合理构造函数解导数问题
构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题） 已知函数f (x )=ln (ax +1)+x 3-x 2-ax . (1) 若
2
为y =f (x )的极值点，求实数a 的值； 3
(2) 若y =f (x )在[1, +∞)上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若a =-1时，方程f (1-x )-(1-x )=
3
b
有实根，求实数b 的取值范围。 x
解：（1）因为x =
22
是函数的一个极值点，所以f '() =0，进而解得：a =0，经检验是
33
符合的，所以a =0.
a
+3x 2-2x -a , 结合定义域知道ax +1>0在x ∈[1, +∞)上恒ax +1a 11
≥0。同时3x 2-2x -a 此函数是x 时递增，成立，所以a ≥0且 ax +133
（2）显然f '(x )= 故此我们只需要保证f '(1)=
1+5a
+3-2-a ≥0，解得：0≤a ≤. a +12
（3）方法一、变量分离直接构造函数
232
解：由于x >0，所以：b =x ln x +x -x =x ln x +x -x
()
16x 2-2x -1
g '(x )=ln x +1+2x -3x g ''(x )=+2-6x =-
x x
2
当0
1+71+7
时，g ''(x )>0, 所以g '(x )在0
当x >
1+71+7时，g ''(x )上递减； 66
0
1+7
. 6
又g '(1)=0, ∴g '(x 0)=0,
当00, 所以x 0
当x >1时，g '(x )1上递减； 又当x →+∞时，g (x )→-∞,
1⎫⎛
g (x )=x ln x +x 2-x 3=x ln x +x -x 2≤x ln x +⎪
4⎭⎝
()
当x →0时，ln x +
1
∴
b 的取值范围为(-∞, 0].
16x 2-2x -1
g ''(x )=+2-6x =-，g '(x )=ln x +1+2x -3x 2，g (x )=x ln x +x 2-x 3
x x
方法二、
构造：G (x )=ln x +x -x
2
(2x +1)(x -1) 1-2x 2+x +12x 2-x -1
G '(x )=+1-2x ==-=-
x x x x
x >0 ∴00 从而G (x )在(0, 1)上为增函数；
x >1, G '(x )
∴G (x )≤G (1)=0 而x >0 ∴b =x ⋅G (x )≤0 ∴b ≤0
分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。
那么怎样合理构造函数呢？
（1）抓住问题的实质，化简函数
1、已知f (x )是二次函数，不等式f (x )
（1）求f (x )的解析式；
（2）是否存在自然数m ，使得方程f (x )+
37
=0在区间(m , m +1)内有且只有两个不等x
的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。 解：（1） y =2x 2-10x (x ∈R )
（2）假设满足要求的实数m 存在，则f (x )+
3737
=0，即有：2x 2-10x +=0 x x
2x 3-10x 2+37
=0，即有：2x 3-10x 2+37=0
x
构造函数h (x )=2x 3-10x 2+37 画图分析：
h '(x )=6x 2-20x =6x (x -
10) 3
)
(x )
x
x
进而检验，知h (3) >0, h (
3710
0, 所以存在实数m =3使得f (x )+=0在区间
x 3
(3, 4)内有且只有两个不等的实数根。
点评：本题关键是构造了函数h (x )=2x 3-10x 2+37，舍弃了原函数中分母x , 问题得到了简化。
变式练习：设函数f (x )=x -6x +5, x ∈R ，求已知当x ∈(1, +∞)时，f (x )≥k (x -1)
3
恒成立，求实数k 的取值范围。
（2）抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题：
例： 已知函数f (x )=n +ln x 的图像在点P (m , f (m )) 处的切线方程为y =x , 设g (x )=mx -
n
-2ln x . x
（1） 求证：当x ≥1时，g (x )≥0恒成立；
（2） 试讨论关于x 的方程mx -解证：（1）m =n =1
n
-g (x )=x 3-2ex 2+tx 根的个数。 x
n
-g (x )=x 3-2ex 2+tx , 从而 2ln x =x 3-2ex 2+tx x
2ln x
=x 2-2ex +t . 因为x >0, 所以方程可变为x
2ln x 1-ln x
, H (x )=x 2-2ex +t ，得：L '(x )=2⋅. 令L (x )= x x 2
当x ∈(0, e )时，L '(x )≥0, L '(x )在(0, e ] （2）方程mx -
当x ∈(e , +∞]时，L '(x )≤0, L '(x )在x ∈(e , +∞]当x =e 时，L (x )max =L (e ) =
2
2, e
2
2
又H (x )=x -2ex +t =(x -e )+t -e ,
所以函数L (x ), H (x )22
, 即t >e 2+时，方程无解； e e 2222
② 当t -e =, 即t -e =时，方程一解；
e e 2222
③ 当t -e
e e
① 当t -e >
2
分析点评：一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数
的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。
（3）复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。 例：已知函数f (x )=-
1423
x +x +ax 2-2x -2在区间[-1, 1]上单调递减，在区间[1, 2]上43
单调递增。
（1） 求实数a 的值. （2） 若关于x 的方程f 2
()=m 有3个不同的实数解，求实数m 的取值范围.
x
（3） 若函数y =log 2[f (x )+p ]的图像与坐标轴无交点，求实数p 的取值范围。
1. 2
142312
（2）因为f (x )=-x +x +x -2x -2
432
解：（1）利用f '(1)=0 得：a =
得 f '(x )=-x 3+2x 2+x -2=-(x -1)(x +1)(x -2) 列表得
x f '(x )
f (x )
(-∞, -1)
+
增
-
-10
512
(-1, 1)
-
减
-
10
(1, 2)
+
20
(2, +∞)
-
378
增-减
123
5837
. 作出f (x )的示意图， 因此f (x )有极大值f (-1)=-, f (2)=-, 极小值f (1)=-
12312
如图:
因为关于x 的方程f 2
()=m 有3个不同
x
的实数解，令2x =t (t >0), 即关于t 的方程
f (t )=m 在t ∈(0, +∞)上有3个不同的实数解，
所以y =f (t )的图像与直线y =m 在t ∈(0, +∞) 上有3个不同的交点。
而y =f (t )的图像与y =f (x )的图像一致。即-
378
（3）函数y =log 2[f (x )+p ]的图像与坐标轴无交点，可以分以下2种情况： ①当函数y =log 2[f (x )+p ]的图像与x 轴无交点时，则必须有f (x )+p =1无解，而
[f (x )+p ]max =-
解得p
55⎛
+p , 函数y =f (x )+p 的值域为 -∞, -+1212⎝5⎤
p ⎥, 所以1>-+p ,
12⎦
17
. 12
②当函数y =log 2[f (x )+p ]的图像与y 轴无交点时，则必须有y =log 2[f (0)+p ]不存在，即f (0)+p 0有解，解得p >
5517
，故实数p 的取值范围为(, 121212
分析点评：复合函数尤其是两次复合，一定要好好掌握，构造两种函数逐层分解研究，化
繁为简，导数仍然是主要工具。