线性方程组的求解

目录

摘要 ................................................................................................ 1 一．用列主元消去法解方程组 ................................................................... 2 1．问题的提出 ......................................................................................................................... 2 2．问题的分析 ......................................................................................................................... 2 3．问题的解决 ......................................................................................................................... 3 二．编写一个列主元消去法求逆矩阵的程序 ................................................... 4 1．问题的提出 ......................................................................................................................... 4 2．问题的分析 ......................................................................................................................... 4 3．问题的解决 ......................................................................................................................... 5 三．用LU分解法解方程组Axb ............................................................. 5 1．问题的提出 ......................................................................................................................... 5 2．问题的分析 ......................................................................................................................... 5 3．问题的解决 ......................................................................................................................... 6 四．用改进平方根法解方程组 ................................................................... 7 1．问题的提出 ......................................................................................................................... 7 2．问题的分析 ......................................................................................................................... 7 3．问题的解决 ......................................................................................................................... 8 五．用追赶法解方程组 ........................................................................... 9 1．问题的提出 ......................................................................................................................... 9 2．问题的分析 ......................................................................................................................... 9 3．问题的解决 ....................................................................................................................... 10 六．分别用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法解方程组 ................................... 11 1．问题的提出 ....................................................................................................................... 11 2．问题的分析 ....................................................................................................................... 11 3．问题的解决 ....................................................................................................................... 12 参考文献 ......................................................................................... 14 个人体会 ......................................................................................... 15 附录：程序代码 ................................................................................. 16

摘要

在科技研究和工程技术所提出的计算问题中，经常会遇到线性方程组的求解问题，这里主要是有关线性方程组的直接解法。解线性方程组的直接法是用有限次运算求出线性方程组 Ax=b 的解的方法。线性方程组的直接法主要有Gauss消元法及其变形、LU(如Doolittle、Crout方法等)分解法和一些求解特殊线性方程组的方法（如追赶法、LDLT法等）。这里主要有列主元消元法,LU分解法,改进的平方根法，追赶法和雅可比迭代，高斯—塞德尔迭代 的构造过程及相应的程序。线性方程的解法在数值计算中占有极重要的地位，因此，线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一。

关键词：列主元消元法；LU分解 ；改进平方根法；追赶法；雅可比迭代；高斯—塞德尔迭代

一．用列主元消去法解方程组：

1．问题的提出：

x1x22x3x48x1x23x44

2x2x3x3x202xxxx1

11234234

（1） （2）

3x1x2x32x43x1x2x32x12x23x3x44x1x24x33x44

2．问题的分析：

列主元消去算法主要分为两个过程：消去过程和回代过程

1． 消去过程

对k1,2,,n1

(1)选主元 找ikk,，n,使a

(k)ikk

(k)

aik kin

(k)

(2)若aikk0则停止计算（detA=0）

(3)若ikk 则换行EkEik （4）消元

对i=k1,,n1



lik

(k)

aik(k)akk

对jk1,,n1 aij

(k1)

(k)(k)

aijlikakj

2.回代过程

（1）若ann0则停止计算（detA=0） (2) xn

(n)

an,n1(n)ann

(n)

（3）对in1,,1

)ai(,nn1

xi

ji1

(n)aii

aij(n)xj

n

3．问题的解决：

11034（1）解：对于A(1)|b

=A|b=21111

31123

 1234

第1步选列主元为a(1)

313,i13，作变换E1E3，然后计算

l2120.667， l3110.333，l411

0.333

再作变换

E2l21E1E2,E3l31E1E3,E4l41E1E4,

31123A

(2)

|b(2)

=01.6670.3330.333301.3330.3332.3335 01.6672.6670.3333

第2步，对A(2)

选列主元为a(2)

22

31.667，i22，计算

l4

32

5

0.8， l421， 再做变换(E3l32E2)E3，(E4l42E2)E4，得到

31123A

(3)

b(3)

05/31/31/33009/1539/1513/5 00300

消去过程结束，回代计算得到解

x11x22x30

x41

所以原方程组的解为X(1,2,0,1)T

。



11

2

18

（2）解：对于

A

(1)

|b

A|b

22

3320

11102 

11434

得到

第1步选列主元为a21

(1)

， 2，i12,作变换E1E2,然后计算l21l31l411再作变换E2l21E1E2,E3l31E1E3,E4l41E1E4，得到

A

(2)

|b(2)

223320



1/21/2200

 021/23/28005/29/214

(2)

第2步，对A

(2) 选列主元为a322,i23,作变换(E2)(E3)得到

A

(3)

b(3)

223320021/23/28 001/21/22005/29/214

(3)

第3步，对A

(3)

选列主元为a435/2,i34，作换行(E3)(E4)，计算l431/5，作

变换(E4l43E3)E4，则(A

(4)

223320



8021/23/2

|b(4))

005/29/2140002/54/5

消去过程结束，回代计算得到x17所以原方程组的解为X(7,3,2,2)

T

x23x32x42

二．编写一个列主元消去法求逆矩阵的程序，并用以求如下矩阵的逆矩阵。

1．问题的提出：

152

A283

136

2．问题的分析：

设A是n阶非奇异矩阵，则A1 存在，令 A1X(X1,X2,,Xn)

则

AXE

其中， E  ( 1 , E 2 ,  , E n )是单位矩阵 E

从而 ( AX 1 , AX 2 ,  , AX n )  ( E 1 , E 2,  n ) ,E即 AX k k , k  1 , 2 , , n  E

求解上述n个方程组时，将它们的增广矩阵 ( A k )合并后有 ,E

a11a1ra1n100 

(A,E)ar1arrarn010





a aa001nrnnn1

按列选主元无回代高斯消元法得 100b11b1r

 

(E,B)(E1,E2,,En,B1,B2,,Bn)010br1brr



001bb

n1nr

显然列向量 B k  E k , k  1 ,2 ,  , n 的解。 AXk是方程 因此 A1B

b1n

brn

bnn

3．问题的解决：

1521



解：由上述过程可得283B1=0，

1360

1520

283B30，解得BB11361

1520

283B21， 1360

0.2030.0320.05

B30.0320.110.06

0.050.060.128

B2

0.2030.0320.05

1

0.110.06 所以A0.032

0.050.060.128

三．用LU分解法解方程组Axb

1．问题的提出：

48240124242412124

A b2 06202

626216

2．问题的分析：

求解线性方程组的LU分解法：将系数矩阵A分解成两个三角矩阵的乘积，

即: A=LU的形式

其中，L为下三解矩阵，U为上三解矩阵，则线性方程组:Ax=b 可改写为 LUx=b 令 Ux=y 得 Ly=b

然后，用前代方法求Ly=b得列矩阵y,再用回代方法求Ux=b，得到的列矩阵x即为所求的线性方程组的解.

3．问题的解决：

1l21

解：设L

l31l41u11ulLU1121

ul1131ul1141

1l32l42

1l43u12

u12l21u22u12l31u22l32u12l41u22l42

u11

U 



1

u13

u13l21u23

u13l31u23l32u33u13l41u23l42u33l43

u12u22

u13u23u33

u14u24

得到 u34u44

u14

u14l21u24

u14l31u24l32u34

u14l41u24l42u34l43u44

4824012

24241212

06202

66216

解得：

010.5100L00.5100.1250.250.0711

subma(tMri0x3811)

0048240

012126U

0014100012.929

12

令Uxy，AxLUxb,Lyb，

1y144



y0.51462

= 解得 y0y0.5125

30.1250.250.0711y23.357412x14482400.521

x1212661.0062

 解得x-0.376 141x35

12.929x43.357-0.26

所以原方程组的解为X0.5211.0060.3760.26。

T

四．用改进平方根法解方程组：

1．问题的提出：

用改进平方根法解下列方程组： （1）Axb

0.500000.51

0.51.50.50.250.2500000.51.50.250.250

 b A

0.250.251.50.5000

000.250.250.51.50.5000000.50.5

（2）Axb

0.352.002.000.350.351.002.001.352.001.352.001.000.350.352.002.000.352.00

2.0012.002.001.350.351.002.000.350.35

2.002.000.350.352.001.000.351.3512.00

Ab2.000.350.351.002.001.350.352.002.00

0.350.352.002.000.351.352.001.002.00

2.002.001.350.351.002.000.350.352.00

2.002.002.000.350.352.001.000.351.35

2．问题的分析：

平方根法主要用于求解对称正定矩阵方程：首先要提到的是关于正定矩阵的定理，说的是若A为n阶地对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵L，使A=LL’（L’表示L的对称矩阵）。根据这个前提，在结合前面的LU分解算法，便有了平方根算法。平方根算法的计算量约为普通三角分解算法的一半，但由于这里要用到开平方，效率不是很高，所以，便有了为效率而存在的改进的平方根算法。 对称矩阵分解法（改进平方根法）如下：

设对称矩阵，存在分解式ALDU，因A对称矩阵，即 AAT得

AATLDUUTDLT，由分解的唯一性得ULT,LUT，ALDLT

T

于是可得对称矩阵A的LR分解式

因此完成三角分解ALR，只需计算出R的元素，然后由

由紧凑格式计算公式得

，求出L的元素。

（4.21）

(4.22)

(4.23)

公式（4.21）（4.22）（4.23）为改进平方根法的计算公式。

3．问题的解决：

（1）解：由（4.21）可计算出

00000

由（4.22）可计算出 由（4.23）可计算出

10

11

00.5L

00.2500

00.25

0010.10

00010

00001



0.10.2982.5961

110.5y

0.200.14

2.311.310.47x

0.1580.3640.14

T

所以原方程组的解为X2.31,1.31,0.47,0.158,0.364,0.14 （2）解：由（4.21）可计算出

00000001

0.51000000

1000000.1750

0.1750.3330.96910000L

100.4850.3271000

10.4240.9380.4161001

0.17500.4550.9810.1230.316100.6750.3330.8270.240.7220.6070.0291

由（4.22）可计算出 y2312.351.3165.5614.6958.8531.763

T

由（4.23）可计算出 x0.75所以原方程组的解为X0.75

-0.5-0.5

3.253.25

-0.5-0.5

0.750.75

-0.5-0.5

3.253.25

T

-0.5 T

-0.5

五．用追赶法解方程组：

1．问题的提出：

用追赶法解方程组：

2x1x25

x2xx12123

（1）

x22x3x411x32x41（2）Axb

04127

1411515141

 b A1010



0151411415

2．问题的分析：

矩阵Doolittle分解形式b1a2

追赶法构造过程：追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。追赶法充分

c1b2

c2an1bn1

an

1p2cn1

bn

1

p3

1pn

q11q22

n1

1qn

利用了系数矩阵的三对角特点，而且使之分解更简单,得到对三对角线性方程组的快速解法。

计算公式为：

y1d1

由矩阵乘法及相等定义，有：ykdkpkyk1k2,3,,n

qnyb1x1nqnpqkca，q)qb12kck1(k2,3,,n)x(ynn,11k,，1,1kkkkkxk1kpkkk于是得计算L的元素pi及U的qi和i的计算公式，为：综合以上，求解出Doolittle分解的计算公式：

可由Lyd及Uxy解出。

追赶法较简单，计算量、乘除法次数仅有5n4。追赶法的特殊求解过程，节省了计算时间和存贮空间，但是因为追赶法来源于Gauss消元法，因此也存在Gauss消元法的缺点，即当qk0时不能进行。

qqbby1d11111，pqkpaak1kkk1

bkcpk2,3,,nq1k2,3,,n)kk1k1kck(ydykqkkbkkpk11ynqn，xk(ykckxk1)qk，kn1,,1nx若记d(dd2,,dn)T表示Axd，当ALU时，用这组公式解线性方程组的方法亦称为追赶法。

3．问题的解决：

21005121012

（1）解：A 由LU=A得 b012111

00121

1pLU2



1p3

q11

r1q2

r2

q3

0210



1210A r30121q40012

1p4

1



10.5

L0.6671

0.751

由Ly=b得y(5

21

1.51

U

1.3331

1.25

T

9.54.6672.5)T；由Ux=y得x1352

所以原方程组的解为X135（2）解：

由LU=A得

2

T

1

00.251L

0.2671

 0.2681

00.2681

4

103.751

U

3.7331

3.732

103.732

由Lyb得

y2721.7520.820.57120.51220.49620.49220.49120.49由Ux=y得

x8.7067.8237.5867.5227.5037.4917.4627.3566.9625.49T

所以原方程组的解为

X8.7067.8237.5867.5227.5037.4917.4627.3566.9625.49T

。

六．分别用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法解方程组：

1．问题的提出：

2x1x210x311

3x2x38x4

1110x1x要求精度为0.5e-4 22x36x111x2x33x425

2．问题的分析：

（1） .雅可比迭代法:

设线性方程组Axb (1) 的系数矩阵A可逆且主对角元素a11,a22,,ann均不为零,令 Ddiag(a11,a22,,ann）

并将A分解成

AADD (2) 从而(1)可写成

DxDAxb 令xB1xf1

20.49

T

其中B1ID1A,f1D1b. (3)

以B1为迭代矩阵的迭代法(公式)

x(k1)B1x(k)f1 (4)

称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为

n(k1)(k)aiibiaijxjxi

j1 （5） 

i1,2,,n,k0,1,2,

其中x

(0)

(0)(0)

x1(0),x2,,xn



T

为初始向量.

(k1)

由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放x及x

（2）. 高斯—塞德尔迭代法: 的所有分量,显然在计算第i个分量xi的第k1次近似x的分量（Gauss-Seidel）迭代法.

把矩阵A分解成

k1

(k)

.

(k)

由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用x

k1

的全部分量来计算x

k1

(k1)

没有

被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来

时,已经计算出的最新分量x1

,...,xi1

k1

xj

k1

加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德

ADLU (6)

其中Ddiaga11,a22,...,ann,L,U分别为A的主对角元除外的下三角和上三

角部分,于是,方程组(1)便可以写成

即 其中

DLxUxb

xB2xf2

B2DLU,

1

f2DLb (7)

1

以B2为迭代矩阵构成的迭代法(公式)

xk1B2xkf2 (8)

称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为

(9)

由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出xi

k1



x

(k1)i

i1n1(k1)

biaijxjaijx(jk)

j1ji1aii

i1,2,n,k0,1,2,...

k

后xi

k

不再使用,所以用xi

k1

冲掉xi

,以便存放近似解.

3．问题的解决：

（1）.用雅可比迭代法求解下列方程组

解：将方程组按雅可比方法写成

x10.5x25x35.5

x0.33x2.67x3.67234

x35x10.5x23x40.33x13.67x20.33x38.33

取初始值x

(0)

T(0)(0)(0)

x1(0),x2,x3,x4=0,0,0,0按迭代公式



T

x1(k1)0.5x2(k)5x3(k)5.5

(k1)

(k)(k)

0.33x32.67x43.67x2

(k1)(k)(k)

5x10.5x23x3

(k1)(k)(k)(k)

0.33x13.67x20.33x38.33x4

解：取初始值x

(0)

(0)(0)(0)

x1(0),x2,x3,

x4，按迭代公式



T

x1(k1)0.5x2(k)5x3(k)5.5(k1)

(k)(k)

0.33x32.67x43.67x2

(k1)(k1)(k1)

5x10.5x23x3

(k1)(k1)(k1)(k1)

0.33x13.67x20.33x38.33x4

数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的.

参考文献：

[1] 杨大地,涂光裕.数值分析.重庆大学出版社.1998年1月 [2] 韩国强.数值分析.华南理工大学出版社.2005年3月 [3] 李有法.数值计算方法.高等教育出版社.1996年12月

[4] 关治，陆金甫.数值分析基础.高等教育出版社.1998年5月

个人体会：

通过这次数值计算综合训练，我从中学到了很多的东西，最重要的一点就是，我对数值计算的思想有了更深层次的认识，同时，也对C及MATLAB在编程方面更熟悉了一些。我做的主要是有关线性方程组求解问题，解线性方程组的直接法是用有限次运算求出线性方程组 Ax=b 的解的方法，主要有Gauss消元法及其变形、LU(如Doolittle、Crout方法等)分解法和一些求解特殊线性方程组的方法（如追赶法、LDLT法等）。我感觉到数值计算是一门应用性很强的基础课程。同时，在编程的过程中我遇到了很多的的问题，经过这次的训练，我解决了一些主要的问题，还有一些问题急待解决。我想在以后的学习中，我一定会将它们很好的解决的。

附录：程序代码：

1．程序代码：

function x=gauss2(A,b) n=length(b);A=[A,b]; for k=1:(n-1)

[Ap,p]=max(abs(A(k:n,k)));p=p+k-1; if p>k,

t=A(k,:);A(k,:)=A(p,:);A(p,:)=t; end

A((k+1):n,(k+1):(n+1))=A((k+1):n,(k+1):(n+1))... -A((k+1):n,k)/A(k,k)*A(k,(k+1):(n+1)); A((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); end

x=zeros(n,1);

x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); for k=n-1:-1:1

x(k,:)=(A(k,n+1)-A(k,(k+1):n)*x((k+1):n))/A(k,k); end

2．程序代码： # include "stdio.h" # define M 3

void main ( ) {

float MAT[M][2*M]; float MAT1[M][M]; float t; int i,j,k,l;

/***********************************************/ /*对矩阵进行初始化*/ for(i=0;i

for(j=0;j

/*对MAT1矩阵赋初值 */

for(i=0;i

scanf("%f",&MAT1[i][j]); /*打印目标矩阵?*/ printf("原矩阵为：\n"); for (i=0;i

for (j=0;j

/********************************************/

/*对MAT1矩阵进行扩展,MAT1矩阵添加单位阵，由M*M变成2M*2M矩阵 for(i=0;i

if (j

/*对M矩阵进行变换，使得前半部分矩阵成为单位阵，则 */ /*后半部分矩阵即为所求矩阵逆阵 */ for(i=0;i

/*对第i行进行归一化 */ for (j=0;j

MAT[i][j]=MAT[i][j]+MAT[k][j]; t=MAT[i][i];

for(j=i;j

/*对矩阵进行行变换，使得第i 列只有一个元素不为零，且为1*/ for(k=0;k

t=MAT[i][k];

for (l=i;l

MAT[k][l]=MAT[k][l]-MAT[i][l]*t; } }

/*将后半部分矩阵即所求矩阵逆阵存入MAT2矩阵。*/ for(i=0;i

for(j=0;j

MAT1[i][j]=MAT[i][j+M];

*/

printf("\n"); }

/*********************************************/ /*输出所求的逆阵*/ printf("逆阵为：\n"); for(i=0;i

for(j=0;j

printf("%5.2f",MAT1[i][j]); printf("\n"); } }

3．程序代码： #include #include #include

int LUTriangle(double** a, double* b, int n); void Solve(double** a, double* b, int n);

void main() {

double **a, *b; int i, n;

n=3;

a = malloc(n*sizeof(double *)); for (i=0;i

a[i]=malloc(n*sizeof(double)); b = malloc(n*sizeof(double));

a[0][0]=2; a[0][1]=0; a[0][2]=0; a[1][0]=3; a[1][1]=1; a[1][2]=0; a[2][0]=0; a[2][1]=4; a[2][2]=1; b[0]=2; b[1]=4; b[2]=5;

if (LUTriangle(a, b, n)==1) { Solve(a, b, n); for (i=0; i

{ printf("%f ",b[i]); }

printf("\n"); } else

{ printf("This is a singular matrix!\n"); }

for (i=0;i

getchar(); }

int LUTriangle(double** a, double* b, int n)

{ //LU Factorisation, coded by www.dayi.net btef (please let this line remain) int maxI, ii, i, j;

double maxV, d1, *temp;

//Find the row with the max element in column ii for (ii=0; ii

{ maxV = fabs(a[ii][ii]); maxI = ii;

for (i=ii+1; i

{ if (fabs(a[i][ii])>maxV) { maxV = fabs(a[i][ii]); maxI = i; } }

//If the max element = 0, this matrix is singular, return if (maxV==0.0) { return(0); }

//Possibly, exchange rows so that row ii got max element if (ii!=maxI)

{ temp = a[maxI]; a[maxI] = a[ii]; a[ii] = temp; d1 = b[ii];

b[ii] = b[maxI]; b[maxI] = d1; }

//Gauss elemination for (i=ii+1; i

a[i][ii] = d1; //update element in Lower triangle for (j=ii+1; j

}

}

return(1);

}

void Solve(double** a, double* b, int n)

{

int i, j;

double d1;

//Solve Lower triangle

for (i=1; i

{ d1 = 0.0;

for (j=0; j

{ d1 += a[i][j]*b[j];

}

b[i] -= d1;

}

//Solve Upper triangle

b[n-1] /= a[n-1][n-1];

for (i=n-2; i>=0; i--)

{ d1 = 0.0;

for (j=i+1; j

{ d1 += a[i][j]*b[j];

}

b[i] = (b[i]-d1)/a[i][i];

}

}

5．程序代码：

Clear[a,b,c,a,x];

n=Input["线性方程组阶数n="];

a=Input["三对角系数向量a="];

b=Input["三对角系数向量b="];

c=Input["三对角系数向量c="];

d=Input["三对角常数项向量d="];

eps1=0.00001;

t=1;

Do[If[Abs[b[[k-1]]]

a[[k]]=a[[k]]/b[[k-1]];

b[[k]]=b[[k]]-a[[k]]*c[[k-1]];

d[[k]]=d[[k]]-a[[k]]*d[[k-1]],

{k,2,n}];

x=Table[0,{n}];

If[t==1,

x[[n]]=d[[n]]/b[[n]];

Do[x[[k]]=(d[[k]]-c[[k]]*x[[k+1]])/b[[k]], {k,n-1,1,-1}] ];

Print["Ax=d的解为 " , x]

6．程序代码：

jacobi程序：

function x=jacobi(A,b,x0,e,N)

D=diag(diag(A));G=-inv(D)*(A-D);d=inv(D)*b;

k=0;x=x0;x0=x+2*e;

while norm(x0-x,inf)>e&k

k=k+1;

x0=x;x=G*x0+d;

end

if k==N, warning('already reach maximum number of iteration.');end

gauss-seidel程序：

function x=gauss-seidel(A,b,x0,e,N)

AL=tril(A);G=-inv(AL)*(A-AL);d=inv(AL)*b;

k=0;x=x0;x0=x+2*e;

while norm(x0-x,inf)>e&k

k=k+1;

x0=x;x=G*x0+d;

end

if k==N, warning('already reach maximum number of iteration.');end


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