第２８卷第３期２００８年６月
桂林电子科技大学学报
Ｊ仰ｍ蚰ｏｆＧｕｍｎＵｎｉｖｅ噶ｉｔｙ
ｏｆＥＩｅｃｔｒｏｎｉｃ
Ｖ０１．２８，Ｎｏ．３
Ｔｅｃｈ∞Ｉ哩ｙＪｕｎ．２００８
一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
杨晓辉，陈克东
（桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林５４１００４）
摘要：利用二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系效法，得到求一类特殊形式的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的公式。这些公式很有规律性，并可以简化求特解的问题．关键词：微分方程；特征方程；特解中图分类号：０１７５．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３—８０８Ｘ（２００８）０３．０２６１一０３
Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ
ａ
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求二阶常系数非齐次线性微分方程冥中Ａ，日，Ａ，∞均为常数。它所对应的线性齐次方程的特征方程为
ｒ２＋ｐ，－＋ｇ＝Ｏ，
（２）
少＋缈７＋ｇｙ—ｅｋ（Ａｃｏｓ以ｚ＋Ｂｓｉｎ叫ｚ）
的特解时，不少教材中常用的方法是待定系数法，例如文献［１—２］．本文在文献［３］基础上提供了一种直接定出此类特殊形式微分方程特解的方法，它省去了一般教材上所介绍的先设出含有待定系数的特解，再求其一阶和二阶导数代入原微分方程，化简之后，再通过比较方程两边同类项的系数，然后建立代数方程组，最后确定待定常数的繁琐的计算过程。只要知道其特征方程，．２＋夕ｒ＋ｇ—ｏ的根的情况，就可由相应的求解公式得出原方程的特解。给出的求特解公式很有规律性，非常容易记忆。
如果设厂（，．）＝，＋户，．＋口，则原方程的特解形式有以下两种情况：
（１）当．：Ｉ＋缅不是特征方程的根时，则原方程特解为
ｙ‘＝Ｒｅ（志ｅｕ㈨１＋
ｚｍ（而‰∥叫；
㈣
（２）当Ａ＋汹是特征方程的单根时，则原方程特
解为
ｌ特解
１．１特解公式
设二阶常系数非齐次线性微分方程为
ｙ”＋户ｙ’＋ｇｙ＝Ｐｋ（Ａｃｏｓ∞ｚ＋Ｂｓｉｎ∞ｚ），（１）
ｙ‘＝Ｒｅ（死巷面硝抖叫＋
Ｉｍ（兀海丽√抖坳。）；
（４）
注：①特征根是虚担，虚根成对出现，不会出现Ａ＋汹
收稿日期：２００８一０３．０６
基金项目：广西“新世纪教改工程”课题（２００６—６８）
作者简介：杨晓辉（１９７２一），女，湖南益阳人。硕士，讲师，主要从事最优化理论与方法及基础数学教学与科研工作．
２６２
桂林电子科技大学学报２００８年６月
是特征方程的重根的情形。
②若Ａ、Ｂ其中一个为ｏ，计算更简便。
’
１．２公式的证明
文中只就Ａ＋抽是特征方程（２）的单根情形进行
证明，即证式（４）成立，其他情况类似可证。
首先由解的叠加原理，微分方程（１）的特解ｙ’可
看成方程解
ｙ”＋缈’＋秽＝Ａｅｈｃｏｓ∽解ｙ？及
ｙ”＋户ｙ７＋秽＝Ｂｅｈｃｏｓ叫ｚ的特解ｙ；叠加而成，
即
ｙ。＝ｙｆ＋ｙ≠．又由于ｅ＾ｒｃｏｓ甜ｚ，ｅｈｓｉｎ甜ｚ分别是
ｅ蚌抽＝ｅｋ（ｃｏｓ叫ｚ＋ｉｓｉｎ们）实部与虚部。记方程
ｙ”＋户ｙ’＋ｇｙ＝Ａｅ‘件Ｍ。，（５）ｙ”＋户ｙ’＋口ｙ—Ｂｅ‘１＋抽ｈ，
（６）
则方程（５）的解ｙｆ的实部是方程
少＋户ｙ’＋秽＝Ａｅ＾ｆｃｏｓ∞ｚ的解ｙ？，
方程（６）的解ｙ；的虚部是方程
少＋户ｙ７＋ｇｙ—Ｂｅｈｓｉｎ血垸的解以．
下面证方程（５）的特解为
ｙ卜死寿面残ｎ㈨。・
设Ａ＋汹是其特征方程（２）的单根，设微分方程（５）的特解为
Ｗ＝如ｅ‘¨御。，
则
（ｙｆ）７＝６ｅ‘１＋Ｍ。＋６（Ａ＋ｉ∞）肌‘川咖，
（ｙｆ）”＝２６（Ａ＋ｉ∞）ｅ‘件神。＋６（Ａ＋ｆ叫）２ｚｅ‘１＋汹。，
将以上各式代入方程（５），并加以整理，得
６［２（Ａ＋ｉ叫）＋户］ｅｕ＋‘咖＋６［（Ａ＋ｉ山）２＋
户（Ａ＋ｉ甜）＋ｇ］ｚｅ‘冲抽ｈ—Ａｅ‘１＋柚。，
比较等式两边系数得
＾一
。
生
２（．＝【＋ｉ∞）＋户＋
由于２（Ａ＋ｉ∞）＋户＝尸（Ａ＋ｉ∞），
所以，在Ａ＋洳是特征方程（２）的单根的情况下，方程（５）的特解为
ｙｆ
１
１一尸（Ａ＋ｉ∞）。‘
２死巷丽ｄ蚌抽ｈ，
’
取ｙｆ的实部便得方程ｙ”＋缈’＋掣一Ａｅ＾ｒｃｏｓ∞ｚ的解
ｙｉ．
．
同理，在Ａ＋汹是特征方程（２）的单根的情况下，方程（６）的特解为
ｙｆ＝死南∥件Ｍ。，
。２一尸（Ａ＋曲）。‘‘
’
取ｙ≠的虚部便得方程ｙ”＋力’＋秽一Ｂｅ＾ｆｓｉｎ∞ｚ的解
ｙ≠．故原方程的特解
ｙ。＝ｙｆ＋ｙ；，ｙｆ，ｙ≠分别取ｙｆ，ｙ；实部和虚部。即
（４）式成立。
２举例
下面三例题选自参考文献［２，４］．
例１
求方程ｙ”＋ｙ＝２ｓｉｎｚ的特解。
解：考虑方程ｙ”＋ｙ＝２ｅｈ的特解，由于Ａ＝ｉ是特征方
程ｒ２＋１一。的单根，运用求特解公式（４）：
ｙ；＝死最丽爿ｋ丢ｚｅ抽一
一ｉｚ（ｃｏｓｚ＋ｉｓｉｎｚ），
取ｙ；虚部得原方程特解为
ｙ。＝Ｉｍ歹ｉ南勰ｂ一一ｚｃｏｓｚ・
文献［２］解答是：由于ｉ是特征方程，．２＋１＝ｏ的单根，故所求特解应具有形式：
ｙ。＝ｚ（Ａｃｏｓｚ＋Ｂｓｉｎｚ），
将此式代入原方程，确定系数Ａ、Ｂ．
（ｙ。）’一（Ａｃｏｓｚ＋成ｉｎｚ）＋ｚ（一Ａｓｉｎｚ＋Ｚｋｏｓｚ）＝
（Ａ＋Ｂｚ）ｃｏｓｚ＋（Ｂ—Ａｚ）ｓｉｎｚ，（ｙ。）”一（２Ｂ～Ａｚ）ｃｏｓｚ一（２Ａ＋Ｂｚ）ｓｉｎｚ，（ｙ。）”＋ｙ。＝２Ｂｃｏｓｚ一２Ａｓｉｎｚ一２ｓｉｎｚ，
可求得Ａ＝一１，Ｂ＝ｏ．所求特解为ｙ‘＝一ｚｃｏｓｚ．
例２
求方程ｙ”＋ｙ’一２ｙ—ｅ。（ｃｏｓｚ一７ｓｉｎｚ）的特
解。
解：考虑方程ｙ”＋ｙ’一２ｙ—ｅ‘１＋‘Ⅻ，
少＋ｙ’一２ｙ＝一７ｅ‘件７虹
由于１＋ｉ不是特征方程，＋ｒ一２一。的根，运用求特
解公式（３）：
ｙｆ
２而寺面ｅｎ“ｈ＝
百干万干乞了面ｒ（ｃｏ缸＋诂ｉｎｚ）一
一紫以ｃ眦帕ｉ㈣，
取ｙｆ实部得
ｙ？＝Ｒｅ‘冗本面ｅｎ“ｈ）＝高（３８ｉｎｚ—ｃｏｓｚ）ｅ。・
ｙ；。而耳％ｅ‘１“ｈ＝
百干再了前了而ｒ（ｃ０８ｚ＋ｉｓｉｎｚ）５
巡≯以ｃ眦柚ｉｎ班
取ｙ≠虚部得
第３期
杨晓辉等：一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
２６３
ｙ；－Ｉｍ（耥ｅ（１＋。刁＝
南（ｓｉｎｚ＋３ｃｏｓｚ）ｅ。・
故原方程特解为
・
ｙ—Ｗ＋Ｗ＝（ｓｉｎｚ＋２ｃｏｓｚ）ｅ。．例３
解方程ｙ。＋４ｙ—ｓｉｎ２ｚ．由文献［４］给出的如下两种解答：
解法一（常数变易法）特征方程，．２＋４一ｏ，特征根，．一±２ｉ，对应线性齐次方程的通解
歹＝＝ｃｌｃｏｓ２ｚ＋ｃ２ｓｉｎ２ｚ．
变易常数，设多＝ｃｌｏ）ｃｏｓ２ｚ＋ｃ２０）ｓｉｎ弘，组成关于ａ（ｚ）和岛（ｚ）的代数方程组
ｆｃ；（ｚ）ｃｏｓ２ｚ＋ａ（ｚ）ｓｉｎ２ｚ—ｏ，
Ｉ一２ａ（ｚ）ｓｉｎ红＋２ａ（ｚ）ｃｏｓ红＝ｓｉｎ２ｚ，
ｆｑ（ｚ）＝（一１＋ｃｏｓ４ｚ）／４，
解得
１岛（ｚ）一ｓｉｎ４詈，
积分得．｛
一，，。
ｌｃ－（ｚ）一一詈＋ｓｉｎ４矗＋ｃ・，‘
一
ｌｃ２（ｚ）＝一ｃ０５４蠢＋ｃ２，
所以题设线性非齐次方程的通解为
ｙ—ｃｌｃｏｓ２ｚ＋ｃ２ｓｉｎ２ｚ一÷盘Ｉｃｏｓ２ｚ＋
去ｓｉｎ４ｚｃ０Ｓ２ｚ一矗ｃｏｓ４矧ｎ２ｚ＝
ｃ・ｃ。ｓ２ｚ＋ｃｚｓｉｎ２ｚ一｛ｚｃ。ｓ２ｚ＋击ｓｉｎ２ｚ—
ｃｌｃ∞２ｘ＋ｃ２ｓ珈２ｘ一÷ｘｃ０５２ｘ
解法二（待定系数法）考察题设方程，Ｐ（ｚ）＝１，口＝ｏ，ｐ一２，谬＝２ｉ是特征根，
故设特解ｙ。一ｚ（Ｃｃｏｓ２ｚ＋Ｄｓｉｎ２ｚ），将此式代入原方程得，
一４Ｃｓｉｎ２ｚ＋４Ｄ℃ｏｓ２ｚ兰ｓｉｎ２ｚ．
（７）
用赋值法确定待定系数Ｃ，Ｄ：取ｚ使ｃｏｓ２ｚ＝ｏ，则
ｓｉｎ２ｚ≠ｏ，由式（７）解得ｃ＝一÷；
同理取ｚ使ｓｉｎ２ｚ—ｏ，则，由式（７）比较系数，知Ｄ＝ｏ，
所以特解ｙ’一一÷ｚｃｏｓ２ｚ．
通解ｙ—ｃｌｃｏｓ２ｚ＋ｃ２ｓｉｎ２ｚ一÷ｚｃｏｓ２ｚ．
本文解法如下：
解法三考虑方程ｙ”＋４ｙ—Ｐ撕的特解，由于Ａ＝２ｉ是特征方程，．２＋４一Ｏ的单根，运用求特解公式（４）：
１
ｗ。死南∥ｋ
２一尸（Ａ＋ｉ∞）ｚ。
一
砉船２缸＝一言肠（ｃｏｓ２ｚ＋商ｎ２ｚ），
取Ｗ虚部得原方程特解为：
ｙ。一Ｉｍ‘歹刁芒Ｆ丽删撕）＝一寺矾ｏｓ２ｚ，
故所求线性非齐次方程的通解为
ｙ—ｃｌｃｏｓ缸＋ｃ２ｓｉｎ红一÷嬲ｏｓ２ｚ．３结论
由以上对比可知，欲求方程
少＋户ｙ＋ｇｙ＝ｅ＾ｆ（Ａｃｏｓ鱿ｃ＋Ｂｓｉｎ也拓）的特解，只要求方程
，＋户／＋口ｙ＝Ａｅ‘抖衲。
的解的实部以及方程
ｙ”＋户ｙ７＋ｇｙ＝Ｂｅ‘１＋‘－’２
的解的虚部相加即可。而求方程
ｙ”＋户ｙ’＋ｇｙ＝Ａｅ‘１＋抽ｈ
的解，只要知道其特征方程，．２＋户厂＋ｇ＝ｏ的根的情况，就可由相应的求特解公式（３）或（４）得出原方程的
特解。求一元二次方程ｒ２＋缈＋ｇ—ｏ的根非常容易。
因此，本文所给的求微分方程特解的方法，它省去教材上计算的繁琐过程，是此类二阶常系数非齐次线性微分方程的一种简便方法。
参考文献：
［１］
同济大学应用数学系．高等数学：下册［Ｍ］．５版．北京：高等教育出版社，２００２：３１１－３１６．
［２］东北师范大学微分方程教研室．常微分方程［Ｍ］．２版．北京；
高等教育出版社，２００５：１９７．１９８．
［３］王连昌。王锐。李文潮，赵清波．一类特殊形式的二阶微分方程
的特解［Ｊ］．第四军医大学学报，２００５（ｓ１）：３６．
［４］黄光谷。邹亚清．谭代富。方文波．高等效学学习指导与习题解析
（上册）［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，１９９９：３８３—３８４．
责任编辑林建玲英文编辑陆小明
一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
杨晓辉， 陈克东， YANG Xiao-hui， CHEN Ke-dong
桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004桂林电子科技大学学报
JOURNAL OF GUILIN UNIVERSITY OF ELECTRONIC TECHNOLOGY2008，28(3)0次
参考文献(4条)
1. 同济大学应用数学系 高等数学:下册 20022. 东北师范大学微分方程教研室 常微分方程 2005
3. 王连昌. 王锐. 李文潮. 赵清波 一类特殊形式的二阶微分方程的特解[期刊论文]-第四军医大学学报 2005(z1)4. 黄光谷. 邹亚清. 谭代富. 方文波 高等数学学习指导与习题解析 1999
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