LOGO第四章矩阵的
相似对角化
第二节
相似矩阵与矩阵的对角化
胡倩倩
[email protected]
相似矩阵
定义设
A和B是n阶方阵, 如果存在n阶可逆矩
阵P,使得
P-1AP= B
则称A与B相似, 记为A~ B.
性质
1.自反性: A~ A
2.对称性: A~ B, 则B~ A
3.传递性: A~ B且B~ C, 则A~ C
2
定理
相似矩阵有相同的特征多项式,
从而有相同的特征值.证设A~ B即存在P, 使得P-1AP= B
∴E-B| = |λE-P-1AP|推论1|λ相似矩阵的行列式相等.= |P-1(λE-A)P|
= |P-1| ·|λE-A| · |P|= |λE-A|推论2相似矩阵的迹相等.λ1
推论3如果矩阵A与对角矩阵Λ=
相似, 则A的特征值为λ1, λ2, …, λn.λ2λn
3
说明
注意:
特征值相同的矩阵不一定相似.
1 01 1A=例如, 和E=的特征值相同. 0 10 1
但它们不相似,
因为对任意可逆阵P,P-1EP≡E
即E 只能跟它自己相似!
4
矩阵的对角化
定义如果矩阵
A和某一对角矩阵相似,即
λ1
A~Λ=λ2=P-1AP
λn
则称A可对角化.
6
可对角化的判断定理
n阶矩阵可对角化的充要条件是
它有n个线性无关的特征向量.
证设矩阵A和对角矩阵相似,即
λ1
A~Λ=λ2=P-1AP
λn
AP = PΛ令P= (α1, α2, …, αn) λ1
A(α1, α2, …, αn) = (α1, α2, …, αn)
Aαi= λiαi i = 1, …,n而αi线性无关2λn
7∴λ∴
可对角化的判断定理
n阶矩阵可对角化的充要条件是
它有n个线性无关的特征向量.
证设Aαi=λiαii=1,2,…,n
也就是说,
λ1
P-1A(α1, α2, …, αn) = (α1, α2, …, αn)
Pλ2λn
8
可对角化的判断定理
n阶矩阵可对角化的充要条件是
它有n个线性无关的特征向量.
推论1如果A的特征值互不相同, 则A必可对角化.注意: 这个条件是充分的而不是必要的.如E如果A 的特征方程有重根, 此时不一定有n个线性无关的特征向量.
推论2n 阶方阵A可对角化的充要条件是如果A的特征值λi重数为ni, 那么属于λi的线性无关的特征向量刚好有ni个.9
矩阵对角化方法
矩阵对角化的步骤(
前提: A 可对角化)
1. 求|λE-A| = 0 的根, 得到所有的特征值;
2.对每个特征值λi, 求解齐次线性方程组
(λiE-A) x= O
的基础解系, 得到属于λi线性无关的特征向量;
3.构造P = (α1, α2, …, αn), 使得
λ1
PAP =-1λ2
λn10
矩阵对角化的应用
矩阵对角化的应用——求矩阵的高次幂(很繁琐)但是, 如果存在可逆阵P, 使得P-1AP= Λ则
A
= PΛP-1
因此An= PΛP-1∙PΛP-1…PΛP-1
= PΛnP-1
16
相关文章
- 高等代数论文
莆田学院数学与应用数学系 "高等代数选讲"课程论文 题目: 小论矩阵的对角化 姓名: 刘文娟 学号:410401210 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6 月 22 日 小论矩阵的对角化 刘文娟 042数本 410401210 摘要:对角矩阵可以 ...
- 20**年-20**年第一学期线性代数 教学大纲
课程号:20112730 课程名称:大学数学(理工) 线性代数 课程号:20112830 课程名称:大学数学(III )线性代数 开课学期:秋季或春季(学期课) 总学时:58 和58 学分:3 和3 先修课程:初等数学 基本目的:介绍线性代数的基本知识,为非数学类各专业后继课程提供基本的数学工具,初 ...
- 矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算 物理.力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题. �计算方阵A的特征值,就是求特征多项式方程: |A−λI|=0 即 λ+p1λ nn−1 +⋅⋅⋅+pn−1λ+pn=0 的根.求出特征值λ后,再求相应的齐 ...
- 同济大学线性代数复习题
线代补充复习题 一.填空与单选题. 1.设4阶方阵A =(α1, α2,2α3, β1),B =(α3, α2, α1, β2),其中α1, α2, α3, β1, β2都是 4维列向量,如果行列式|A |=1,|B |=2,则行列式|A +B |=. 2.设3阶方阵A 的行列式|A |=2,A * ...
- 正定矩阵化为标准型
标准型方法 变换理论在代数中居于重要的地位.通过一定的变换,代数中的许多对象可以化成标准型,并且这种变换保持一些重要的代数性质不变.例如: 1. 初等变换可将矩阵化为标准型,且保持矩阵的秩不变: 2. 相似可将方阵化为上三角阵,而有些方阵甚至可以化为对角形,且保 持矩阵的特征多项式不变: 3. 合同 ...
- [线性代数]习题及答案
<线性代数>作业 一.选择题 a 11 1.如果D=a 21 a 12a 22a 32 a 13a 23a 33 a 11 ,则行列式2a 21 2a 124a 226a 32 3a 13 6a 23的值应为: 9a 33 a 313a 31 A . 6D B .12D C .24D D ...
- 考研数学线代定理公式总结
概念.性质.定理.公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确 ⎧A 可逆 ⎪ ⎪r (A ) =n ⎪⎪ A 的列(行)向量线性无关 ⎪A 的特征值全不为0 A ≠0⇔⎪⎪⎨Ax =ο只有零解 ⇔ ∀x ≠ο,Ax ≠ο ⎪ ∀β∈R n , Ax =β总有唯一解 ⎪⎪ A T A 是正定矩阵 ⎪A ...
- 迹为零的矩阵的一些性质
第26卷 第4期 2008年10月 沈阳师范大学学报(自然科学版) Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science ) V ol 126, N o. 4Oct. 2008 文章编号:1673-5862(2008) 04-0409- ...
- 本科生毕业论文范例
分类号 O15 陕西师范大学学士学位论文 伴随矩阵的性质及其应用 作 者 单 位 数学与信息科学学院 指 导 老 师 作 者 姓 名 甲 乙 丙 专 业.班 级 数学与应用数学专业09级1班 提 交 时 间 2013年5月 伴随矩阵的性质及其应用 甲乙丙 (数学与信息科学学院2009级1班) 指导教 ...