一元二次方程基本解法，“降次”化为两个一元一次
有4种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m±√n.
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：一、此方程显然用直接开平方法好做，
二、左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7 ∵(3x+1)2=7 ∴3x+1=±√7 (注意不要丢解) ∴x=(﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=(﹣√7-1﹚/3
2 （2）解： 9x-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=(4±√11)/3
∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3 , x2=(4﹣√11﹚/3
222．配方法：用配方法解方程ax+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
x2+b/ax+( b/2a)2=- c/a+( b/2a)2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 当△=b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ∴x={﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a (这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= 2/3 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 2/3)²=2/3 +(2/3 )² 配方：
(x-2/3)²= 2/3 +(2/3 )² 直接开平方得：x-2/3=± √[2/3+(2/3 )² ] =± √10 /3 ∴x= 2/3± √10 /3 ∴原方程的解：x1=2/3﹢√10 /3 , x2=2/3﹣√10 /3 .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (△=b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5
b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
2(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 (3) 6x²+5x-50=0 (选） (4)x-4x+4=0（选）
解(1)：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
解(2)：2x2+3x=0→x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
注：做本题型时易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
解(3)：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时特注意符号不要错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。
解(4)：x2-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 x2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（可称为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式△的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（3种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。