第23卷第3期2003年6月黄 冈 师 范 学 院 学 报JournalofHuanggangNormalUniversity.23No.3Vol
Jun.2003
卢瑟福散射公式的几种推导方法
尹建武
(黄冈师范学院物理系,湖北黄州438000)
摘要:讨论并比较了卢瑟福散射公式的几种推导方法,加深了对卢瑟福散射公式的理解.关键词:卢瑟福散射公式;推导;经典力学;量子力学;场论
中图分类号:O562 文献标识码:A 文章编号:100328078(2003)0320031204
ThemethodsofderivingtheRutherfordscatteringformula
YINJian-wu
(Dept.ofPhysics,HuanggangNormalUniversity,Huangzhou438000,Hubei,Ch)
Abstract:Thispaperdiscussesandcomparesthemethodsscatteringformula,anddeepensourunderstandingofthisformu.
Keywords:Rutherfordscatteringformula;;quantummechanics;fieldtheory
,而且这种以散射为手段研究物质结构.而今在粒子物理的研究领域,用散射的方法研究深层次,就是以是否能观察到卢瑟福散射所具有的特征为判断依据的.可见,卢.本文将对卢瑟福散射公式的经典力学的、量子力学的和量子场论的推导进行研究比较,使我们对这一著名实验及其表征实验特性的公式有一个完整的理解.
1 经典力学的推导
在用经典力学的方法讨论卢瑟福散射问题时,要用到在物理学中的一个很重要的公式——库仑散射公式:
b=ctg (a≡称之为库仑散射因子)
224ΠΕ0E
其中,b是瞄准距离(又称碰撞参数),即入射粒子与固定散射体无相互作用情况下的最小直线距离.Η为散射角(如图1).
2
下面先给出此公式的简明推导:
如图,荷电z1e的粒子以速度v入射,在r处受力
→→→00
F=2r, (r为r方向的单位矢量)4ΠΕ0r→
2
→→
图1 带电粒子的库仑散射
取x轴水平向右,y轴竖直向上,此力沿x轴、y轴方向的分量为:
Fx=, Fy=.2cosΥ2sinΥ4ΠΕ4ΠΕ0r0r
2
2
库仑力是保守力和中心力,故运动过程中入射粒子机械能和角动量守恒:
收稿日期:2002210228.
作者简介:尹建武,男,湖北罗田人,副教授,主要从事粒子物理的研究.
・32・黄 冈 师 范 学 院 学 报第23卷
2
mv初=22
mv末]v初=v末=v,2
2
2
mvb=mr]dt=dΥ.
dtvb
在y方向,由牛顿运动定律,有:
2
m=Fy=]dvy=dΥ=sinΥdΥ,2sinΥ2sinΥdtvb4ΠΕ4ΠΕ4ΠΕ0mvb0r0mr
2
2
2
,Υ角的变化范围为:0→Π-Η,y方向速率变化范围为:0→vsinΗ
∫
vsinΗ
dvy=
4ΠΕ0mvb
2
sinΥdΥ
2
2
2
Π-Η
(1+cosΗ)]vsinΗ=
4ΠΕ0mvb
]b==ctg=2
sinΗ2×4ΠΕ24ΠΕ0E0mv
其中 a≡4ΠΕ0E
2
2
ctg
,2
下面再推导卢瑟福散射公式:
→Η+dΗ之间的立体角内.b→b+db之间的环状区域内入射的粒子散射到Η
设薄箔面积为A,厚度为t,则:
一个粒子打在距一个原子b→b+db:
2
)(2()-=ctgcscAA22224416Asin
22
薄箔中有nAt个原子核,即有nAt,t个原子核的环上的几率为:
nAt.16Asin
2
→Η-dΗ之间的立体角内的粒子数为:NΗ
4
=dp(2
dN′=N
2
16Asin
2
4
nAt=ntN
2
16sin
4
2
)=ntN(
4ΠΕ4E0
2
2
4
sin
2
4
2
2
)定义微分散射截面: Ρc≡≡=(
d8Nntd84ΠΕ4E0
,这就是著名的卢瑟福散射公式.
sin
2
从上面的推导可以看出,用经典力学的方法推导卢瑟福散射公式时,关键是推导出库仑散射公式.而库仑散射公式的推导方法在不同的书籍中不尽相同[1,2,3],我们这里给出了一种简明的方法.
2 量子力学的推导[4]
高速带电粒子带电z1e(如Α粒子)被一中性原子(其核带电z2e)散射,考虑屏蔽效应,有
U(r)=--a
e4ΠΕ0r
2
由Born近似公式得:
2
)=Ρ(Η
224
224
24∞-2
)=可求得:Ρ(Η sin(Kr)eadr =2222,(4Π(4Π0ΕΕa)0)k∂0)∂(K+1
242
222()=)当Ka=2kasinµ1时,Ρ(Η这就是卢瑟福散射公式.244=(4Π24ΠΕ4EΕ00)∂K4sin
2
此外,还可用球坐标和抛物线坐标来讨论卢瑟福散射问题,详细讨论参见文献[5].
k∂
2
2
∫
∞
2
rU(r)sin(Kr)dr ,
∫
第3期尹建武:卢瑟福散射公式的几种推导方法・33・
3 量子场论的推导[6]
).考虑一个带电费米子被外场(经典场)散射,入射态为(p,r),出射态为(p′,r′
δe{哈密顿密度为HI=eN(7(x)A(x)7(x)),
Λee
其中Aδe(x)=Χ.AΛ(x), A为外场
考虑一级效应:
Sfi=-(1)
4{(x)Aδe(x)7(x)br+ 0>(p′)N7iedx
=-
∫
iedx
4
→
→
{)N70 br’(p′
→
(+)
δe
A(x)7(x)br
→
(+)
0>
→
)(-=θur’(p′
Λe
ieΧ)aΛ(p′-p)ur(p)
,
→
图2 带电费米子被外场散射
aΛ(p′-p)=
e
→→
A
∫
Λ
e
-p) x4
(x)p′.
→→→
对于静电场:
-Λe
ieΧaΛ(p′-p)=-(1)
→→
-pΠ-E-p)=eΧU(p′
→→→
∫
(-p) x
d3xU(x)eip′,
→→→
fi(p′)Χ(E-EU(p′-p)θur′0ur(p),
→
→
→→)2
)2∆E′(p′)Χ -E)∆(0) U(p′-p) 2θur′ie(20ur(p),(∆(E′-E)∆(E′-E)=∆(E′-E)∆(0))
→→^()2δ2
)2∆(0) U(p′ Sf1-p) 2tr[Χ+m)]i =e(2Π0(p+m)Χ0(p′22f
)2∆(0) U(p′=e2(2Π-p) 2
)∆(0)=lim=(2E+m-p p′
T→∞2Π
2
2
→→
→→
2-22
limdt=
2
T→∞
→→2E2+m2-p p′2Π
=E-
2
→2
2
p+E+pcosΗ=2E(1-3
→2
vsin
),2
故单位时间内末态粒子跃迁到动量空间dp′内的几率为
dwfi=
=
T
→
2Αf
22
3 T(fi)
(2Π)32E
2
→
→→∆(E′-E) U(p′-p) 2(1-v2sin2)d8.Π2→
→2
→
→
→
)(用到了d3p′=p′dp′d8, p′ d p′ =E′dE′
在实验室坐标系中,粒子流强度为微分截面对于静电场
2Ev=2 p ,
→
22→→′() 2(1-v2sin2)d8,dΡ== Up′-p22p24Π
U(x)=
4Π x
→
]U(p′-p)=
→→
p′-p) 2
→
→
=
4psin
2
2
2
,
・34・黄 冈 师 范 学 院 学 报第23卷
dΡ=(
2
22
8ΠEvsin
2
)2(1-v2sin2
2
)d8,2
取非相对论近似,得:dΡ=(
22
8ΠEvsin
2
)2d8.
4 三种方法的比较
以上给出了卢瑟福散射公式的三种推导方法,下面我们对三种方法进行一些比较讨论.可以看出,经典力学方法着眼于若干粒子组成的系统,这里是两个粒子组成的系统,导出这两个粒子的库仑散射公式是关键,推导库仑散射公式有理论力学的微分方程方法,也有象这里给出的仅利用牛顿定律就能解决问题的简易方法.导出了这一关于一个粒子的散射公式,则大量粒子的散射问题——卢瑟福散射公式就可用大量粒子叠加的方法推出;量子力学中的Born近似方法必须考虑到核外电子的屏蔽效应,而实际散射时核外电子的屏蔽效应也的确存在,此方法对短程势才适用;量子场论方法则从场观点出发,考虑两个粒子相应的场之间的相互作用,而场则是由大量粒子所组成,这是最接近实际散射情况的,所得结果是相对论性的,因而也就更为精确,在非相对论情形下才过渡为卢瑟福散射公式.通过上述比较可知,现代关于粒子之间通过场相互作用的观点既在理论上提高了人们对于物质相互作用的认识,又在实际计算上给出了更一般性的结果.
参考文献:
[1] 周衍柏.理论力学教程[M].北京:人民教育出版社,1979.83～[2] [西德]HakenH,WolfHC.[,27～28.[3] 杨福家.原子物理学(第三版)[M].,.～18.[4] 周世勋.量子力学教程[M].:186～189.[5] 曾谨言.)].:2000.563～575.[6].北京:1980.171～175.
(上接第21页)
定理8 设〈X;3,0〉是一个拟结合BCH2代数.利用已知运算“3”,在X规定一个加法“+”,即Πx,y∈X,定义:x+y=03(x3y),则(X,+)是一个交换半群.
证明 显然所定义的加法是X中的一个二元运算.下面证明(X,+)满足交换律与结合律.交换律成立.由定理2得,x+y=03(x3y)=03(y3x)=y+x.结合律成立.由定理1及定理2得:(x+y)+z=(03(x3y))+z=03
=(03(x3y))3(03z)==((03y)3(03z))3x==03((03(y3z)3x)=参考文献:
[1] 李金龙.M2～32.BCI2代数[J].汉中师院学报,1987,(1):26[2] 胡庆平.BCI2代数[M].西安:陕西科学技术出版社,1987.
[3] HuQingping,Lixin.OnBCH2algebras[J].MathSemNotes,1983(11):313～320.[4] 孟 杰,刘用麟.BCI2代数引论[M].西安:陕西科学技术出版社,2001.
((03(x3y))3z)=(03(03(x3y)))3(03z)
(03(y3x))3(03z)=((03y)3x)3(03z)(03(y3z)3x=(03(03(y3z)))3x
(03(y3z))+x=x+(03(y3z))=x+(y+z).