全概率公式及其应用

(清华大学数学科学系叶俊)

命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

1. 全概率公式和Bayes 公式

概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组B 1, B 2, ，而计算各个B i 的概率与条件概率P (A |

B i ) 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要

使用全概率公式和Bayes 公式。

背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状A 的患者，到底患了疾病B 1, B 2 中的哪一种，可用Bayes 公式算出在症状A 的情况下，起因于疾病B i 的概率 P (B i A ) ，而后按各个后验概率P (B i A ) 的大小来推断患者患哪种病的可能性最大．

完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。

定义称事件族B 1, B 2, 为样本空间Ω的一个划分（也称B 1, B 2, 为一个完备的事件组），如果满足B i

B j =φ(i ≠j ) 且 B i =Ω。进而，如还有

i =1

∞

P (B i ) >0, i =1, 2, , 则称B 1, B 2, 为样本空间Ω的一个正划分。

一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细, 则相应的信息更详尽。

定理1 (全概率公式) 设事件B 1, B 2... 为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件A , 有

∞

P (A ) =∑P (B i ) P (A B i )

i =1

定理2 (Bayes 公式) 设B 1, B 2, 为样本空间Ω的一个正划分, 事件A 满足

P (A ) >0, 则

P (B i A ) =

P (B i ) P (A B i )

P (A )

．

若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式

P (B i A ) =

P (B i ) P (A B i )

∑P (B j ) P (A B j )

j =1

(m ≤+∞, i =1, 2, m )

公式的直观理解：如果我们把B i 看成是导致事件A 发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们，事件A 发生的概率恰好是事件A 在这些“原因”下发生的条件概率的加权平均，其中的权重分别为P (B i ) ．而已知“结果”找“原因”的问题则可以用Bayes 公式来计算。且告诉我们 “B i 导致A ”的可能性的大小恰与乘积P (B i ) P (B i A ) 成比例．

2. 几个典型的例子

2.1 树状图法

例1 某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂，甲厂产品占80%，合格率为90%，乙厂产品占10%，合格率为95%，甲厂产品占10%，合格率为80%。某顾客购买了一灯泡，求它是合格品的概率。 2.2 一般方法（公式法）

例2 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱

内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率p ；

（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。解引进下列事件：

H i ＝{被挑出的是第i 箱} （i =1,2）

A j ={第j 次取出的零件是一等品}（j ＝1，2）

由条件知

P (H 1) =P (H 2) =

P (A 1|H 1) =1, P (A 1|H 2) =(1)由全概率公式，知

p =P (A 1) =P (H 1) P (A 1|H 1) +P (H 2) P (A 1|H 2)

=⋅+⋅=25255

(2) 由条件概率的定义和全概率公式，知

P (A 1A 2)

q =P (A 2|A 1) =

P (A 1)

{P (H 1) P (A 1A 2|H 1) +P (H 2) P (A 1A 2|H 2)}

P (A 1)

5110⨯9118⨯171951

+⋅]=[+]=0. 48557...

2250⨯49230⨯2944929

=[⋅

例3 采购员要购买10个一包的电器元件. 他的采购方法是：从一包中随机抽查3个, 如这3个元件都是好的, 他才买下这一包. 假定含有4个次品的包数占 30%，而其余包中各含 1个次品. 求采购员拒绝购买的概率。解记

B 1={取到的是含4个次品的包},B 2={取到的是含1个次品的包},A ={采购员拒绝购买}

则B 1, B 2构成样本空间的一个正划分，且P (B 1) =0. 3, P (B 2) =0. 7. 又由古典概型计算知

3C 65

P (A B 1) =1-3=

C 106

P (A B 2) =1-

从而由全概率公式得到

C 3

=10C

39310

P (A ) =P (B 1) P (A B 1) +P (B 2) P (A B 2) =

357323⋅+⋅=. 106101050

例4 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件放入乙箱后，试求从乙箱中任取一件产品是次品的概率。解设A 表示事件 “从乙箱中任取一件产品是次品”, 根据全概率公式, 有

P (A ) =∑P (A |X =k ) P (X =k )

k =0

0312130C 3C 31C 3C 32C 32C 3C 33C 3

=0⨯+⨯3+⨯3+⨯33

6C 66C 66C 6C 6

2.3 首步分析法与末步分析法

例5 (赌徒输光问题) 设甲有赌本i (i ≥1)元, 其对手乙有赌本a -i >0元．每赌一次甲以概率p 赢一元, 而以概率q =1-p 输一元．假定不欠不借，赌博一直到甲乙中有一人输光才结束．因此，两个人中的赢者最终有总赌资a 元．求甲输光的概率．解一般地，我们以p i 记甲有赌本i 元而最终输光的概率．而求此概率的关键是给出下面的事件关系式，其方法称为首步分析法．记事件

A i ={甲有赌本i 元，但最终输光}, B ={甲第1次赌赢}．于是我们有

P (A i |B ) ＝P (A i +1) ，P (A i

|) =P (A i -1) ．由上述关系式及全概率公式，我们得到

p i =P (A i ) =P (A i |B ) P (B ) +P (A i |) P () =P (A i +1) p +P (A i -1) q

=pp i +1+qp i -1. 这是一个常系数二阶差分方程, 且满足两个边界条件:

p 0=P (甲有赌本0元而最终输光) =1, p a =P (甲有赌本a 元而最终输光) =0．

为解(1), 注意到它等价于

p (p i +1-p i ) =q (p i -p i -1) ．

故当p >0且p ≠

时, 由p 0=1得到 p i -1

⎛q ⎫

i -p 1=∑ p ⎪k =1⎝⎪⎭

(p 1-1) q ⎛q ⎫

⎪ =p - ⎝p ⎪⎭(p 1

-1).

q p

令i =a , 再利用p a =0可解出

(1)

(2)

p 1=

q ⎛q ⎫- ⎪p ⎝p ⎭⎛q ⎫1- ⎪⎝p ⎭

从而得到，当p >0且p ≠

(即p ≠q ) 时有 2

⎛q ⎫⎛q ⎫ p ⎪⎪- p ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p i =a

⎛q ⎫1- p ⎪⎪⎝⎭

而当p =q =

i a

时，还是由(2)式，我们有 2

p i -p 1=(i -1)(p 1-1)

令i =a , 可得 p 1=

a -1

．从而有 a

p i =1-

i ． a

例6 连续地抛掷一个很不均匀的硬币n 次. 假定这n 次抛掷并不相互独立: 第1次出现正面的概率为α, 第2次后每次出现与前一次相同的面的概率为β. 求第n 次时出现正面的概率, 并讨论n →∞时的情况。

解令 A n ={第n 次出现正面}, 并记欲求之概率为P (A n ) =p n , n ≥1.

这时A n +1发生与否与A n 发生与否是密切相关的，若A n 发生了，则A n +1发生的概率就为β, 所以, P (A n +1

A n ) =β。同理，P (A n +1n ) =1-β。

显然，A n , n 是Ω的一个划分．利用全概率公式，我们有

p n +1=P (A n +1) =P (A n +1A n ) P (A n ) +P (A n +1n ) P (n )

=βp n +(1-β)(1-p n ) =(2β-1) p n +(1-β)

由于

p 1=α，故由递推计算可得

p n =(2β-1)[(2β-1)p n -2+(1-β)]+(1-β)= =(2β-1)

n -1

p 1+(1-β)1+(2β-1)+(2β-1)+ +(2β-1)

[

n -2

]

11⎧⎪α(2β-1)n -1+-(2β-1)n -1

=⎨22⎪⎩α

讨论（1）若β=1, 则

若β≠1若β=1

p n =α, 故 lim p n =α. .

n →∞

（2）若β=0, 则

11⎫n -1⎛1

p n =+(-1) α-⎪, 只有当α=时,

222⎭⎝

n →∞

lim p n 才存在且等于

. 2

（3）对一般0

111⎡n -1n -1⎤

lim p n =lim ⎢α(2β-1)+-(2β-1)⎥=. n →∞n →∞⎣22⎦2

3．全概率公式和Bayes 公式的应用

3.1 与离散型随机变量的结合

例7 设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为5的Poisson 分布, 假设现在市场上正在销售一种预防感冒的新型特效药, 对75%的人来说, 服用这种药可将上述的参数减少到3, 而对另外25%的人则无效. 求对于在试用期内恰患两次感冒的服药的人, 此药对他有效的可能性有多大。

解我们记A=“任意选取一人, 此药对此人有效”. 而我们要求的概率为P (A X 题设条件知

而

=2) . 由

P (A ) =, P () =.

3k e -35k e -5

P (X =k A ) =, P (X =k |) =

k ! k !

故由Bayes 公式知

(k =0, 1, 2, ) .

P (X =2A ) P (A )

P (A X =2) =

P (X =2A ) P (A ) +P (X =2) P ()

2-32!

32e -32!

⋅4

52e -52!

⋅+

⋅

=0. 8886.

例8 (Poisson分布在随机选择下的不变性, 也称为随机分流的不变性)

假设某段时间里来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布, 而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p , 且每个顾客是否购买电视机是独立的, 问在这段时间内, 百货公司内购买电视机的人数为k 的概率有多大？

解记X 为百货公司售出电视机的台数, 而N 为这段时间内进入百货公司的人数, 故由全概率公式知

P (X =k ) =∑P (X =k N =n ) P (N =n )

n =0∞

∞

=∑P (X =k N =n )

n =0

λe

n -λ

n !

由于在已知有N=n名顾客进入百货公司的条件下, 百货公司售出电视机的台数服从参数为n 和p 二项分布, 即

k k ⎧C n p (1-p ) n -k

P (X =k N =n ) =⎨

0⎩

n ≥k n

故

k k

P (X =k ) =∑C n p (1-p ) n -k

n =k ∞

λn e -λ

n !

n ! (λp ) k [λ(1-p )]n -k e -λ=∑⋅

n ! n =k k ! (n -k )!

∞

(λp ) k e -λ

k ! (λp ) k e -λ=

k !

[λ(1-p )]n -k ∑(n -k )! n =k

∞∞

[λ(1-p )]i ∑i ! i =0

(λp ) -λλ(1-p ) (λp ) -λp e e =e k ! k !

即X 服从参数为λp 的Poisson 分布。

例9 设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为 X ~ 0. 3

⎝

⎛1

2⎫⎪ ⎪0. 7⎭

而Y 的概率密度为f (y ) ，求随机变量U= X+Y的概率密度g (u )

解设F (y ) 为Y 的分布函数, 则由全概率公式, 知U= X+Y的分布函数为

F U (u ) =P (U ≤u ) =P (X +Y ≤u )

=P (X +Y ≤u |X =1) P (X =1) +P (X +Y ≤u |X =2) P (X =2)

=0. 3P (Y ≤u -1|X =1) +0. 7P (Y ≤u -2|X =2)

由于X 和Y 独立, 可见

F U (u ) =0. 3P (Y ≤u -1) +0. 7P (Y ≤u -2)

=0. 3F (u -1) +0. 7F (u -2)

由此, 得U 的概率密度为

'(u ) =0. 3F '(u -1) +0. 7F '(u -2) g (u ) =F U

=0. 3f (u -1) +0. 7f (u -2) .

例10 从集{1, 2, , N }中任意相继不放回地取出两个数X 1, X 2，求P (X 2解由全概率公式得

>X 1)

P (X 2>X 1) =∑P (X 2>X 1|X 1=k ) P (X 1=k )

k =1N

=∑P (X 2>k |X 1=k )

k =1

而由于P (X 2>k |X 1=k ) =

N -k

，从而

N -1

N -k 111

P (X 2>X 1) =∑=(N -k ) =. ∑N (N -1) k =12k =1N -1N

3.2 随机和的相关问题的计算

3.3其他应用（如分布参数为随机的概率问题的计算等）

4. 全概率公式的推广与应用

4.1 连续型随机变量的情形

+∞

P (B ) ==

-∞

⎰P (B X =x ) f X (x ) dx

一般可用于二维随机变量的概率等的计算。

例11 假设甲、乙两种电器产品的使用寿命X 与Y 分别服从参数为λ, μ的指数分布，且假定它们的寿命分布是相互独立的，试问产品甲的寿命比产品乙的寿命短的概率为多大？解由公式知

+∞

P (X

-∞+∞0

⎰P (X

-μy

P (X

+∞

===

-μy P (X

+∞0

-λy -μy (1-e ) μe dy ⎰

λλ+μ

4.2 全期望公式——期望的求法之一

EX =∑E (X |B i ) P (B i )

i =1

∞

+∞

EX =

-∞

⎰E (X |Y =y ) f Y (y ) dy

全概率公式及其应用

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