中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案
《高等数学》
一、填空题
1．函数y =
x 2-4+
1
的定义域是. x -解. (-∞, -2] [2, +∞) 。
2．若函数f (x +1) =x 2+2x -5，则f (x ) =解. x -6 3．lim 答案：1
正确解法：lim
2
．
x -sin x
=________________
x →∞x
x -sin x sin x sin x
=lim (1-) =lim 1-lim =1-0=1
x →∞x →∞x →∞x →∞x x x
x 2+ax +b
=2，则a =_____, b =_____。 4. 已知lim 2
x →2x -x -2
由所给极限存在知, 4+2a +b =0, 得b =-2a -4
, 又由
x 2+ax +b x +a +2a +4l i =l i ==2, 知a =2, b =-8 x →2x 2-x -2x →2x +13
e x -b 5. 已知lim =∞，则a =_____, b =_____。
x →0(x -a )(x -1)
(x -a )(x -1) a e x -b
==0, ∴a =0, b ≠1 lim =∞, 即lim x x →0x →0(x -a )(x -1) 1-b e -b
1⎧
⎪x sin
6．函数f (x ) =⎨x
⎪⎩x +1
x
的间断点是x =。
解：由f (x ) 是分段函数，x =0是f (x ) 的分段点，考虑函数在x =0处的连续性。
x sin 因为 lim -
x →0
1
=0lim (x +1) =1f (0) =1
x →0+x
所以函数f (x ) 在x =0处是间断的，
又f (x ) 在(-∞, 0) 和(0, +∞) 都是连续的，故函数f (x ) 的间断点是x =0。
7. 设y =x (x -1)(x -2)⋅ ⋅(x -n ), 则y (n +1)=(n +1)! 8．f (x ) =x 2，则f (f '(x ) +1) =__________。 答案：(2x +1) 2或4x +4x +1
2
4x -y 29．函数z =的定义域为 。
ln(1-x 2-y 2)
解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。
⎧4x -y 2≥0⎧y 2≤4x ⎧y 2≤4x ⎪⎪⎪⎪⎪2⎪222221-x -y >0⇒x +y
⇒z 的定义域为：(x , y ) |0
{
10．已知f (x +y , x -y ) =x 2y +xy 2, 则f (x , y ) =. 解 令x +y =u ，x -y =v ，则x =
u +v u -v
，f (x +y )(x -y ) =xy (x +y ) , y =
22
f (u , v ) =
u +v u -v u u 2x
=(u -v 2) ，f (x , y ) =(x 2-y 2)
42224
11．设f (x , y ) =xy +
x , 则f x '(0, 1) =。f y '(0, 1) =
x 2+y 2=) +0=0 ∵ f (0, 1
f x '(0,1)=lim
f (∆x ,1) -f (0,1)
=lim ∆x →0∆x
∆x +
∆x
-0
2=2 ∆x
∆x →0
f y '(0,1)=lim
∆y →0
f (0,∆y +1) -f (0,1)0-0
=lim =0。 ∆y →0∆y ∆y
12． 设z =x 2+sin y , x =cos t , y =t 3, 则
解 13.
dz
=-2x sin t +3t 2cos y dt
d z
＝ 。 d t
d
d ⎰d f (x ) dx =. ⎰dx
d
d d f (x ) dx =f (x ) . 解：由导数与积分互为逆运算得，
dx ⎰⎰
14. 设f (x ) 是连续函数，且
⎰
x 3-1
f (t ) dt =x ，则f (7) =13x 2
=
x =2
323
解：两边对x 求导得3x f (x -1) =1，令x -1=7，得x =2，所以f (7) =
1
. 12
1
，则k =_________。 ⎰0
2+∞11b -kx -kx
答案：∵=⎰e d x =lim -⎰e d(-kx )
0b →+∞2k 0
1-kx b 111
=-lim e -kb = =lim -e 0b →+∞k k b →+∞k k
∴k =2
15．若
+∞
e -kx d x =
16．设函数f(x,y)连续，且满足f (x , y ) =x f(x,y)=______________.
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ+y 2，其中D :x 2+y 2≤a 2, 则
4πa 4
x . 解 y +4
2
记A =
⎰⎰
D D
f (x , y ) d σ，则f (x , y ) =Ax +y 2，两端在D 上积分有：
，
其
中
A =⎰⎰Axd σ+⎰⎰y 2d σ
D
A ⎰⎰xd σ=0
D
（由对称性），
⎰⎰y
D
2
d σ=⎰d ϕ⎰ρsin ϕd ρ=
2πa
32
πa 4
4
.
即 A =
2
πa 4
4
，所以，f (x , y ) =y +
2
2
πa 4
4
x .
17．求曲线y =4ax , x =
解：
22a 3
ay
所围成图形的面积为（a>0） 2
18.
∑
2n -12n -2
； x n
2n =1
2
∞
解：令y =x ，则原幂级数成为不缺项的幂级数
2n -1n -1
y ，记其各项系数为b n ，因∑n
2n =1
∞
b n 2n -12n +12n -1
为R =lim =lim n ⋅=2lim =2，则-2
n →∞b n →∞n →∞2n +12n +12n +1
故-2
2.
1∞
当x =±2时，幂级数成为数项级数∑(2n -1) ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间
2n =1
为(-2, 2) .
111⎛1⎫, y '(1)=的特解为y = x -⎪. 19．(y '')-y '=0的满足初始条件y (1)=12412⎝2⎭
2
3
20．微分方程y ''-3y '=0的通解为y =c 1+c 2e 3x .
21．微分方程y ''+6y '+13y =0的通解为y =e -3x (c 1cos 2x +c 2sin 2x ). 22. 设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|2A *-7A -1答案：(-1)
n
1
3
-1
23. 1
11
1
-1x 是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 1-1
答案： 2;
31x
24. f (x )=x
25是 次多项式，其一次项的系数是 。 14x
解：由对角线法则知，f (x ) 为二次多项式，一次项系数为4。
25. A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC . 26. 事件A 、B 相互独立，且知P (A )=0.2, P (B )=0.5则P (A B )= . 解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A ) P (B )
∴P (A ∪B )=P (A )+P (B ) –P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6
27. A，B 二个事件互不相容，P (A )=0.8, P (B )=0.1, 则P (A -B )= . 解： A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A ) –P (AB )=0.8
28. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7, 则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .
解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰
有一次击中目标可表示为A +B +，即有 P (A +B +)
=P (A ) P () P () +P () P (B ) P () +P () P () P (C ) =0.36
29. 已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6, 且P （AB ）＝0.4，则P （A B ）＝ ；P （A －B ）＝ ； 解： P (A ∪B )=P (A )+P (B ) –P (AB )=0.9
P (A –B )=P (A ) –P (AB )=0.7–0.4=0.3
30. 若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为.
解：P (A +B )=1–P (A +B ) =1-P () =1-p
二、单项选择题
a x -1
(a >0, a ≠1) （ ） 1．函数f (x ) =x x
a +1
A. 是奇函数； B. 是偶函数；
C. 既奇函数又是偶函数； D. 是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。
a -x -1a -x (1-a x ) a x -1
f (-x ) =(-x ) -x =-x -x =x x =f (x )
a +1a (1+a x ) a +1
所以B 正确。 2．若函数f (x +
2
11
) =x 2+2，则f (x ) =（ ） x x
2
2
A. x ； B. x -2； C. (x -1) 2； D. x -1。 解：因为x +
2
11121122=x +2+-2=(x +) -2f (x +) =(x +) -2 ，所以
x x x x 2x 2
则f (x ) =x 2-2，故选项B 正确。
3．设f (x ) =x +1 ，则f (f (x ) +1) =（ ）．
A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3
解 由于f (x ) =x +1，得 f (f (x ) +1) =(f (x ) +1) +1＝f (x ) +2 将f (x ) =x +1代入，得f (f (x ) +1) =(x +1) +2=x +3 正确答案：D
x 2
-ax -b ) =0，其中a , b 是常数，则（ ） 4．已知lim (
x →∞x +1
(A) a =1, b =1, (B) a =-1, b =1 (C) a =1, b =-1 (D) a =-1, b =-1
(x 21-a )x 2-(a +b )x -b
-ax -b ) =lim =0, 解. lim (
x →∞x +1x →∞x +1
∴1-a =0, a +b =0, ∴a =1, b =-1 答案：C
5．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A. e ,
1x
(x →∞) ； B.
sin x
, (x →∞) ； x
C. ln(1+x ), (x →1) ； D.
x +1-1
, (x →0) x
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以
lim
sin x
=0
x →∞x
而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。
6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）
n 1
(x →∞) ; (B)y =n (-1)(n →∞) ; x
11
(C)y =ln x (x →+0) ； (D)y =cos (x →0)
x x
111
=1, 故不选(A). 取m =2k +1, 则解. lim x sin =lim sin
x →∞x x →∞x x
(A)y =x sin
n →∞
lim n (-1)=lim
n
1
=0, 故不选(B). 取x n =
k →∞2k +1
1n π+
2
, 则lim
n →∞
11
cos =0, 故不选x n x n
(D). 答案：C
1⎧
⎪x sin , x >0
7．设f (x ) =⎨，则f (x ) 在x =0处（ x
⎪⎩x , x ≤0
A ．连续且可导
）
B ．连续但不可导 D ．既不连续又不可导
C ．不连续但可导 解：（B ）
x →0
lim f (x ) =lim x =0，lim f (x ) =lim x sin --++
x →0
x →0x →0
1
=0，f (0) =0 x
因此f (x ) 在x =0处连续
f +'(0) =lim +
x →0
f (x ) -f (0)
=lim x →0+x -0
x sin
1
-0
1x ，此极限不存在 =lim sin
x →0+x -0x
'(0) 不存在，故f '(0) 不存在 从而f +
8．曲线y =x -x 在点（1，0）处的切线是（ ）． A． y =2x -2 C． y =2x +2
B ． y =-2x +2 D ． y =-2x -2
3
解 由导数的定义和它的几何意义可知，
y '(1) =(x 3
-x ) '
=(3x 2-1)
=2
x =1
x =1
是曲线y =x 3-x 在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 y -0=2(x -1) ，即y =2x -2
正确答案：A 9．已知y =
14
x 4
，则y ''=（ ）． A . x 3 B . 3x 2
C . 6x D . 6
解 直接利用导数的公式计算： y '=(14
x 4
) '=x 3, y ''=(x 3) '=3x 2 正确答案：B
10．若f (1x
) =x ，则f '(x ) =（ ）。 A ．
1x B ．111x 2 C ．-x D ．-x
2 答案：D 先求出f (x ) ，再求其导数。
211．
z =ln x -y 2
的定义域为（ ）．
22A ．x -y ≥1 B．x 2-y 2≥0C ．x 2-y 2>1 D．
x 2-y 2>0 解 z 的定义域为{
(x , y ) x 2-y 2>0}个，选D 。 12. 下列极限存在的是（ ）
（A ）lim
x （B ）1 （C ）x 2 （D ）x y →→00x +y lim x lim lim x →0x sin 1 y →→00
x +y x →0y →0x +y y →0x +y 解 A. 当P 沿x =0时，y lim →0
f (0, y ) =0，当P 沿直线y =0时，x lim →0
f (x , 0) =1，故x lim
y →→0
x x +y
不存在； B. lim x 1=∞，
不存在； C. 如判断题中1 题可知lim x 2
不存在；y →→00
x +y x y →→00
x +y 因为lim 1
x y →x sin
→0
x +y ≤lim x x =0，所以lim 1y →→0
x x sin
=0，选D y →→00
x +y D.
13. 若f (-x ) =f (x )(-∞0, f ''(x )
（A ）f '(x )>0, f ''(x ) 0, f ''(x ) >0 （C ）f '(x ) 0
解：因f (x ) 为偶函数, 则f '(x ) 为奇函数, f ''(x ) 为偶函数, 故应选(C ).
14．设f (x ) 为奇函数，且x >0时f '(x ) >0，则f (x ) 在[-10, -1]上的最大值为（ ）
A ．f (-10) 解：（B ）
因为f (x ) 是奇函数，故f (-x ) =-f (x ) ，两边求导-f '(-x ) =-f '(x ) ，从而
B ．f (-1) C ．f (10)
D ．f (1)
f '(x ) =f '(-x ) ，设x 0，从而f '(x ) =f '(-x ) >0，所以f (x ) 在[-10，-1]
上单调增加，故最大值为f (-1)
15．函数f (x , y , z ) =4(x -y ) -x 2-y 2 ( )
(A)、有极大值8 （B ）、有极小值8 （C ）无极值 （D ）有无极值不确定 解 f x =4-2x ，f y =-4-2y ，⎨
⎧⎧x =2⎪f x =0
−−→⎨ f =0y =-2⎪y ⎩⎩
⎛-20⎫
H = 0 -0-2⎝⎭
15. 设f (x ) 是以T 为周期的连续函数, 则I =（A ）依赖于a , T
⎰
a +T
a
f (x ) dx 的值（ ）.
（B ）依赖于a , T 和x
（C ）依赖于T , x ，不依赖于a （D ）依赖于T ，不依赖于a 解：根据周期函数定积分的性质有,
3
2
⎰
l +T
l
f (x ) dx =⎰f (x ) dx , 故应选(D ).
T
17. 曲线y =sin x (0≤x ≤π) 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为（ ）. （A ）
44222 （B ）π （C ）π （D ）π 3333
π
π
π
解：所求旋转体的体积为
V =⎰πy dx =π⎰sin xdx =-π⎰
23
cos 3x π4
(1-cos x ) d cos x =-π[cosx -]0=π.
33
2
故应选(B ).
sin x 434218. 设M =⎰2π，cos xdx N =(sinx +cos x ) dx ， π2⎰ -1+x -
22
ππ
π
P =⎰2π(x 2sin 3x -cos 4x ) dx ，则有（ ）.
-2
（A ）N
（C ）N
（B ）M
解：利用定积分的奇偶性质知M =0，N =2
⎰
2 0
π
4
cos xdx >0，P =-2⎰2cos 4xdx
π
所以P
19．下列不定积分中，常用分部积分法的是（ ）。
2
A ．x sin x d x B．x sin(2x +1) d x
⎰⎰
C ．
ln x x x D．⎰x ⎰1+x x
1
3
答案：B 。 20．设I =
x 2+y 2≤4
⎰⎰(1-x
2
-y ) dxdy ，则必有（ ）
2
（A ）I>0 (B)I
14
⎧0≤θ≤2π32π22323
解： D ：⎨ I =⎰0d θ⎰0(1-r ) r d r =-π⋅(1-r )
0≤r ≤24⎩
2
>0
21．设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（lim +
t →0
1
πt 3
x 2+y 2≤t 2
⎰⎰f (
x 2+y 2) dxdy ）( )
2
f ' (0) 3
(C) 等于+∞ （D ）不存在且非∞
（A ）等于0 （B ）等于 C ）
1
解：由极坐标，原极限=lim 3
t →0πt
+
⎰0d ϕ⎰0rf (r ) dr =t lim →0
+
2πt
2π⎰0rf (r ) dr
t
πt 3
=
2f (t )
lim =+∞ 3t →0t
+
22. 设函数项级数
∑u
n =1
∞
n
(x ) ，下列结论中正确的是( ).
（A ）若函数列{u n (x ) }定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间 （B ）若S (x ) 为此级数的和函数，则余项r n (x ) =S (x ) -S n (x ) ，lim r n (x ) =0
n →∞
（C ）若x 0∈I 使
∑u
n =1
∞
n
(x 0) 收敛，则|x |
n =1
∞
（D ）若S (x ) 为此级数的和函数，则解：选（B ）.
23. 设a >0为常数，则级数（A ）绝对收敛
n
∑u
n =1
∞
n
(x 0) 必收敛于S (x 0)
a n
(-1) (1-cos ) （ ）. ∑n n =1
（C ）发散
（D ）敛散性与a 有关
∞
（B ）条件收敛
∞
a a 2a 22a 解：因为(-1) (1-cos ) =2sin ≤2，而∑2收敛，因此原级数绝对收敛. 故n 2n 2n n =12n
选（A ）.
(x -a ) n
24. 若级数∑(-1) 在x >0时发散，在x =0处收敛，则常数a =（ ）.
n n =1
∞
n
（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）2
n ∞
(-a ) n n (x -a ) 解：由于∑(-1) 收敛，由此知a ≤1. 当-1
n n n =1n =1
∞
n
敛半径为1，因此该幂级数在区间(a -1, a +1) 内收敛，特别地，在(0, a +1) 内收敛，此与幂级数在x >0时发散矛盾，因此a =-1. 故选（B ）. 25. y ''+2y '+5y =e -x cos 2x 的特解可设为（ ） （A ）y =e
**
-x
A cos 2x ; （B ）y *=xe -x A cos 2x ;
（C ）y =xe
-x
(A cos 2x +B sin 2x ); （D ）y *=e -x (A cos 2x +B sin 2x ).
解：C
26. 微分方程的阶数是指（ ）
（A ）方程中未知函数的最高阶数； （B ）方程中未知函数导数或微分的最高阶数； （C ）方程中未知函数的最高次数； （D ）方程中函数的次数. 解：B
27. 下面函数( ) 可以看作某个二阶微分方程的通解.
（A ）x +y =c ; （B ）y =c 1x 2+c 2x +c 3; （C ）y =c 1sin x +c 2cos x ; （D ）y =ln (c 1x )+ln (c 2cos x ).
2
2
2
2
解：C
28.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵(AB ) *=（ ）. （A ）A *B *； （B ）|AB |A -1B -1； （C ）B -1A -1 （D ）B *A *； 解答：D
29. 设A 、B 均为n 阶方阵，则必有[ ]。
(A ) |A +B |=|A |+|B | (B ) AB =BA
(C ) |AB |=|BA | (D ) (A +B ) –1=A –1+B –1
解：正确答案为(C )
30. A,B 都是n 阶矩阵, 则下列各式成立的是 （ ） （A ）(AB )=A T B T （B ）(A +B )=A T +B T
T
T
（C ）(AB )解答：B
-1
=A -1B -1 （D ）(A +B )=A -1+B -1
-1
31. 在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（ ）
（A ）AC BC （B ）ABC （C ）ABC AB C ABC （D ）A B C 解 由事件间的关系及运算知，可选（A ）
32. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）
35⎛3⎫14⎛3⎫1（A ） （B ） ⎪ （C ）C 8 （D ） ⎪48C 8⎝8⎭8⎝8⎭8
4
解 基本事件总数为C 8，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数
53
1
为C 5=5，故P (A )=
5
，故应选（D ）。 C 84
33. 已知0＜P (B )＜1, 0＜P (A 1)＜1, 0＜P (A 2)＜1，且P (A 1 A 2)|B
()
=P (A 1|B )+P (A 2|B ), 则下列选项成立的是（ ）
（A ）P
((A A )|B )=P (A |B )+P (A |B );
1
2
1
2
（B ）P (A 1 A 2)|B =P (A 1)+P (A 2)
（C ）P (A 1B A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)
（D ）P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)
解 由题可知A 1、A 2互斥，又0
P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B ) –P (A 1A 2B )=P (A 1) P (B |A 1)+P (A 2) P (B |A 2) 故应选（C ）。
()
三、解答题
1. 设函数
1⎧x sin +b ⎪x ⎪
f (x ) =⎨a
⎪sin x ⎪x ⎩
x 0
问（1）a , b 为何值时，f (x ) 在x =0处有极限存在？ （2）a , b 为何值时，f (x ) 在x =0处连续？
f (x ) =lim f (x ) 成立。 解：（1）要f (x ) 在x =0处有极限存在，即要lim -+
x →0
x →0
f (x ) =lim (x sin 因为lim --
x →0
x →0
1
+b ) =b x
x →0
lim f (x ) =lim ++
x →0
sin x
=1x
x →0
x →0
f (x ) =lim f (x ) 成立，即b =1时，函数在x =0处有极限所以，当b =1时，有lim -+
存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。
（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是
f (x ) =f (x 0) lim -f (x ) =lim +
x →x 0
x →x 0
于是有b =1=f (0) =a ，即a =b =1时函数在x =0处连续。
x 3+ax 2+b
=8，试确定a 和b 的值 2．已知lim
x →2x -2
x 3+ax 2+b
=8, ∴lim (x 3+ax 2+b )=8+4a +b =0, 即b =-8-4a 解. lim
x →2x →2x -2x 3+ax 2+b x 3+ax 2-4a -8
∴lim =lim =lim x 2+(a +2)x +2a +4=4a +12=8, x →2x →2x →2x -2x -2
[]
∴a =-1, 故b =-4
⎧x 1
⎪-1
3．设f (x ) =⎨e , x >0，求f (x ) 的间断点，并说明间断点的所属类型
⎪⎩ln(1+x ), -1
x →1
1
x -1
=∞, lim e -
x →1
1
x -1
=0, f (0)=0, 因此,
x =1是f (x ) 的第二类无穷间断点; lim f (x )=lim e ++
x →0
x →0
x →0-
1
x -1
=e -1,
lim f (x )=lim -ln (1+x )=0, 因此x =0是f (x ) 的第一类跳跃间断点.
x →0
4．求方程中y 是x 的隐函数的导数 （1）xy -e x +e y =1, y '
解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即
(xy ) '-(e x ) '+(e y ) '=1' y +x y '-e x +e y y '=0
(x +e y ) y '=e x -y
e x -y
整理得 y '=
x +e y
dy d 2y
（2）设y =sin(x +y ) ，求，； 2
dx dx
解：y '=cos(x +y ) ⋅(1+y ')
y '=
cos(x +y )
1-cos(x +y )
y ''=-sin(x +y ) ⋅(1+y ') 2+cos(x +y ) ⋅y ''，
y ''=-
sin(x +y ) -y
=33
[1-cos(x +y )][1-cos(x +y )]
z -y
5．设z =z (x , y ) 由方程z +x =e
∂2z
所确定, 求.
∂y ∂x
解: 设F (x , y , z ) =e z -y -z -x ,
F x =-1, F y =-e z -y , F z =e z -y -1,
∂z 1∂z e z -y 1=z -y , , =z -y =y -z ∂x e -1∂y e -11-e
∂2z ∂1-e y -z ∂z e 2(y -z )
. ∴=() =⋅=
∂y ∂x ∂x 1-e y -z (1-e y -z ) 2∂x (1-e y -z ) 3
6．设函数f (x ) 在[0,1]上可导，且0
（0,1）内有且只有一个数x 使 f (x ) =x .
设 F (x ) =f (x ) -x , 在 [0 , 1] 上用零点定理，得 F (x ) 至少有一个零点. 反设 F (x ) 在 [0 , 1] 上存在两个零点c 1, c 2，即F (c 1) =F (c 2) =0, [c 1, c 2]⊂ [0 , 1] , 由Rolle 定理可得至少有ζ∈(c 1, c 2) , 使 F '(ζ)=0 即 f '(ζ) -1=0⇒f '(ζ)=1, 与题设矛盾，故在 (0 , 1) 内有且只有一个x , 使 f (x )=x .
7. 求函数y =x 2(1+x ) -1的单调区间和极值.
解 函数y =x 2(1+x ) -1的定义域是(-∞, -1) (-1, +∞)
y '=2x (1+x ) -1+x 2(-1)(1+x ) -2
x (2+x ) 2x (1+x ) -x 2
= = (1+x ) 2(1+x ) 2
令 y '=x (2+x )
=0，得驻点x 1=-2，x 2=0
(1+x ) 2
故函数的单调增加区间是(-∞, -2) 和(0, +∞) ，单调减少区间是(-2, -1) 及(-1, 0) ，当
x =-2时，极大值f (-2) =-4；当x =0时，极小值f (0) =0.
8. 在过点P (1, 3, 6) 的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.
解: 设平面方程为Ax +By +Cz =1, 其中A , B , C 均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为V =
11
, 且A +3B +6C =1, 令
6ABC
F (A , B , C , λ) =ABC +λ(A +3B +6C -1) , 则由
⎧∂F
⎪∂A =BC +λ=0⎪∂F ⎪=AC +3λ=0⎪
, 求得 ∂A ⎨
⎪∂F
=AB +6λ=0⎪∂A ⎪⎪⎩A +3B +6C =1
1⎧
A =⎪3⎪
1⎪
. 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 B =⎨
9⎪
1⎪C =⎪18⎩
x y z 1
++=1, 且V min =⨯3⨯9⨯18=81. 39186
9．求下列积分 (1)
⎰
+∞
1x
1
3
1
x
b
解：
⎰
+∞
1x
13
1
x =lim
b →+∞1
⎰
b
1
x =lim x 31b →+∞13-+1x
3
1
2
3
=lim (b 3-1) b →+∞2
1
2
极限不存在，则积分发散. (2)
x 2+y 2≤a 2
⎰⎰
a 2-x 2-y 2d σ
解
f (x , y ) 是D
上的半球面，由I =σ的几何意义知I =V
D
半球
2
=πa 3 3
(3)
⎰⎰yd σ ，D 由 x +y =1, x -y =1, x =0 的围成。
D
D
解 关于x 轴对称，且f (x , y ) =y 是关于y 的奇函数， 由I 几何意义知，⇒ ⎰⎰y d σ=0。
4．判别级数件收敛?
a n
(-1) (1-cos ) （常数a >0）的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条∑n n =1
∞
解：由(-1) (1-cos ) =1-cos
n
a
n a
，而 n
1-cos lim
n →∞
a a a
2sin 22() 22
=lim =lim =a ≠0，
n →∞n →∞1112
n 2n 2n 2
∞
a 1
由正项级数的比较判别法知，∑(1-cos ) 与∑2同时敛散.
n n =1n =1n ∞
1a
而∑2收敛，故∑(1-cos ) 收敛，从而原级数绝对收敛.
n n =1n n =1
∞
∞
4．判别级数
∑(-1)
n =2
n -1
∞
n
1
的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? ln n
解：记u n =(-1)
∞
1∆1
=v n . ，则u n ≥
n +1ln(n +1)
∞∞∞
1
显见∑去掉首项后所得级数∑v n 仍是发散的，由比较法知∑u n 发散，从而∑u n 发
n =1n =2n =1n =1n
∞
∞
1n 1是Leibniz 型级数，它收敛. 即∑(-1) 收敛，从而原
ln n ln(n +1) n =2
散. 又显见
∑(-1)
n =1
n -1
级数条件收敛.
x n
4．求幂级数∑在收敛区间上的和函数S (x ) ：
n (n +1) n =1
∞
解：ρ=lim
a n +1n (n +1) =lim =1，所以R =1.
n →∞a n →∞(n +1)(n +2) n
∞
(±1) n
又当x =±1时，级数成为∑，都收敛，故级数的收敛域为[-1, 1].
n (n +1) n =1x n
设级数的和函数为S (x ) ，即S (x ) =∑.
n =1n (n +1)
∞
x n +1
再令f (x ) =xS (x ) =∑，
n (n +1) n =1
∞
∞
1x n n -1
逐项微分得，f '(x ) =∑，f ''(x ) =∑x ， =
1-x n =1n =1n
∞
⎰
x
f ''(x ) dx =⎰
1
dx =-ln(1-x ) ， 01-x
x
f '(x ) -f '(0) =f '(x ) =-ln(1-x ), f '(0) =0，
⎰
x
f '(x ) dx =⎰-ln(1-x ) dx =-x ln(1-x ) 0-⎰
x
x
x
dx 01-x
x
=-x ln(1-x ) +x +ln(1-x ) =(1-x ) ln(1-x ) +x ， 1-x ) ，又显然有S (1) =1，故 故f (x ) =x +(1-x ) ln(
⎧1-x
⎪1+x ln(1-x ), x ≠0, 1, ⎪
S (x ) =⎨0, x =0,
⎪1, x =1. ⎪⎩
5．求解微分方程
2
(1) 2x -y dx +ydy =0的所有解.
解 原方程可化为
ydy -y 2
222
（当y ≠1），两边积分得--y =-x +c ，即 =-2xdx ，
x 2--y 2=c 为通解。当y 2=1时，即y =±1，显然满足原方程，所以原方程的全部
22
解为x --y =c 及y =±1。
(2) x y '-y =x 2-y 2;
2
y y ⎛y ⎫
解 当x >0时，原方程可化为y '-=1- ⎪，令=u ，得y =xu ，原方程化为
x x ⎝x ⎭
x u '=-u 2，解之得arcsin u =ln x +c ；
y ⎛y ⎫
当x
x ⎝x ⎭
2
y ⎧ln x +c x >0;
合上述，有arcsin =⎨。
-ln x +c x
(3) y '+y cos x =
1
sin 2x ; 2
-cos xdx ⎡1⎰cos xdx dx +c ⎤=sin x -1+ce -sin x 。 解 由公式得 y =e ⎰sin 2xe ⎢⎥
⎰⎣2
⎦
三、求解下列各题
1． 计算下列行列式：
123456789，
（.2）
123
1
2
3
456=0-3-6=07890-6-12解：
1
30
（3）0
20400-105
0031
解：
D 4=
12-13
. =10⨯(-16) =-1603451
⎡12⎤⎡30⎤
3．设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中A =⎢⎥，B =⎢02⎥ , 求X ．
-10⎣⎦⎣⎦
解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为
⎡10⎡1210⎤⎡1210⎤
[A I ]=⎢⎥→⎢0211⎥→⎢01-1001⎢⎣⎦⎣⎦⎣0
-1⎤⎥ ⎥⎦
⎡0
所以 A =⎢⎢⎣
-1-1⎤
⎥ ⎥⎦
-1⎤⎡30⎤⎡0-2⎤
⎥ ⎥⋅⎢02⎥=⎢ 1⎥⎦⎢⎥⎦⎣⎣⎦
⎡0
且 X =A B =⎢⎢⎣-1
解法二： 因为 [A
⎡1230⎤
B ]=⎢⎥
⎣-1002⎦
⎡100-2⎤⎡1230⎤
→⎢⎥ ⎥→⎢0110232⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡0-2⎤ 所以 X =⎢⎥
1⎢⎥⎣⎦
4． 设矩阵
⎡10-1⎤⎢⎥ A =-314⎢⎥⎢⎣100⎥⎦⎡1⎤
⎥
B =⎢5⎢⎥
⎢⎣-4⎥⎦
试计算A -1B ．
⎡10-1100⎤
⎢⎥解 因为 [A I ]=-314010 ⎢⎥⎢⎣100001⎥⎦
⎡10-1⎢ →011⎢⎢⎣001
00⎤⎡100
⎢
310⎥→⎢010⎥
⎢-101⎥⎦⎣0011
1⎤
⎥
41-1⎥ -101⎥⎦0
所以
⎡001⎤
⎥
A -1=⎢41-1⎢⎥
⎢⎣-101⎥⎦
⎡001⎤⎡1⎤⎡-4⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-1
且 A B =41-1⋅5=13
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣-101⎥⎦⎢⎣-4⎥⎦⎢⎣-5⎥⎦
2．设P (A )=
11, P (B )=. 32
(1)若AB =Φ，求P BA ； (2) 若A ⊂B ，求P BA ；
(3) 若P (AB )=
()
()
1
，求P BA . 8
()
解： (1) P (B )=P (B ) –P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )=
∴ P (B )=P (B )=(2) ∵ P (A )=
1 2
1 2
11，由A ⊂B 知：P (AB )=P (A )= 33
111
∴ P (B )=P (B ) –P (AB )=–=
236
1113
(3) P (AB )= ∴P (B )=P (B ) –P (AB )=–=
8288
3．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品
分别有20件，12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的 零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率.
解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2分别表
示第一、二次选出的为一等品，依题意，有
P (A 1)=P (B 1) P (A 1|B 1)+P (B 2) P (A 1|B 2)+P (B 3) P (A 1|B 3) =
1201121247⋅+⋅+⋅==0.467 [1**********]
P (A 1A 2)=
[**************]
P (B ) P (A A |B ) =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.220 ∑i 12i
[**************]i =1
3