n +1-=a n -=(a n -), 所以323232a n -3a n +1-
2、（1）由题意，令m=2，n=1，可有a 3=2a2﹣a 1+2=6
再令m=3，n=1，可有a 5=2a3﹣a 1+8=20
*（2）当n ∈N 时，由已知（以n+2代替m ）可有
a 2n+3+a2n ﹣1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1﹣a 2（n+1）﹣1]﹣（a 2n+1﹣a 2n ﹣1）=8
即b n+1﹣b n =8
∴{bn }是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{bn }是首项为b 1=a3﹣a 1=6，公差为8的等差数列 则b n =8n﹣2，即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n﹣2
另由已知（令m=1）可有
a n =﹣（n ﹣1）． 2
∴a n+1﹣a n =
n ﹣1﹣2n+1=﹣2n+1=2n 于是c n =2nq．
当q=1时，S n =2+4+6++2n=n（n+1）
012n ﹣1当q ≠1时，S n =2•q +4•q +6•q +…+2n•q ．
两边同乘以q ，可有
qS n =2•q +4•q +6•q +…+2n•q ．
上述两式相减，有
（1﹣q ）S n =2（1+q+q+…+q
=2•﹣2nq n 2n ﹣1123n ）﹣2nq n
=2
•
∴S n =2• 综上所述，S n = ．
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