1.爱因斯坦关系是什么?什么是波粒二象性?
其中 =2π⎧E=hv= ω
⎪
答:爱因斯坦关系:⎨ E hν h 2π
p=n=n=n= n= k⎪ccλλ⎩
波粒二象性:光不仅具有波动性,而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性,就是说光具有波
粒二象性。
2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么?
答:α粒子散射实验验证了原子的核式结构,夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化 3.波尔理论的内容是什么?波尔氢原子理论的局限性是什么? 答:波尔理论:
(1)原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中,这些状态称为定态。出于定态时,原子不发生电磁辐射。
(2)原子在两个定态之间跃迁时,才能吸收或者发射电磁辐射,辐射的频率v由式hv=E2-E1决定 (3)原子处于定态时,电子绕原子核做轨道运动,轨道角动量满足量子化条件:mυ r=n 局限性:
(1)不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱; (2)不能给出光谱的谱线强度(相对强度);
(3)从理论上讲,量子化概念的物理本质不清楚。 4.类氢体系量子化能级的表示,波数与光谱项的关系?
μe4Z2
答:类氢体系量子化能级的表示:En=- 222
24πε0 n
⎛11⎫ˆ=R 2-2⎪,波数与光谱项的关系v
⎝2n⎭
n=2.5,3,3.5,4,
5.索莫菲量子化条件是什么,空间取向量子化如何验证? 答:索莫菲量子化条件是pdq=nh
空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验验证。、 6.碱金属的四个线系,选择定则,能级特点及形成原因? 答:碱金属的四个线系:主线系、第一辅线系(漫线系)、第二辅线系(锐线系)、柏格曼系(基线系) 碱金属的选择定则:∆l=±1,∆j=0,±1
碱金属的能级特点:碱金属原子的能级不但与主量子数n有关,还和角量子数l 有关;且对于同一n ,都比氢(H)能级低。
形成原因:原子实外价电子只有一个,但是原子实的极化和轨道的贯穿产生了影响,产生了与氢原子能级的差别
7.自旋假设内容,碱金属光谱精细结构特点? 答:自旋假设内容:
1
(1)电子具有自旋角动量ps,它在空间任何方向上的投影只能取两个值:psz=±
2ee
=±μB (2)电子具有自旋磁矩 μs,它在空间任何方向上的投影只能取两个值:μsz=-psz=±
m2m
碱金属光谱精细结构特点:
主线系:每条谱线皆为双线且双线间隔逐渐减小,最后并入1线系限;
二辅系:也由双线组成,双线间隔固定,最后有2线系限;
一辅系:由三线组成,最外2线间隔固定且与二辅系相同,中间一条与右侧间隔越来越小,最后有与二辅系相同的2线系限。
碱金属原子的能级是一个双层结构的能级,只有s能级是单层的其余所有p、d、f等能级均为双层的。 8.电子态与原子态如何表示?什么是电子自旋轨道耦合? 答: 电子态:电子的运动状态和量子数n、l有关,一般将主量子数n表示的状态称主壳层,角量子数 l 表示的态称子壳层。电子的状态可表示为1s、2s、2p、3d、4d、4f、5f等等。 原子态:12S1,22S1,22P1,32P3,32D5 ----n
2
2
2
2
2
层数
(表示L的S,P,D,F)J,其中电子总角动量J=轨道角
动量L+自旋角动量S。
电子自旋耦合:通过电子之间的自旋产生彼此的效果力。 9.碱土族元素光谱特点?
答:Mg的光谱与He类似。也形成两套线系,有两个主线系、两个第一辅线系、两个第二辅线系等等。Mg原子也有两套能级,一套是单层能级——单态,另一套是三层能级——三重态。单层能级间的跃迁产生单线,三层能级间的跃迁产生多线光谱。
10.LS耦合与jj耦合过程?两种耦合方式的原子态表示? 答:略
11.泡利原理与同科电子的偶数定则是什么?
答:泡利原理:同一原子中,不能有两个电子处于完全相同的状态,也就是说,任意两个电子的状态都不完全相同
同科电子偶数定则:考虑同科电子组态为nlnl 时的原子态L=2l,2l-1, ,0;S=0,1但L+S必须为偶数 12.洪特定则与郎德间隔定则?
答:洪特定则:对于L-S耦合,给定的电子组态所形成的原子态中,重数(2S+1)最大(S 最大)的能级位置最低;重数相同的能级(S相同),L最大的位置最低。 郎德间隔定则:L-S耦合形成的一个多重能级结构中,相邻的两能级间隔与相关的二J 值中较大的成正比。
13.磁场中原子磁矩的表示及引起的能量差。 答:原子磁矩:μ=iA=
eepφ,而对于两个或两个以上电子的原子,其磁矩表达式为:μJ=gPJ 2m2me
轨道磁矩:μl=
ee ee pl=l(l+1)=(l+1)μB; 自旋磁矩:μs=ps=s(s+1)=μB; 2me2mememe
22⎡p2⎤ej-pl+ps
pj=g⋅jj+1μB。 总磁矩:μj=⎢1+⎥2
2p2m⎢⎥j⎣⎦e
能量差:∆E=MgμBB 能级间隔与能量差有关,M可取J, J-1,„,- J 共2J+1个可能值,即ΔE 取2J+1个可能值。也就是说,在磁场作用下,一个能级分裂为2J+1个。
14.磁场中角动量与磁矩运动特征。
答:磁场中角动量运动特征:角动量PJ 绕磁场方向旋进;磁矩运动特征:磁矩绕磁场方向旋进 15.顺磁、抗磁性、铁磁性的成因及塞曼效应能级图。
答:顺磁、抗磁性、铁磁性的成因:宏观磁矩的方向与磁场的方向不同,产生了不同的磁性。有些物质在磁场中磁化后,宏观磁矩的方向与磁场的方向相反,这类物质称为抗磁性物质;有些物质在磁场中磁化后,宏观磁矩的方向与磁场方向相同,这类物质称为顺磁性物质;另外还有些物质(铁、钴、
镍等),在磁场作用下,表现出比顺磁性强得多的磁性,且去掉磁场后磁性不消失,这类物质称为铁磁性物质。
16.多电子原子的壳层结构,简并度及电子态填充顺序。 答:简并度: 电子态填充顺序
17.X射线产生和测量原理是什么?布拉格公式?
答:X射线一般由高速电子打击在物体上产生。测量:通过衍射测量,X射线波长与晶体中原子的间距接近,可利用晶体作为衍射光栅进行X射线的衍射。 布拉格公式:2dsinθ=nλ 18.X射线标识谱特征是什么?
答:X射线谱由两部分组成:连续谱和标识谱。 标识谱又称特征谱,为线状光谱,由一些特定波长的谱线组成。每种元素有一套特定波长的X射线谱,成为元素的标识,所以称为标识谱。不同元素的标识谱结构相似。 19.什么是波函数的统计诠释?归一化?
答:波恩提出了德布罗意波的统计意义,认为波函数代表发现粒子的几率。发现一个实物粒子的几率同德布罗意波的波函数平方成正比。|Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在r 点附近几率的大小,确切的说,|Ψ(r)|2dxdydz表示在r 点附近,体积元dxdydz中找到粒子的几率。 归一化:粒子在全空间出现的几率等于1 20.S方程及定态S方程形式?
∂ 22 22
答:薛定谔方程:i ψ(r,t)=[-∇+U(r)]ψ(r,t);定态薛定谔方程:[-∇+U]ψ(r)=Eψ(r)
∂t2μ2μ21.什么是束缚态和非束缚态?
答:对于一维无限深方势阱,粒子束缚于有限空间范围,在无限远处,ψ = 0 。这样的状态,称为束缚态。
22.什么是宇称?一维无限深势阱、谐振子及氢原子定态宇称?
答:宇称:空间反射:空间矢量反向的操作r⇒-rψ(r,t)⇒ψ(-r,t),此时若有:ψ(-r,t)=+ψ(r,t),
则称波函数具有正宇称(或偶宇称); 如果ψ(-r,t)=-ψ(r,t),称波函数具有负宇称(或奇宇称)。
一维无限深势阱:n=odd时,为偶宇称;n=even时,为奇宇称; 谐振子:ψ n的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定。 (氢原子定态宇称讨论见下面)
23.氢原子波函数中量子数的取值及含义? 答:
24.什么是隧道效应?
答:粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它是粒子具有波动性的生动表现。当然,这种现象只在一定条件下才比较显著。
25.量子力学中的力学量由什么来表示?
答:量子力学中的力学量由厄米算符来表示? 26. 力学量算符本征值的含义?
答:如果算符Ô代表力学量O,那么当体系处于Ô的本征态Ψ时,力学量O取确定值,该值就是算符Ô在本征态Ψ中的本征值。
27. 力学量算符本征态的特点?
答:厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。 28.完备系(完全系)?力学量的取值及几率?
答:一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数Ψ(x)都可以向这组函数展开:(Ψψ(x)=∑cnφn(x)
n
(x) 应具有与φn(x) (n=1,2,...),相同的定义域和边界条件(包括无限远点)),则称这组函数φn(x) 具有完全性(完备性),或者说函数φn(x) (n=1,2,...) 组成完全系(完备系)。
2
ˆ取λn的几率,|cλ|2dλ是在ψ态中测得力学量在λ→λ力学量取值及几率:|cn|应表示力学量F
+dλ
范围内的几率。
2. n种运动方式就有n种状态。但这n个状态的能量是相同的,这种情况叫做n重简并。
3. 相对论效应:电子椭圆轨道运动中,速度变化,而保持角动量不变,所以电子的质量在轨道运动
中是一直改变的。这种情况的效果是,电子的轨道不是闭合的,主量子数相同而角动量量子数不同的轨道速度变化不同,因而质量的变化和进动的情况完全不同。质量情况不同,其能量略有差异,从而导致原来的简并态成为非简并态,引起能量的差异,导致光谱的精细结构。
4. 波恩提出了德布罗意波的统计意义,认为波函数代表发现粒子的几率。发现一个实物粒子的几率
同德布罗意波的波函数平方成正比。|Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在r 点附近几率的大小,确切的说,|Ψ(r)|2dxdydz表示在r 点附近,体积元dxdydz中找到粒子的几率。 5. 一维线性谐振子的本征值E=(n+1,2, 基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了) ω, n=0,1能量必须取分立值。
6. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数,即一个状态,所以能级是非简并的。值得注意的是,基
态能量 E0={1/2}ħω ≠0,称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的,是微观粒子波粒二相性的表现,能量为零的“静止的”波是没有意义的,零点能是量子效应。 7. 氢原子的能级:En=-
μe4
2 2n2
n=1,2,3,
氢原子的本征态:ψnlm(r)=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ),组成正交归一系。
氢原子波函数宇称:波函数的宇称将由P l m (ζ)的宇称决定,而Pl m(cosθ) 具有 ( l + m ) 宇称,则氢原子波函数的宇称与角量子数有关,根据角量子数的奇偶性改变。
8. 碱金属原子中,价电子的总角动量(也是原子的总角动量,因为原子实角动量为0)为:
⎧pl=(l+1) =l* ⎪⎪
pj=pl±ps=(l±s) =j ,即j=l±s。而确切根据爱因斯坦修正之后为:⎨ps=s(s+1) =s*
⎪*p=j(j+1) =j ⎪j⎩
9. 力学量算符的要求:
1、 力学量算符必须是线性算符
3、 力学量算符为线性厄密算符,其中:坐标算符x(c1ψ1+c2ψ2)=c1xψ1+c2xψ2、动量算符
ˆx(c1ψ1+c2ψ2)=c1pˆxψ1+c2pˆxψ2均为线性厄密算符 p
10. 算符之积一般不满足交换律,即ÔÛ ≠ ÛÔ(因为(ÔÛ) Ψ= Ô (ÛΨ) ,而(ÛÔ) Ψ= Û (ÔΨ) ,一般不等)。这是算符与通常运算规则的重要不同之处。
ˆ=-i ∇,单位算符Iˆ均为线性算符。 11. 动量算符p
12. 如果(ÛΨ)*= Û*Ψ*,则Û*称为算符Û的复共轭算符。相当于把Û表达式中的所有量换成复共轭。
~+ˆˆ* 13. 厄密共轭算符相当于复共轭算符和转置算符的综合。O=O
ˆφdτ =φ(Oˆ+=Oˆ)的算符称为厄密算符。厄密算符就是厄密共轭算符14. 满足⎰ψ*O⎰ˆψ)*dτ(或者O
与自身相等的算符,(转置的复共轭算符是其本身)。
ˆψ=λψ。则称λ为算符Ô的本15. 如算符Ô作用于一个函数Ψ,等于一个常数与该函数的积,即 O
征值,Ψ为属于(对应)本征值λ的本征函数,这一方程称为算符Ô的本征值方程。
2
ˆ=-16. H∇2+U(r),哈密顿算符将动量换成了动量算符。这反映了从力学量的经典表示得出量子2μ
力学中表示该力学量算符的规则:如力学量O在经典力学中有对应的力学量O(r,p),则表示这个力学量的算符Ô可由经典表示式O(r,p)中将r、p换为其对应的算符而得出,即
ˆ=rˆ⨯pˆ=-i rˆ=Orˆ,pˆ=O(r⨯∇ O,-i ∇)。例如:角动量算符:L
()
17. 动量 p 的本征函数再乘以因子exp[(-i/ )Et],就是自由粒子的波函数。动量 p 可连续取值,即组
成连续谱。对于自由粒子,其运动不受限制,可在空间任何位置出现,全空间的几率总和不是有
限值,所以波函数不能归一化为1,而只能归一化为δ函数。动量 p 的本征函数可取为:
(r)=ψp
⎛i ⎫
exp p⋅r⎪ 3⎝ ⎭(2π )
1
18. 采用箱归一化的方法进行变换可以把连续本征值的动量本征函数,转化为分立本征值求解,最后
在当 L → ∞ 时,变回连续谱进行分析 19. 在箱式边界条件中:
(1)由 px = 2nx π / L, py = 2ny π / L, pz = 2nz π / L,可以看出:相邻两本征值的间隔 ∆ p = 2 π / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时,本征值间隔可任意小,当 L → ∞ 时,本征值变成为连续谱; (2)从这里可以看出,只有分立谱才能归一化为1,连续谱归一化为 δ 函数;
(3)ψ p(r) ⨯ exp[–iEt/ ] 就是自由粒子波函数,在它所描写的状态中,粒子动量有确定值,该确定值就是动量算符在这个态中的本征值 ;
(4)周期性边界条件是动量算符厄密性的要求。
20. 厄密算符本征函数的正交性(厄密算符本征函数总可以取为正交归一化,即组成正交归一系)
(1) 厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交 ⎰φm*φndτ=0
(2) 厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的,即组成正交归一系。
⎧=1,m=n
1. 分立谱正交归一条件为:⎰φm*φndτ=δmn=⎨
=0,m≠n⎩2. 连续谱正交归一条件为:⎰φλ*φλ'dτ=δ(λ-λ')
3. 满足上述正交归一化条件的函数系φn 或φλ ,就称为正交归一(函数)系。
⎧x
ˆx-pˆxx=i 。但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对21. 算符⎨ xp不对易。∂
ˆp=-i ⎩x
ˆβ-pˆβxα=i δαβ;pˆαpˆβ-pˆβpˆα=0 易。xαp
ˆˆˆ 【自旋角动量S同样】 ˆˆˆ22. 角动量算符的对易关系:[Lx,Ly]=i Lz-------------- L⨯L=i L
ˆ时,ˆ和G23. 当在 ψ 态中,测量力学量F如果同时具有确定值,那么ψ 必是二力学量共同本征函数。
。例如:
ˆ,Lˆ2,Lˆ⎧氢原子中:H两两对易;z
⎪ 共同完备本征函数系:ψ(r)=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ)⎨nlm⎪
En,l(l+1) 2,m .⎩同时有确定值:
ˆ22⎧Lˆˆ,Lˆ两两对易;⎪空间转子:H=,Lz2I⎪
⎪⎧l=0,1,2, 共同完备本征函数系:Y(θ,ϕ) ⎨⎨lm
⎩m=0,±1, ±l⎪
⎪l(l+1) 2⎪同时有确定值:El=,l(l+1) 2,m .
2I⎩
24. 测不准关系反映了两个不对易的力学量不确定度的大小,是反映力学量关系的重要公式。
ˆ的本征值为:Q1、Q2、...、Qn、...,相应本征函数为:u1(x), 25. 波函数表现方式:设算符Q
ˆ本征态展开: u2(x), ...,un(x), ...,则任意态Ψ(x,t)可向Qψ(x,t)=∑an(t)un(x)
n
an(t)=⎰un*(x)ψ(x,t)dx,
ˆ表象中的表示。 则a1(t)、a2(t)、...、an(t)、...,就是波函数Ψ(x,t)所描写状态在 Q
ˆψ,且在Qˆ表象中波函数可以用分立谱展开26. 算符在一般表象中的表示形式:根据算符定义Φ=F
⎧ψ(x,t)=∑am(t)um(x)
⎪m*ˆ(x,-i )u(x)dx。 ,则有bn(t)=∑Fnmam(t),其中Fnm=⎰un(x)F⎨m∂xΦ(x,t)=b(t)u(x)m∑mm⎪
m⎩
⎛010⎫
⎪ 2ˆˆˆˆˆ27. Lx、Ly、Lz在L、Lz共同表象Ylm(θ,ϕ),l =1子空间的表示矩阵Lx= 101⎪,
2 ⎪⎝010⎭
⎛0-i0⎫⎛100⎫
⎪ ⎪
Ly=i0-iL= 000) ⎪z ⎪(算符在本身表象中肯定为对角阵!
2 00-1⎪0⎪⎝⎭⎝0i⎭
28. 对于在本身表象中的算符表示,即以对角阵的方式,其对角元素即为该算符的本征值。例如:Ĥ(0)
ˆ(0)是对角矩阵H
⎛100⎫
⎪
= 030⎪,是Hamilton Ĥ(0)在自身表象中的形式。所以能量的0级近似为: 00-2⎪⎝⎭
E1(0) = 1 ;E2(0) = 3; E3(0) = - 2
⎧ˆn=nn-⎪a
ˆn=n-为产生算符,29. 产生湮灭算符:用狄拉克算符表示:⎨其中a
+
ˆn=n+1n+⎪⎩a
⎧α⎛1⎫
ˆˆˆa=x-p ⎪⎪2
i α2⎪⎝⎭ˆ=aˆ+aˆ称为粒子数算符是厄密算符。 ˆ+n=n+1n+为湮灭算符。⎨。Na
α⎛1⎫⎪aˆ+=ˆ+ˆp x⎪2⎪i α⎭2⎝⎩
30. 产生湮灭算符性质:
ˆ
ˆ,aˆ+]=1=I1. 对易姓:[a
a、
ˆ|n>=aˆ+aˆ|n>=aˆ+n|n-1>=n(n-1)+1|n>=n|n> 3. N
量子力学基本假设
1、 波函数完全描述粒子的状态.
2、 波函数随时间的演化遵从 Schrödinger 方程.
3、 力学量算符:量子力学中,力学量用厄密算符表示,其本征函数组成完全系且满足正交归一化条
件。有经典对应的力学量算符,可由经典表示式中将p换为 -i ∇(r不变)得出。
ˆΦ=λΦ⎧⎪Fnnnˆ4、 力学量取值的几率分布:体系状态波函数Ψ可向力学量F的本征函数Φ展开:⎨,ˆ⎪⎩FΦλ=λΦλ
*ˆψ=∑cnΦn+⎰cλΦλdλ其中cn=⎰Φ*nψdτ,cλ=⎰Φλψdτ。则在Ψ态中测量力学量Fn为λn的几率
n
是|cn|,得到结果在λ→λ+dλ范围内的几率是|cλ
2
|dλ
2
。