第一次课：双曲线
【考点1】双曲线的定义与标准方程2-6
定义：
x 2y 2
-=1的左焦点, A (1, 4), P 是双曲线右支上的动点，例1：(2009辽宁) 已知F 是双曲线
412
则|PF |+|P A |的最小值为_________. 练习
x 2y 2
1. －＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|
43＋|NF 2|－|MN |的值为____________．
x 2
2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0) 和C (6,0)，若顶点B 在双曲线－
25sin A －sin C y 2
＝1的左支上，则________. 11sin B
3. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所听到的时间比其他两个观测点晚4 s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020 m，试确定该巨响发生的位置．
(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上) ．
x 2y 2
例2：若方程1表示双曲线，则m 的取值范围是__________．
2－m |m |－3
练习：
1. 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( )
11A ．－ B ．－4 C ．4 D.
44
2. （2013广东）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0), 离心率等于的方程是
（ ）
3
, 在双曲线C 2
x 22
A
．=1
4x 2y 2
B ．-=1
45x 2y 2
C ．-=1
25x 22
D
．=1
2
3. 已知α∈[0,π),试讨论α的值变化时, 方程x 2cosα+y 2sinα = 1 表示的曲线的形状.
【考点2】双曲线的几何性质 简单几何性质1-3
x 2y 2
例1：若双曲线－1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距
412离是( ) A ．4 B．12 C ．4或12 D ．6
练习：
1.(1)等轴双曲线的渐近线互相垂直、离心率等于
x 2y 2y 2x 211
(2)若双曲线1(a >0，b >0)与1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则
a b a b e 1e 2
(3)双曲线上的点P 和两个焦点F 1，F 2所构成的三角形称为双曲线的焦点三角形．若∠F 1PF 2＝α，则S △F 1PF 2＝
2. （2012年辽宁）已知双曲线x 2-y 2=1点F 1, F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若
PF 1⊥PF 2, 则PF 1+PF 2的值为___________________.
3. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B
两点，
AB =，则C 的实轴长为
A. 2 B.22 C.4 D.8
双曲线的离心率3-9
x 2y 2
例2：设F 1,F 2是双曲线C, 2-2=1 (a>0,b>0)的两个焦点. 若在C 上存在一点P. 使
a b
PF 1⊥PF 2, 且∠PF 1F 2=30°, 则C 的离心率为________.
练习：
x 2y 2x 2y 2
1. 已知a ＞0，b ＞0，且双曲线C 1－＝1与椭圆C 2有共同的焦点，则双曲线
a b a b C 1的离心率为( )
34A. 2 B ．2 C. D. 33
x 2y 2
2. 已知F 1、F 2是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形
a b
MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A ．4+23
B ．3-1
C ．
3+1
D ．3+1 2
x 2y 2o
3. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双
a b
曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A. (1,2] B. (1,2) C. [2,+∞) D. (2,+∞)
例3：（2013浙江）如图F x 21.F 2是椭圆C1:4+y2
=1与双曲线C2的公共焦点 （ ）
A ．B 分别是C 1.C 2在第二. 四象限的公共点, 若四边形AF 1BF 2为矩形, 则C 2的离心率是
B ．
A ．2 3
C ．32
D 62
1.[2012·浙江卷] 如图8－50－2所示，F x 2y 2
1，F 2分别是双曲线C ：a b 1(a ，b >0)的左，右
焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M . 若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( ) A. 2 33 62 C. 2 3
2. （2011年福建文）设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I’上存在点P 满足
PF 1:FF 12:PF 2 4:3:2，则曲线I’的离心率等于
A. 12或32 B. 2
3或2 C. 12或2 D. 233或2
）（
x 2y 2
3. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦点，而且被该双曲线的右
a b
准线分成的弧长为2:1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于 A. B.
x 2y 2
例4：已知椭圆，F 2（c ，0），若椭圆+=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1（-c ，0）
22a b
5
C. 2 D. 2
上存在点P 使 练习
a c
=，则该椭圆的离心率的取值范围为.
sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1
x 2y 2
1. 已知椭圆，F 2（c ，0），若椭圆上存+=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1（-c ，0）
22a b
在点P 使
a PF
2
=
c PF
1
，则该椭圆的离心率的取值范围为.
x 2y 2
2. （2010四川文理数）椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为
a b
A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是
A. ⎝⎛
⎛1⎤⎡1⎫
1,1D. ⎢,1⎪ B. 0, ⎥C. ⎦⎝2⎦
⎣2⎭
)
|PF1|2
3. 已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 的最小值
|PF2|为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞) B ．(1,2]
C ．(1，3 ] D ．(1,3]
双曲线的渐近线2-6
x 2y 2
例5：（2013北京）若双曲线2-2=
1则其渐近线方程为 （ ）
a b
A ．y =±2x 练习
1. （2010辽宁文理数）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B , 如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
2. 心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( ) A ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝1
B ．x 2－y 22 1
D ．x 2－y 2＝2
B ．y
= C ．y =±
1x 2
D
．y =x
11
D. 22
3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( ) A. 5
B. 52
C. 3
D ．2
x 2
（2，-2）-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是 例6：过点且与双曲线
2
x 2y 2
-=1 A.
24
练习
x 2y 2y 2x 2
-=1 C. -=1 B.
4242
x 2y 2
-=1 D.
24
x 2y 2x 2y 2
1.[2012·天津卷] 已知双曲线C 11(a ＞0，b ＞0) 与双曲线C 2－1有相同的渐
a b 416近线，且C 1的右焦点为F 5，0) ，则a ＝________，b ＝________．
x 2y 22.[2012·山东卷] 已知椭圆C 1(a >b >0)的离心率为. 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与
a b 2椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) x 2y 2x 2y 2
A. 1 B. ＋＝1 82126x 2y 2x 2y 2
C. ＋＝1 D. 1 164205
x 2y 2
3. 已知双曲线2-2=1(a ＞0，b ＞0) 的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2-6x +5=0相切,
a b
且双曲线的右焦点为圆C 的圆心, 则该双曲线的方程为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 (B) -=1 (C) -=1 (D) -=1 (A)
54453663
【考点3】标准方程的求法
根据几何性质或中间量的关系求双曲线方程2-6
例1：求适合下列条件的双曲线的方程
(1) 若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是10，0) ；
4
(2) 已知双曲线的渐近线方程为y ＝，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上．
3
5
(3) 虚轴长为12
4
3
(4)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝x .
2
练习：
x 2y 2
1.[2012·湖南卷] 已知双曲线C ：＝1的焦距为10，点P (2，1) 在C 的渐近线上，则C
a b 的方程为( )
x 2y 2x 2y 2
A. －＝1 B. －1 205520x 2y 2x 2y 2
C. －1 D. ＝1 80202080
32. 如图，在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝，求以M 、N 为焦点，且
4过P 的双曲线的方程．
3. 已知双曲线E 的中心为原点，P (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点，且AB 的中点为N (-12, -15) , 则E 的方程式为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 B. -=1 C. -=1 A.
364563x 2y 2
-=1 D.
54
例2：已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4) 2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4) 2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程 练习
1.
函数y =2的图象是
（）
A. 圆的一部分 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 双曲线的一部分
2. 已知定点A (0,7)、B (0，－7) 、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．
（-4,0）、（B 4,0）3. 三角形ABC 中，已知A ，且sin A -sin B =
程是___________.
1
sin C , 则点C 的轨迹方2
【考点4】直线与双曲线的位置关系1-3
x 2y 2
例1：已知双曲线C :2-2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，
a b
直线y =2与C
(I)求a , b ; ;
(II)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A 、B 两点，且AF 1=BF 1, 证明:
AF 2AB BF 2成等比数列
练习
1. 若直线l 过点（3，0）且与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
x 2y 2
2. －＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线
36交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点． (1)求AB ；
(2)求△AOB 的面积；
(3)求证：AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1.
3. 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 22，且过点(410) ． (1)求双曲线的方程；
→→(2)若点M (3，m ) 在双曲线上，求证：MF 1·MF 2＝0； (3)同条件(2)，求△F 1MF 2的面积．
第二次课：抛物线
【考点1】定义与标准方程2-6
例1：抛物线y 2＝24ax (a ＞0) 上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16x D ．y 2＝20x 练习
1. 若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
2. 已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝__________.
3. 已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆
C ．双曲线的一支 D．直线
例2：(2010·陕西) 若抛物线y2＝2px(p＞0) 的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) 1
A. B ．1 2
C ．2 D ．4 练习
1. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0) 的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y 2) ，P 3(x 3，y 3) 在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有 ( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|
2. 设F 为抛物线y =4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则2
F A +B +C =（）
A ．9 B ．6 C ．4 D ．3
3. 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)．
(1)求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标；
11(2)求点P 到点B (－1) 的距离与点P 到直线x ＝－的距离之和的最小值． 22
【考点2】几何性质
简单几何性质1-3 例1：设O 是坐标原点, F 是抛物线y =2px (p >0) 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与 OA 为. x 轴正向的夹角为60，则2
练习
1. （2010全国）已知抛物线C :y 2=2px (p ＞0) 的准线为l ，过M
(1,0) 与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM =MB ，则p =．
x 2y 2
2. （2013天津）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p >0) 的a b
准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB
则p =
A ．1
B ．3 C ．2 2D ．3
y 23. 设直线l ：2x ＋y －2＝0与椭圆x ＋1的交点为A 、B ，点P 是椭圆上的动点，则使△P AB 42
1面积为的点P 的个数为( ) 3
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
焦半径，焦点弦1-3
例2:（2012安徽）过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A , B 两点，O 为坐标原点。若AF =3，则∆AOB 的面积为（）
A.
2
C.
2D.
练习
1. （2010辽宁）设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF
的斜率为|PF |＝( )
A ．4 B ．8
C ．8 D ．16
2. 已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 3的直线交C 于A ，B 两点．设|F A |＞|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于__________．
3. 过抛物线x 2＝2py (p ＞0) 的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A 、B 两点，A 、B 在x 轴上的正射影分别为D ，C . 若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝__________.
【考点3】求抛物线的方程1-3
例1：与圆C: (x -2) 2 + y 2=1 外切，且与直线x +1=0相切的动圆圆心M 的轨迹方程是？
练习
1. 边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是__________．
2. （2013课标II ）设抛物线C:y =4x 的焦点为F ，直线L 过F 且与C 交于A, B 两点. 若2
|AF|=3|BF|，则L 的方程为（ ）
A. y =x -1或y =-x +1 B. y =(x -1) 或y =-(x -1) 33
22(x -1) 或y =-(x -1) 22C. y =3(x -1) 或y =-(x -1) D. y =
3. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 在抛物线上，其横坐标为4，且位于x 轴上方，A 到抛物线准线的距离等于5. 过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .
(1)求抛物线方程；
(2)过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．
【考点4】直线与抛物线的位置关系
位置关系问题1-3
例1：抛物线y =2x 上两点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 关于直线2y =x +m 对称，且x 1⋅x 2=-
练习 1，则m ＝. 2
1. 已知抛物线y =-x +3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则AB 等于.
2
2. 如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．
弦长问题1-3
例5：已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .
练习
1. 过抛物线y ＝ax 2(a ＞0) 的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分
mn 别为m 、n ( ) m ＋n
1 2a
C ．2a
2. 过抛物线y =ax (a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p , q ，则
A. 2a
3. 已知抛物线C 的顶点为原点, 其焦点F (0, c )(c >0)到直线l :x -y -2=
0设P 为直线l 上的点, 过点P 作抛物线C 的两条切线PA , PB , 其中A , B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 当点P (x 0, y 0)为直线l 上的定点时, 求直线AB 的方程;
(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时, 求AF ⋅BF 的最小值.
B. 21 4a a 411+ p q C. 4a D. 1 2a 4 a .
定点、定值问题1-3
例1. 已知动圆过定点 p ⎛p ⎫,0⎪，且与直线x =-相切，其中p >0. 2⎝2⎭（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；
（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α, β变化且α+β为定值θ(0
练习：
1. 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝8611
(1)求抛物线的方程；
(2)在x 轴上是否存在一点C ？使△ABC 为正三角形．若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．
2. A 、B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB .
(1)求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB 过定点；
(3)求弦AB 中点P 的轨迹方程；
(4)求△AOB 面积的最小值．
3. 已知点H （0，―3），点P 在x 轴上，点Q 在y 轴正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足 3 HP PM =0, PM =-MQ 。 2
（Ⅰ）当点P 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹曲线C 的方程；
（Ⅱ）过定点A (a , b ) 的直线与曲线C 相交于两点S 、R ，求证：抛物线S 、R 两点处的切线的交点B 恒在一条直线上。