利用正方形的性质探索线段的数量关系

正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多的线段之间的关系，历年中考题总会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系问题，求解时只要我们能充分利用正方形的特性，结合图形大胆的探索、归纳、验证即可使问题获解. 现以2009年中考试题为例解析如下：

例1如图1，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .

(1) 求证：DE －BF = EF．

(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．

分析：（1）考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，找出图中全等的直角三角形，得两线段的差等于某条线段，（2）利用相似找三角形的性质，然后根据对应边成比例来到处两线段的倍数关系，从而使问题获解.

评注：正方形是有一个角是直角的菱形；正方形又是对角线相互垂直的矩形；正方形是中心对称对称图形，也是轴对称图形. 正方形的对角线分其四个全等的等腰直角三角形.

例2已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．

（1）求证：EG =CG ；

（2）将图4中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图5所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问

（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图4中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图6所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

D 图5 D D 图6

图4

分析：要猜想EG 与CG 之间的大小关系，由正方形的图形特征，可以先证CG = FD，进而可以利用G 为DF 中点的知识或全等三角形的知识即可验证.

评注：求解本题中的问题一定要根据图形的特征，从中找到求解的最佳突破口. 要说明两条线段的关系应分别从数量和位置两个方面去考虑，否则就有可能出现错误.

20**年重庆中考数学考试内容与要求

2011年重庆中考数学考试内容与要求 (一)数与式(约75分) (1)有理数:理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小.借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).理解乘方的意义,掌握有理数的加减乘除乘方及简单的混合运算(以三步为主). ...

初中数学课程标准

<全日制义务教育数学课程标准> (修改稿) <全日制义务教育数学课程标准(修改稿)>修改说明 <全日制义务教育数学课程标准(修改稿)> 内容标准附录1 课程目标的术语解释附录2 内容标准中的案例 <全日制义务教育数学课程标准(修改稿)>修改说明根 ...

[全日制义务教育数学课程标准](最新修改稿)

反比例函数全章导学案

§26.1.1反比例函数的概念出题人:姜雪日期: 教学目标: 1．理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想 4．经历抽象反比例函数概念的进程,领会反比例函数的意义,理解 ...

新课程标准

小学数学 (2011版) 新课程标准第一部分前言数学是研究数量关系和空间形式的科学.数学与人类发展和社会进步息息相关,随着现代信息技术的飞速发展,数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面.数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具,不仅是自然科学和技术科学的基础,而且在人文科 ...

相似图形的性质教案2

相似图形的特征 (一)知识储备点 1．通过具体实例认识相似图形的特征． 2．从实践中得出相似图形的性质． 3．了解线段的比.成比例线段,会判断已知线段是否成比例,了解黄金分割． 4．理解认识两个相似图形对应角相等,对应边成比例． 5．掌握在顶点格作简单图形的相似形． (二)能力培养点 1．经历对相似 ...

北师大版九上数学教案全册

2013.3北师大版九上数学教案全册第一章证明(二) (课时安排) 1．你能证明它们吗? 3课时 2．直角三角形 2课时 3．线段的垂直平分线 2课时 4．角平分线 1课时 1. 你能证明它们吗? (一) 教学目标: 知识与技能目标: 1．了解作为证明基础的几条公理的内容. 2．掌握证明的基本步骤 ...

全等三角形与轴对称图形教案

1.3 探索三角形全等的条件(6) 知识与技能 1.掌握"边边边"定理,且能灵活运用此定理判定两个三角形全等．理解三角形的稳定性和它在生产.生活中的应用. 2. 在交流中,感受数学思考的合理性和严密性. 数学思考 1．渗透辨证唯物注意思想. 问题解决教会学生如何利用尺规来完成& ...

专题讲座 [小学数学图形与几何]吴正宪

专题讲座小学数学图形与几何(吴正宪) 小学数学图形与几何话题一吴正宪(北京教育科学研究院) 王彦伟(北京东城区教师研修中心) 张杰(北京东城区教育研修学院) [课程简介] 小学数学图形与几何课标解读及教学思考,主要介绍<数学课程标准>关于"图形与几何"内容的规 ...

利用正方形的性质探索线段的数量关系

相关文章