立体几何知识要点
一、知识提纲
（一）空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ⑵斜二测画法． ⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线． ⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理． ⑵异面直线的判定：判定定理、反证法． ⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．
⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质． ⒋直线和平面垂直
⑴直线和平面垂直：定义、判定定理． ⑵三垂线定理及逆定理． 5. 平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6. 平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图） （三）夹角与距离
7. 直线和平面所成的角与二面角
⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角．
⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8. 距离
⑴点到平面的距离．
⑵直线到与它平行平面的距离．
⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． ⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段． （四）简单多面体与球 9. 棱柱与棱锥 ⑴多面体．
⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．
⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．
⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质． ⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法． 10. 多面体欧拉定理的发现 ⑴简单多面体的欧拉公式． ⑵正多面体． 11. 球
⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． ⑵球的体积公式和表面积公式． 二、常用结论、方法和公式
1. 从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；
2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N, ∠EAB=θ1, ∠ABF=θ2，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1cos θ2;
3. 立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是θ1，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成θ2，设∠ABC=θ3, 则cos θ1cos θ2=cosθ3；
B
A
1
C 4. 异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5. 直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键； 6. 二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ, 其中θ为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角； 特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 7. 空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算； （2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解； 8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S底；
9. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α, β, γ, 因此有cos 2α+cos2β+cos2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为α, β, γ, 则有cos 2α+cos2β+cos2γ=2;
10. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11. 欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V, 面数为F, 棱数为E. 那么V+F－E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；
12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 13. 直棱柱的侧面积和全面积
S 直棱柱侧= c (c表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S底+S侧 14．棱锥的体积:V棱锥=
1
Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。 3
2
15. 球的体积公式V=πR 3，表面积公式S =4πR ；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：（1）计算线段AB 的长，（2）计算球心角∠AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB 的长；
4
3
直线与平面的平行和垂直关系的证明思路
a //c ⎫
⎬b //c ⎭
//β
PA ⊥αPO 斜交a ⊂α.
a ⊥OA