§1矢量的基本知识和运算法则

§1 矢量的基本知识和运算法则

1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A记做A，其大小等于A

矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。

两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。

10N

A/

A

A/F

AA/

图5－1

A AA

/

图5－2

A /AA

2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。

A

B

ABC

ABA(B)C

ACB

B A

ABC

ABC 图5－3

对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。

EA

B

E C

A B D

ABCD

E BDACE

图5－4

3．矢量A与数量K相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K＞0时，与原矢量方向相同；当K

如动量mV、冲量Ft都是矢量，其方向分别与矢量V和F矢量相同。动量的变化量mV也是矢量，其方向与V相同。







矢量A与数量K相除，可以看成A矢量乘以数量

1F1

F，，如加速度a

Kmm

方向与F相同。

4．矢量A与矢量B相乘

一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：ABABcos。如：功是力F与位移S的数量积，是标量。WFSFScos

另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用AB表示，矢量积ABC还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。

CABsin，即矢量C的大小等于两矢量A和B为邻边的平行四边形的面积，

矢量C的方向垂直于矢量A和B所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。

注意：ABBA，AB与BA大小相等，方向相反。

如力矩M等于力

F和矢径r两矢量的矢量积，力矩MrF，大小为

MFrsin。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）FqVB，大小为

FqvBsin（若是负电荷受力方向与此相反）

例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？

解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的

圆周上任意取两点A、B，虽然vAvB,aAaB，但方向不同，由矢量相等的条件可知：vAvB，aAaB，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。

由功的定义得：WFSFScos，因为作用于匀速园周运动的物体上的合外力F始终沿着半径指向圆心，与位移S的方向垂直。故WFScos

图5-6

B



2

0，所以

物体在做匀速园周运动的过程中，合外力（即向心力不做功）

例5－2判断图5－7所示的带电粒子受力的方向。

解：根据FqvB，用右手螺旋法则得出带电粒子的受力方向竖直向上（如图5－8）

例5－3空间某处O，有互相垂直的两个水平磁场B1和B2，

B11.73105T,B21.00105T，现在该处有一段载流直导线，问导线应如何放

置，才能使两磁场作用在它上面的合力为零。

解：以O为坐标原点，建立直角坐标系oxyz，令B2沿x轴方向，B1沿y轴方向（如图5－9）

根据安培定律：FIlB

磁场作用于载流导线上的力F垂直于l和B所决定的平面，

并依右手螺旋定则规

定其方向。为使两磁场作用于载流导线的合力为零，则导线l必须置于oxy平面内，设它与y轴的夹角为θ，则有：

F1B1Ilsin方向沿z轴向上。

F2B2Ilsin900B2Ilcos，方向

沿z轴向下。

平衡时：B1IlsinB2Ilcos0

cot

B1

1.73,300 B2

即导线与B1所成的角度为300，与B2所成的角度为600。

例5－4图5－10是一张斜碰的闪光照片。大球的质量m1=201.1g 小球的质量m2=85.4g。两球都是从下向上运动，碰撞后左、右分开，闪光的快慢是每秒30次，照片和实物的线度比例大约是1：10，试作出它们的动量分析图，并求出两球的动量的改变量P1和P2，由此可得出什么结论？

解：由照片所示的两球位置和线段的比例，分别量出两球碰撞前后。在过的距离。

大球：S1106.0mm6.0cm小球：S2107.0mm7.0cm,由此计算出两球碰撞前后的速度： 大球：

1

秒内所通30

S1/105.0mm5.0cm

/S2109.0mm9.0cm

v16.0301.8102(cm/s)1.8(m/s)v5.01.5cm/s1.5m/s

/

1

2

小球：

v27302.1102cm/s2.1m/sv9302.710cm/s2.7m/s

/2

2

根据动量Pmv算出两球碰撞前后的动量：

大球：碰撞前：P1m1v10.20111.80.36(kgm/s)，方向与V1相同。

/// 碰撞后：P，方向与mv0.20111.50.30(kgm/s)V1111相同。 2小球：碰撞前：P mv8.542.1100.18(kgm/s)，方向与V2相同。222//2 碰撞后：P方向与V2/相同。 0.23(kgm/s)，2m2v28.542.710

两球碰撞前后动量的变化量： 大球：P1P1P1P1P1 小球：P2P2P2P2P2

选取比例线段，根据平行四边形法则，作动量分析图（图5－11），从图中可以量得：P 0.1k3g(m两者方向相反。/s)10.13(kgm/s) P2

所以：P1P2

即两球碰撞前后动量的改变量是大小相等，方向相反的。

/

/

/

/



